§10.prop3.111ἡ ἀποτομὴ οὐκ ἔστιν ἡ αὐτὴ τῇ ἐκ δύο ὀνομάτων.
아포토메는 이항명선과 동일하지 않다.
ἔστω ἀποτομὴ ἡ ΑΒ· λέγω, ὅτι ἡ ΑΒ οὐκ ἔστιν ἡ αὐτὴ τῇ ἐκ δύο ὀνομάτων.
AB가 아포토메라고 하자. 나는 AB가 이항명선과 동일하지 않다고 주장한다. AB가 아포토메라고 하자. 나는 AB가 이항명선과 동일하지 않다고 주장한다.
εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω· καὶ ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ ΔΓ, καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον παρὰ τὴν ΓΔ παραβεβλήσθω ὀρθογώνιον τὸ ΓΕ πλάτος ποιοῦν τὴν ΔΕ. ἐπεὶ οὖν ἀποτομή ἐστιν ἡ ΑΒ, ἀποτομὴ πρώτη ἐστὶν ἡ ΔΕ. ἔστω αὐτῇ προσαρμόζουσα ἡ ΕΖ· αἱ ΔΖ, ΖΕ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι, καὶ ἡ ΔΖ τῆς ΖΕ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ ἡ ΔΖ σύμμετρός ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει τῇ ΔΓ. πάλιν, ἐπεὶ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶν ἡ ΑΒ, ἐκ δύο ἄρα ὀνομάτων πρώτη ἐστὶν ἡ ΔΕ. διῃρήσθω εἰς τὰ ὀνόματα κατὰ τὸ Η, καὶ ἔστω μεῖζον ὄνομα τὸ ΔΗ· αἱ ΔΗ, ΗΕ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι, καὶ ἡ ΔΗ τῆς ΗΕ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ τὸ μεῖζον ἡ ΔΗ σύμμετρός ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει τῇ ΔΓ. καὶ ἡ ΔΖ ἄρα τῇ ΔΗ σύμμετρός ἐστι μήκει· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΗΖ σύμμετρός ἐστι τῇ ΔΖ μήκει.
왜냐하면, 가능하다면 그렇다고 하자. 그리고 유리 직선 DΓ가 주어졌다고 하고, AB 위의 정사각형과 같은 직사각형 ΓE를 ΓD에 적용하여 폭 DE를 만들자. AB는 아포토메이므로 DE는 제1 아포토메이다. 이에 대한 부가선을 EZ라 하자. 그리고 유리 직선 DΓ가 주어졌다고 하고, AB 위의 정사각형과 같은 직사각형 ΓE를 ΓD에 적용하여 폭 DE를 만들자. AB는 아포토메이므로 DE는 제1 아포토메이다. 이에 대한 부가선을 EZ라 하자. 그리고 유리 직선 DΓ가 주어졌다고 하고, AB 위의 정사각형과 같은 직사각형 ΓE를 ΓD에 적용하여 폭 DE를 만들자. AB는 아포토메이므로 DE는 제1 아포토메이다. 이에 대한 부가선을 EZ라 하자. 그러므로 DZ, ZE는 제곱에서만 통약할 수 있는 유리 직선이고, DZ는 ZE보다 제곱에서 자신과 길이에서 통약할 수 있는 선 위의 정사각형만큼 더 크며, DZ는 주어진 유리 직선 DΓ와 길이에서 통약할 수 있다. 다시, AB는 이항명선이므로 DE는 제1 이항명선이다. 그것이 H에서 그것의 각 명으로 나누어졌다고 하고, 더 큰 명을 DH라 하자. 그러므로 DZ, ZE는 제곱에서만 통약할 수 있는 유리 직선이고, DZ는 ZE보다 제곱에서 자신과 길이에서 통약할 수 있는 선 위의 정사각형만큼 더 크며, DZ는 주어진 유리 직선 DΓ와 길이에서 통약할 수 있다. 다시, AB는 이항명선이므로 DE는 제1 이항명선이다. 그것이 H에서 그것의 각 명으로 나누어졌다고 하고, 더 큰 명을 DH라 하자. 그러므로 DZ, ZE는 제곱에서만 통약할 수 있는 유리 직선이고, DZ는 ZE보다 제곱에서 자신과 길이에서 통약할 수 있는 선 위의 정사각형만큼 더 크며, DZ는 주어진 유리 직선 DΓ와 길이에서 통약할 수 있다. 다시, AB는 이항명선이므로 DE는 제1 이항명선이다. 그것이 H에서 그것의 각 명으로 나누어졌다고 하고, 더 큰 명을 DH라 하자. 그러므로 DH, HE는 제곱에서만 통약할 수 있는 유리 직선이고, DH는 HE보다 제곱에서 자신과 길이에서 통약할 수 있는 선 위의 정사각형만큼 더 크며, 더 큰 명인 DH는 주어진 유리 직선 DΓ와 길이에서 통약할 수 있다. 그러므로 DZ 역시 DH와 길이에서 통약할 수 있다. 그러므로 DH, HE는 제곱에서만 통약할 수 있는 유리 직선이고, DH는 HE보다 제곱에서 자신과 길이에서 통약할 수 있는 선 위의 정사각형만큼 더 크며, 더 큰 명인 DH는 주어진 유리 직선 DΓ와 길이에서 통약할 수 있다. 그러므로 DZ 역시 DH와 길이에서 통약할 수 있다. 그러므로 남은 HZ도 DZ와 길이에서 통약할 수 있다.
ἀσύμμετρος δὲ ἡ ΔΖ τῇ ΕΖ μήκει· ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΖΗ τῇ ΕΖ μήκει.
그런데 DZ는 EZ와 길이에서 통약할 수 없다. 그러므로 ZH 역시 EZ와 길이에서 통약할 수 없다.
αἱ ΗΖ, ΖΕ ἄρα ῥηταί δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΗ. ἀλλὰ καὶ ῥητή· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
그러므로 HZ, ZE는 제곱에서만 통약할 수 있는 유리 직선이다. 그러므로 EH는 아포토메이다. 그런데 그것은 또한 유리 직선이다. 그러므로 EH는 아포토메이다. 그런데 그것은 또한 유리 직선이다. 이것은 불가능하다. 왜냐하면, 가능하다면 그렇다고 하자. 그리고 유리 직선 DΓ가 주어졌다고 하고, AB 위의 정사각형과 같은 직사각형 ΓE를 ΓD에 적용하여 폭 DE를 만들자. AB는 아포토메이므로 DE는 제1 아포토메이다. 이에 대한 부가선을 EZ라 하자. 그러므로 DZ, ZE는 제곱에서만 통약할 수 있는 유리 직선이고, DZ는 ZE보다 제곱에서 자신과 길이에서 통약할 수 있는 선 위의 정사각형만큼 더 크며, DZ는 주어진 유리 직선 DΓ와 길이에서 통약할 수 있다. 다시, AB는 이항명선이므로 DE는 제1 이항명선이다. 그것이 H에서 그것의 각 명으로 나누어졌다고 하고, 더 큰 명을 DH라 하자. 그러므로 DH, HE는 제곱에서만 통약할 수 있는 유리 직선이고, DH는 HE보다 제곱에서 자신과 길이에서 통약할 수 있는 선 위의 정사각형만큼 더 크며, 더 큰 명인 DH는 주어진 유리 직선 DΓ와 길이에서 통약할 수 있다. 그러므로 DZ 역시 DH와 길이에서 통약할 수 있다. 그러므로 남은 HZ도 DZ와 길이에서 통약할 수 있다. 그런데 DZ는 EZ와 길이에서 통약할 수 없다. 그러므로 ZH 역시 EZ와 길이에서 통약할 수 없다. 그러므로 HZ, ZE는 제곱에서만 통약할 수 있는 유리 직선이다. 그러므로 EH는 아포토메이다. 그런데 그것은 또한 유리 직선이다. 이것은 불가능하다.
ἡ ἄρα ἀποτομὴ οὐκ ἔστιν ἡ αὐτὴ τῇ ἐκ δύο ὀνομάτων· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
그러므로 아포토메는 이항명선과 동일하지 않다. 이것이 보여야 할 일이었다. 그러므로 아포토메는 이항명선과 동일하지 않다. 이것이 보여야 할 일이었다.
ἡ ἀποτομὴ καὶ αἱ μετʼ αὐτὴν ἄλογοι οὔτε τῇ μέσῃ οὔτε ἀλλήλαις εἰσὶν αἱ αὐταί.
아포토메와 그 뒤의 무리 직선들은 미디얼과도 서로와도 동일하지 않다. 아포토메와 그 뒤의 무리 직선들은 미디얼과도 서로와도 동일하지 않다.
τὸ μὲν γὰρ ἀπὸ μέσης παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ ῥητὴν καὶ ἀσύμμετρον τῇ, παρʼ ἣν παράκειται, μήκει, τὸ δὲ ἀπὸ ἀποτομῆς παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ ἀποτομὴν πρώτην, τὸ δὲ ἀπὸ μέσης ἀποτομῆς πρώτης παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ ἀποτομὴν δευτέραν, τὸ δὲ ἀπὸ μέσης ἀποτομῆς δευτέρας παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ ἀποτομὴν τρίτην, τὸ δὲ ἀπὸ ἐλάσσονος παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ ἀποτομὴν τετάρτην, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιούσης παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ ἀποτομὴν πέμπτην, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιούσης παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ ἀποτομὴν ἕκτην.
왜냐하면 미디얼 직선 위의 정사각형이 유리 직선에 적용될 때 그것은 유리 직선이면서 자신이 적용된 직선과 길이에서 통약할 수 없는 폭을 만드는 반면, 아포토메 위의 정사각형이 유리 직선에 적용될 때 그것은 폭으로 제1 아포토메를 만들고, 제1 미디얼 아포토메 위의 정사각형이 유리 직선에 적용될 때 폭으로 제2 아포토메를 만들고, 제2 미디얼 아포토메 위의 정사각형이 유리 직선에 적용될 때 폭으로 제3 아포토메를 만들고, 마이너 위의 정사각형이 유리 직선에 적용될 때 폭으로 제4 아포토메를 만들고, 유리 영역과 함께 전체를 미디얼로 만드는 직선 위의 정사각형이 유리 직선에 적용될 때 폭으로 제5 아포토메를 만들고, 미디얼 영역과 함께 전체를 미디얼로 만드는 직선 위의 정사각형이 유리 직선에 적용될 때 폭으로 제6 아포토메를 만들기 때문이다.
ἐπεὶ οὖν τὰ εἰρημένα πλάτη διαφέρει τοῦ τε πρώτου καὶ ἀλλήλων, τοῦ μὲν πρώτου, ὅτι ῥητή ἐστιν, ἀλλήλων δέ, ἐπεὶ τῇ τάξει οὐκ εἰσὶν αἱ αὐταί, δῆλον, ὡς καὶ αὐταὶ αἱ ἄλογοι διαφέρουσιν ἀλλήλων.
그러므로 앞서 말한 폭들이 첫 번째 폭과도 서로와도 다르므로(첫 번째 폭과는 그것이 유리 직선이라는 점에서 다르고, 서로와는 순서에서 동일하지 않다는 점에서 다르다), 그 무리 직선들 자체도 서로 다르다는 것은 분명하다.
καὶ ἐπεὶ δέδεικται ἡ ἀποτομὴ οὐκ οὖσα ἡ αὐτὴ τῇ ἐκ δύο ὀνομάτων, ποιοῦσι δὲ πλάτη παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμεναι αἱ μετὰ τὴν ἀποτομὴν ἀποτομὰς ἀκολούθως ἑκάστη τῇ τάξει τῇ καθʼ αὑτήν, αἱ δὲ μετὰ τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων τὰς ἐκ δύο ὀνομάτων καὶ αὐταὶ τῇ τάξει ἀκολούθως, ἕτεραι ἄρα εἰσὶν αἱ μετὰ τὴν ἀποτομὴν καὶ ἕτεραι αἱ μετὰ τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων, ὡς εἶναι τῇ τάξει πάσας ἀλόγους ιγ,
μέσην,
ἐκ δύο ὀνομάτων,
ἐκ δύο μέσων πρώτην,
ἐκ δύο μέσων δευτέραν,
μείζονα,
ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένην,
δύο μέσα δυναμένην,
ἀποτομήν,
μέσης ἀποτομὴν πρώτην,
μέσης ἀποτομὴν δευτέραν,
ἐλάσσονα,
μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσαν,
μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσαν.
그리고 아포토메는 이항명선과 동일하지 않다는 것이 증명되었고, 아포토메 뒤의 무리 직선들이 유리 직선에 적용될 때 각각 자신의 순서에 따라 폭으로 아포토메를 만드는 반면, 이항명선 뒤의 것들은 각각 자신의 순서에 따라 이항명선을 폭으로 만들므로, 아포토메 뒤의 선들과 이항명선 뒤의 선들은 서로 다르며, 결과적으로 순서대로 모든 무리 직선은 총 13가지가 된다: 미디얼, 이항명선, 제1 바이미디얼, 제2 바이미디얼, 메이저, 유리 영역과 미디얼 영역을 제곱하는 직선, 두 미디얼 영역을 제곱하는 직선, 아포토메, 제1 미디얼 아포토메, 제2 미디얼 아포토메, 마이너, 유리 영역과 함께 전체를 미디얼로 만드는 직선, 미디얼 영역과 함께 전체를 미디얼로 만드는 직선. 그러므로 앞서 말한 폭들이 첫 번째 폭과도 서로와도 다르므로(첫 번째 폭과는 그것이 유리 직선이라는 점에서 다르고, 서로와는 순서에서 동일하지 않다는 점에서 다르다), 그 무리 직선들 자체도 서로 다르다는 것은 분명하다. 그리고 아포토메는 이항명선과 동일하지 않다는 것이 증명되었고, 아포토메 뒤의 무리 직선들이 유리 직선에 적용될 때 각각 자신의 순서에 따라 폭으로 아포토메를 만드는 반면, 이항명선 뒤의 것들은 각각 자신의 순서에 따라 이항명선을 폭으로 만들므로, 아포토메 뒤의 선들과 이항명선 뒤의 선들은 서로 다르며, 결과적으로 순서대로 모든 무리 직선은 총 13가지가 된다: μέσην, 미디얼, ἐκ δύο ὀνομάτων, 이항명선, ἐκ δύο μέσων πρώτην, 제1 바이미디얼, ἐκ δύο μέσων δευτέραν, 제2 바이미디얼, μείζονα, 메이저, ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένην, 유리 영역과 미디얼 영역을 제곱하는 직선, δύο μέσα δυναμένην, 두 미디얼 영역을 제곱하는 직선, ἀποτομήν, 아포토메, μέσης ἀποτομὴν πρώτην, 제1 미디얼 아포토메, μέσης ἀ포τομὴν δευτέραν, 제2 미디얼 아포토메, ἐλάσσονα, 마이너, μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσαν, 유리 영역과 함께 전체를 미디얼로 만드는 직선, μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσαν. 미디얼 영역과 함께 전체를 미디얼로 만드는 직선.