§10.prop3.88εὑρεῖν τὴν τετάρτην ἀποτομήν.
제4 아포토메를 찾기.
Ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ Α καὶ τῇ Α μήκει σύμμετρος ἡ ΒΗ·
유리선 A가 설정되어 있고, A와 길이에서 통약할 수 있는 BH가 설정되어 있다고 하자.
ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΒΗ. καὶ ἐκκείσθωσαν δύο ἀριθμοὶ οἱ ΔΖ, ΖΕ, ὥστε τὸν ΔΕ ὅλον πρὸς ἑκάτερον τῶν ΔΖ, ΕΖ λόγον μὴ ἔχειν, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν.
그러므로 BH도 유리선이다. 그리고 두 수 ΔΖ, ΖΕ가, 전체 ΔΕ가 각각의 ΔΖ, ΕΖ에 대해 제곱수가 제곱수에 대해 가지는 비율을 가지지 않도록 설정되어 있다고 하자.
καὶ πεποιήσθω ὡς ὁ ΔΕ πρὸς τὸν ΕΖ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΓ. σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ τῷ ἀπὸ τῆς ΗΓ. ῥητὸν δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ·
그리고 ΔΕ가 ΕΖ에 대해 가지는 비율이 ΒΗ 위의 정사각형이 ΗΓ 위의 정사각형에 대해 가지는 비율과 같게 되도록 만들어졌다고 하자. 그러므로 ΒΗ 위의 정사각형은 ΗΓ 위의 정사각형과 통약할 수 있다. 그런데 ΒΗ 위의 정사각형은 유리적이다.
ῥητὸν ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΗΓ·
그러므로 ΗΓ 위의 정사각형도 유리적이다.
ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΗΓ. καὶ ἐπεὶ ὁ ΔΕ πρὸς τὸν ΕΖ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, οὐδʼ ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΓ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν·
그러므로 ΗΓ는 유리선이다. 그리고 ΔΕ가 ΕΖ에 대해 제곱수가 제곱수에 대해 가지는 비율을 가지지 않으므로, 그러므로 ΒΗ 위의 정사각형도 ΗΓ 위의 정사각형에 대해 제곱수가 제곱수에 대해 가지는 비율을 가지지 않는다.
ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΗ τῇ ΗΓ μήκει.
그러므로 ΒΗ는 ΗΓ와 길이에서 통약할 수 없다.
καί εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί·
그리고 둘 다 유리선이다.
αἱ ΒΗ, ΗΓ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι·
그러므로 ΒΗ, ΗΓ는 제곱에서만 통약할 수 있는 유리선이다.
ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΓ.
.
그러므로 ΒΓ는 아포토메이다. .
ὧι οὖν μεῖζόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ τοῦ ἀπὸ τῆς ΗΓ, ἔστω τὸ ἀπὸ τῆς Θ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ὁ ΔΕ πρὸς τὸν ΕΖ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΓ, καὶ ἀναστρέψαντι ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ ΕΔ πρὸς τὸν ΔΖ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΗΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Θ. ὁ δὲ ΕΔ πρὸς τὸν ΔΖ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν·
그러면 ΒΗ 위의 정사각형이 ΗΓ 위의 정사각형보다 더 큰 만큼을 Θ 위의 정사각형이라고 하자. 그러므로 ΔΕ가 ΕΖ에 대해 가지는 비율이 ΒΗ 위의 정사각형이 ΗΓ 위의 정사각형에 대해 가지는 비율과 같으므로, 그러므로 반전하면, ΕΔ가 ΔΖ에 대해 가지는 비율은 ΗΒ 위의 정사각형이 Θ 위의 정사각형에 대해 가지는 비율과 같다. 그런데 ΕΔ는 ΔΖ에 대해 제곱수가 제곱수에 대해 가지는 비율을 가지지 않는다.
οὐδʼ ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΗΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Θ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν·
그러므로 ΗΒ 위의 정사각형도 Θ 위의 정사각형에 대해 제곱수가 제곱수에 대해 가지는 비율을 가지지 않는다.
ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΗ τῇ Θ μήκει.
그러므로 ΒΗ는 Θ와 길이에서 통약할 수 없다.
καὶ δύναται ἡ ΒΗ τῆς ΗΓ μεῖζον τῷ ἀπὸ τῆς Θ·
그리고 ΒΗ는 ΗΓ보다 Θ 위의 정사각형만큼 제곱에서 더 크다.
ἡ ἄρα ΒΗ τῆς ΗΓ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ.
그러므로 ΒΗ는 ΗΓ보다 자신과 길이에서 통약할 수 없는 직선 위의 정사각형만큼 제곱에서 더 크다.
καί ἐστιν ὅλη ἡ ΒΗ σύμμετρος τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει τῇ α.
그리고 전체 ΒΗ는 설정된 유리선 A와 길이에서 통약할 수 있다.
ἡ ἄρα ΒΓ ἀποτομή ἐστι τετάρτη.
그러므로 ΒΓ는 제4 아포토메이다.
εὕρηται ἄρα ἡ τετάρτη ἀποτομή·
그러므로 제4 아포토메가 찾아졌다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 보여주고자 하던 것이었다.
§10.prop3.89εὑρεῖν τὴν πέμπτην ἀποτομήν.
제5 아포토메를 찾기.
Ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ Α, καὶ τῇ Α μήκει σύμμετρος ἔστω ἡ ΓΗ·
유리선 A가 설정되어 있고, ΓH가 A와 길이에서 통약할 수 있다고 하자.
ῥητὴ ἄρα ἡ ΓΗ. καὶ ἐκκείσθωσαν δύο ἀριθμοὶ οἱ ΔΖ, ΖΕ, ὥστε τὸν ΔΕ πρὸς ἑκάτερον τῶν ΔΖ, ΖΕ λόγον πάλιν μὴ ἔχειν, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν·
그러므로 ΓH는 유리선이다. 그리고 두 수 ΔΖ, ΖΕ가, 다시 전체 ΔΕ가 각각의 ΔΖ, ΖΕ에 대해 제곱수가 제곱수에 대해 가지는 비율을 가지지 않도록 설정되어 있다고 하자.
καὶ πεποιήσθω ὡς ὁ ΖΕ πρὸς τὸν ΕΔ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΓΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΒ. ῥητὸν ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΗΒ·
그리고 ΖΕ가 ΕΔ에 대해 가지는 비율이 ΓH 위의 정사각형이 ΗΒ 위의 정사각형에 대해 가지는 비율과 같게 되도록 만들어졌다고 하자. 그러므로 ΗΒ 위의 정사각형도 유리적이다.
ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΒΗ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ὁ ΔΕ πρὸς τὸν ΕΖ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΓ, ὁ δὲ ΔΕ πρὸς τὸν ΕΖ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, οὐδʼ ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΓ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν·
그러므로 ΒΗ도 유리선이다. 그리고 ΔΕ가 ΕΖ에 대해 가지는 비율이 ΒΗ 위의 정사각형이 ΗΓ 위의 정사각형에 대해 가지는 비율과 같으므로, 그런데 ΔΕ는 ΕΖ에 대해 제곱수가 제곱수에 대해 가지는 비율을 가지지 않는다. 그러므로 ΒΗ 위의 정사각형도 ΗΓ 위의 정사각형에 대해 제곱수가 제곱수에 대해 가지는 비율을 가지지 않는다.
ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΗ τῇ ΗΓ μήκει.
그러므로 ΒΗ는 ΗΓ와 길이에서 통약할 수 없다.
καί εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί·
그리고 둘 다 유리선이다.
αἱ ΒΗ, ΗΓ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι·
그러므로 ΒΗ, ΗΓ는 제곱에서만 통약할 수 있는 유리선이다.
ἡ ΒΓ ἄρα ἀποτομή ἐστιν.
그러므로 ΒΓ는 아포토메이다.
λέγω δή, ὅτι καὶ πέμπτη.
¦20 이제 나는 그것이 제5 아포토메이기도 하다고 주장한다.
ὧι γὰρ μεῖζόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ τοῦ ἀπὸ τῆς ΗΓ, ἔστω τὸ ἀπὸ τῆς Θ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΓ, οὕτως ὁ ΔΕ πρὸς τὸν ΕΖ, ἀναστρέψαντι ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ ΕΔ πρὸς τὸν ΔΖ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Θ. ὁ δὲ ΕΔ πρὸς τὸν ΔΖ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν·
왜냐하면 ΒΗ 위의 정사각형이 ΗΓ 위의 정사각형보다 더 큰 만큼을 Θ 위의 정사각형이라고 하자. 그러므로 ΒΗ 위의 정사각형이 ΗΓ 위의 정사각형에 대해 가지는 비율이 ΔΕ가 ΕΖ에 대해 가지는 비율과 같으므로, 그러므로 반전하면, ΕΔ가 ΔΖ에 대해 가지는 비율은 ΒΗ 위의 정사각형이 Θ 위의 정사각형에 대해 가지는 비율과 같다. 그런데 ΕΔ는 ΔΖ에 대해 제곱수가 제곱수에 대해 가지는 비율을 가지지 않는다.
οὐδʼ ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Θ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν·
그러므로 ΒΗ 위의 정사각형도 Θ 위의 정사각형에 대해 제곱수가 제곱수에 대해 가지는 비율을 가지지 않는다.
ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΗ τῇ Θ μήκει.
그러므로 ΒΗ는 Θ와 길이에서 통약할 수 없다.
καὶ δύναται ἡ ΒΗ τῆς ΗΓ μεῖζον τῷ ἀπὸ τῆς Θ·
그리고 ΒΗ는 ΗΓ보다 Θ 위의 정사각형만큼 제곱에서 더 크다.
ἡ ΗΒ ἄρα τῆς ΗΓ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ μήκει.
그러므로 ΗΒ는 ΗΓ보다 자신과 길이에서 통약할 수 없는 직선 위의 정사각형만큼 제곱에서 더 크다.
καί ἐστιν ἡ προσαρμόζουσα ἡ ΓΗ σύμμετρος τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ Α μήκει·
그리고 덧붙인 선인 ΓH는 설정된 유리선 A와 길이에서 통약할 수 있다.
ἡ ἄρα ΒΓ ἀποτομή ἐστι πέμπτη.
그러므로 ΒΓ는 제5 아포토메이다.
εὕρηται ἄρα ἡ πέμπτη ἀποτομὴ ἡ ΒΓ·
¦35 그러므로 제5 아포토메 ΒΓ가 찾아졌다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 보여주고자 하던 것이었다.