§10.prop3.93ἐὰν χωρίον περιέχηται ὑπὸ ῥητῆς καὶ ἀποτομῆς τρίτης, ἡ τὸ χωρίον δυναμένη μέσης ἀποτομή ἐστι δευτέρα.
만약 어떤 넓이가 유리선과 제3 아포토메에 의해 둘러싸인다면, 그 넓이를 제곱하는 (선)은 제2 미디얼 아포토메이다.
χωρίον γὰρ τὸ ΑΒ περιεχέσθω ὑπὸ ῥητῆς τῆς ΑΓ καὶ ἀποτομῆς τρίτης τῆς ΑΔ·
실제로 넓이 AB가 유리선 AC와 제3 아포토메 AD에 의해 둘러싸여 있다고 하자.
λέγω, ὅτι ἡ τὸ ΑΒ χωρίον δυναμένη μέσης ἀποτομή ἐστι δευτέρα.
나는 넓이 AB를 제곱하는 (선)이 제2 미디얼 아포토메라고 주장한다.
ἔστω γὰρ τῇ ΑΔ προσαρμόζουσα ἡ ΔΗ·
왜냐하면 AD에 대한 부가선을 DH라고 하자.
αἱ ΑΗ, ΗΔ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι, καὶ οὐδετέρα τῶν ΑΗ, ΗΔ σύμμετρός ἐστι μήκει τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΑΓ, ἡ δὲ ὅλη ἡ ΑΗ τῆς προσαρμοζούσης τῆς ΔΗ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ.
그러므로 AH, HD는 제곱에서만 통약할 수 있는 유리선이고, AH, HD 어느 쪽도 설정된 유리선 AC와 길이에서 통약할 수 없으며, 전체 AH는 부가선 DH보다 자신과 길이에서 통약할 수 있는 직선 위의 정사각형만큼 제곱에서 더 크다.
ἐπεὶ οὖν ἡ ΑΗ τῆς ΗΔ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ, ἐὰν ἄρα τῷ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆς ΔΗ ἴσον παρὰ τὴν ΑΗ παραβληθῇ ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, εἰς σύμμετρα αὐτὴν διελεῖ.
그러므로 AH가 HD보다 자신과 길이에서 통약할 수 있는 직선 위의 정사각형만큼 제곱에서 더 크므로, 만약 DH 위의 정사각형의 4분의 1과 같은 (직사각형)이 정사각형 모양이 부족한 상태로 AH에 따라 응용된다면, 그것은 그녀(AH)를 길이에서 통약할 수 있는 부분들로 나눈다.
τετμήσθω οὖν ἡ ΔΗ δίχα κατὰ τὸ Ε, καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΗ ἴσον παρὰ τὴν ΑΗ παραβεβλήσθω ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, καὶ ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖ, ΖΗ. καὶ ἤχθωσαν διὰ τῶν Ε, Ζ, Η σημείων τῇ ΑΓ παράλληλοι αἱ ΕΘ, ΖΙ, ΗΚ·
그러므로 DH가 E에서 이등분되었다고 하자. 그리고 EH 위의 정사각형과 같은 (직사각형)이 정사각형 모양이 부족한 상태로 AH에 따라 응용되었다고 하고, 그것을 AZ, ZH에 의해 둘러싸인 직사각형이라고 하자. 그리고 점 E, Z, H를 지나 AC에 평행한 직선 EG, ZI, HK를 긋자.
σύμμετροι ἄρα εἰσὶν αἱ ΑΖ, ΖΗ·
그러므로 AZ, ZH는 통약할 수 있다.
σύμμετρον ἄρα καὶ τὸ ΑΙ τῷ ΖΚ. καὶ ἐπεὶ αἱ ΑΖ, ΖΗ σύμμετροί εἰσι μήκει, καὶ ἡ ΑΗ ἄρα ἑκατέρᾳ τῶν ΑΖ, ΖΗ σύμμετρός ἐστι μήκει.
그러므로 넓이 AI도 ZK와 통약할 수 있다. 그리고 AZ, ZH가 길이에서 통약할 수 있으므로, 그러므로 AH도 AZ, ZH 각각과 길이에서 통약할 수 있다.
ῥητὴ δὲ ἡ ΑΗ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΑΓ μήκει·
그런데 AH는 유리선이면서 AC와 길이에서 통약할 수 없다.
ὥστε καὶ αἱ ΑΖ, ΖΗ. ἑκάτερον ἄρα τῶν ΑΙ, ΖΚ μέσον ἐστίν.
그러므로 AZ, ZH도 그러하다. 그러므로 넓이 AI, ZK 각각은 미디얼이다.
πάλιν, ἐπεὶ σύμμετρός ἐστιν ἡ ΔΕ τῇ ΕΗ μήκει, καὶ ἡ ΔΗ ἄρα ἑκατέρᾳ τῶν ΔΕ, ΕΗ σύμμετρός ἐστι μήκει.
다시, DE가 EH와 길이에서 통약할 수 있으므로, 그러므로 DH도 DE, EH 각각과 길이에서 통약할 수 있다.
ῥητὴ δὲ ἡ ΗΔ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΑΓ μήκει·
그런데 HD는 유리선이면서 AC와 길이에서 통약할 수 없다.
ῥητὴ ἄρα καὶ ἑκατέρα τῶν ΔΕ, ΕΗ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΑΓ μήκει·
그러므로 DE, EH 각각도 유리선이면서 AC와 길이에서 통약할 수 없다.
ἑκάτερον ἄρα τῶν ΔΘ, ΕΚ μέσον ἐστίν.
그러므로 넓이 DG, EK 각각은 미디얼이다.
καὶ ἐπεὶ αἱ ΑΗ, ΗΔ δυνάμει μόνον σύμμετροί εἰσιν, ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶ μήκει ἡ ΑΗ τῇ ΗΔ. ἀλλʼ ἡ μὲν ΑΗ τῇ ΑΖ σύμμετρός ἐστι μήκει, ἡ δὲ ΔΗ τῇ ΕΗ·
그리고 AH, HD가 제곱에서만 통약할 수 있으므로, 그러므로 AH는 HD와 길이에서 통약할 수 없다. 그런데 AH는 AZ와 길이에서 통약할 수 있고, DH는 EH와 길이에서 통약할 수 있다.
ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΖ τῇ ΕΗ μήκει.
그러므로 AZ는 EH와 길이에서 통약할 수 없다.
ὡς δὲ ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΕΗ, οὕτως ἐστὶ τὸ ΑΙ πρὸς τὸ ΕΚ·
그리고 AZ가 EH에 대해 가지는 비율은 AI가 EK에 대해 가지는 비율과 같다.
ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΙ τῷ ΕΚ.
συνεστάτω οὖν τῷ μὲν ΑΙ ἴσον τετράγωνον τὸ ΛΜ, τῷ δὲ ΖΚ ἴσον ἀφῃρήσθω τὸ ΝΞ περὶ τὴν αὐτὴν γωνίαν ὂν τῷ ΛΜ·
그러므로 AI는 EK와 통약할 수 없다. 그러므로 AI와 같은 정사각형 LM을 만들고, ZK와 같은 정사각형 NX를 그것(LM)과 각을 공통으로 가지도록 빼내자.
περὶ τὴν αὐτὴν ἄρα διάμετρόν ἐστι τὰ ΛΜ, ΝΞ. ἔστω αὐτῶν διάμετρος ἡ ΟΡ, καὶ καταγεγράφθω τὸ σχῆμα.
그러므로 정사각형 LM, NX는 같은 대각선 주위에 있다. 그것들의 대각선을 OP라 하고, 도형을 완성해 그리자.
ἐπεὶ οὖν τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖ, ΖΗ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΗ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΕΗ, οὕτως ἡ ΕΗ πρὸς τὴν ΖΗ. ἀλλʼ ὡς μὲν ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΕΗ, οὕτως ἐστὶ τὸ ΑΙ πρὸς τὸ ΕΚ· ὡς δὲ ἡ ΕΗ πρὸς τὴν ΖΗ, οὕτως ἐστὶ τὸ ΕΚ πρὸς τὸ ΖΚ·
그런데 AZ, ZH에 의해 둘러싸인 직사각형이 EH 위의 정사각형과 같으므로, 그러므로 AZ가 EH에 대해 가지는 비율은 EH가 ZH에 대해 가지는 비율과 같다. 그런데 AZ가 EH에 대해 가지는 비율은 AI가 EK에 대해 가지는 비율과 같고, EH가 ZH에 대해 가지는 비율은 EK가 ZK에 대해 가지는 비율과 같다.
καὶ ὡς ἄρα τὸ ΑΙ πρὸς τὸ ΕΚ, οὕτως τὸ ΕΚ πρὸς τὸ ΖΚ·
그러므로 AI가 EK에 대해 가지는 비율도 EK가 ZK에 대해 가지는 비율과 같다.
τῶν ἄρα ΑΙ, ΖΚ μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ΕΚ. ἔστι δὲ καὶ τῶν ΛΜ, ΝΞ τετραγώνων μέσον ἀνάλογον τὸ ΜΝ· καί ἐστιν ἴσον τὸ μὲν ΑΙ τῷ ΛΜ, τὸ δὲ ΖΚ τῷ ΝΞ·
그러므로 EK는 AI, ZK의 비례중항이다. 그런데 정사각형 LM, NX의 비례중항도 MN이고, AI는 LM과 같으며, ZK는 NX와 같다.
καὶ τὸ ΕΚ ἄρα ἴσον ἐστὶ τῷ ΜΝ. ἀλλὰ τὸ μὲν ΜΝ ἴσον ἐστὶ τῷ ΛΞ, τὸ δὲ ΕΚ ἴσον τῷ ΔΘ·
그러므로 EK도 MN과 같다. 그런데 MN은 LX와 같고, EK는 DG와 같다.
καὶ ὅλον ἄρα τὸ ΔΚ ἴσον ἐστὶ τῷ ΥΦΧ γνώμονι καὶ τῷ ΝΞ. ἔστι δὲ καὶ τὸ ΑΚ ἴσον τοῖς ΛΜ, ΝΞ·
그러므로 전체 DK는 그노몬 UFX와 NX의 합과 같다. 그리고 AK도 LM, NX의 합과 같다.
λοιπὸν ἄρα τὸ ΑΒ ἴσον ἐστὶ τῷ ΣΤ, τουτέστι τῷ ἀπὸ τῆς ΛΝ τετραγώνῳ·
그러므로 남은 AB는 ST, 즉 LN 위의 정사각형과 같다.
ἡ ΛΝ ἄρα δύναται τὸ ΑΒ χωρίον.
그러므로 LN은 넓이 AB를 제곱한다.
λέγω, ὅτι ἡ ΛΝ μέσης ἀποτομή ἐστι δευτέρα.
이제 나는 LN이 제2 미디얼 아포토메라고 주장한다.
ἐπεὶ γὰρ μέσα ἐδείχθη τὰ ΑΙ, ΖΚ καί ἐστιν ἴσα τοῖς ἀπὸ τῶν ΛΟ, ΟΝ, μέσον ἄρα καὶ ἑκάτερον τῶν ἀπὸ τῶν ΛΟ, ΟΝ·
왜냐하면 AI, ZK는 미디얼임이 증명되었고 LO, ON 각각 위의 정사각형과 같으므로, 그러므로 LO, ON 각각 위의 정사각형도 미디얼이다.
μέση ἄρα ἑκατέρα τῶν ΛΟ, ΟΝ. καὶ ἐπεὶ σύμμετρόν ἐστι τὸ ΑΙ τῷ ΖΚ, σύμμετρον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΛΟ τῷ ἀπὸ τῆς ΟΝ. πάλιν, ἐπεὶ ἀσύμμετρον ἐδείχθη τὸ ΑΙ τῷ ΕΚ, ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΛΜ τῷ ΜΝ, τουτέστι τὸ ἀπὸ τῆς ΛΟ τῷ ὑπὸ τῶν ΛΟ, ΟΝ·
그러므로 LO, ON 각각은 미디얼선이다. 그리고 AI가 ZK와 통약할 수 있으므로, 그러므로 LO 위의 정사각형도 ON 위의 정사각형과 통약할 수 있다. 다시, AI가 EK와 통약할 수 없음이 증명되었으므로, 그러므로 LM도 MN과 통약할 수 없다. 즉, LO 위의 정사각형은 LO, ON에 의해 둘러싸인 직사각형과 통약할 수 없다.
ὥστε καὶ ἡ ΛΟ ἀσύμμετρός ἐστι τῇ ΟΝ·
따라서 LO도 ON과 통약할 수 없다.
αἱ ΛΟ, ΟΝ ἄρα μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι.
그러므로 LO, ON은 제곱에서만 통약할 수 있는 미디얼선이다.
λέγω δή, ὅτι καὶ μέσον περιέχουσιν.
이제 나는 그것들이 미디얼 넓이를 둘러싼다고 주장한다.
ἐπεὶ γὰρ μέσον ἐδείχθη τὸ ΕΚ καί ἐστιν ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν ΛΟ, ΟΝ, μέσον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΛΟ, ΟΝ·
왜냐하면 EK는 미디얼임이 증명되었고 LO, ON에 의해 둘러싸인 직사각형과 같으므로, 그러므로 LO, ON에 의해 둘러싸인 직사각형도 미디얼이다.
ὥστε αἱ ΛΟ, ΟΝ μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι μέσον περιέχουσαι.
따라서 LO, ON은 제곱에서만 통약할 수 있는 미디얼선이면서 미디얼 넓이를 둘러싼다.
ἡ ΛΝ ἄρα μέσης ἀποτομή ἐστι δευτέρα·
그러므로 LN은 제2 미디얼 아포토메이다.
καὶ δύναται τὸ ΑΒ χωρίον.
그리고 그것은 넓이 AB를 제곱한다.
ἡ ἄρα τὸ ΑΒ χωρίον δυναμένη μέσης ἀποτομή ἐστι δευτέρα·
그러므로 넓이 AB를 제곱하는 (선)은 제2 미디얼 아포토메이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 바이다.