§10.prop3.113τὸ ἀπὸ ῥητῆς παρὰ ἀποτομὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων, ἧς τὰ ὀνόματα σύμμετρά ἐστι τοῖς τῆς ἀποτομῆς ὀνόμασι καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, ἔτι δὲ ἡ γινομένη ἐκ δύο ὀνομάτων τὴν αὐτὴν τάξιν ἔχει τῇ ἀποτομῇ.
유리 직선 위의 정사각형을 아포토메에 적용하여 만든 폭은 이항명선이 되며, 이 이항명선의 각 명은 아포토메의 각 명과 통약 가능하고 비율이 같으며, 또한 새로이 만들어지는 이항명선은 아포토메와 동일한 순서를 가진다.
ἔστω ῥητὴ μὲν ἡ Α, ἀποτομὴ δὲ ἡ ΒΔ, καὶ τῷ ἀπὸ τῆς Α ἴσον ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΒΔ, ΚΘ, ὥστε τὸ ἀπὸ τῆς Α ῥητῆς παρὰ τὴν ΒΔ ἀποτομὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ τὴν ΚΘ·
A를 유리 직선이라 하고, BΔ를 아포토메라고 하며, BΔ와 KΘ로 둘러싸인 직사각형이 A 위의 정사각형과 같다고 하자. 그 결과 유리 직선 A 위의 정사각형을 아포토메 BΔ에 적용했을 때 생기는 폭은 KΘ가 된다.
λέγω, ὅτι ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶν ἡ ΚΘ, ἧς τὰ ὀνόματα σύμμετρά ἐστι τοῖς τῆς ΒΔ ὀνόμασι καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, καὶ ἔτι ἡ ΚΘ τὴν αὐτὴν ἔχει τάξιν τῇ ΒΔ.
ἔστω γὰρ τῇ ΒΔ προσαρμόζουσα ἡ ΔΓ·
나는 KΘ가 이항명선이며, 그것의 각 명은 BΔ의 각 명과 통약 가능하고 비율이 같으며, 또한 KΘ는 BΔ와 동일한 순서를 가진다고 주장한다. 왜냐하면 BΔ에 덧붙는 직선을 ΔΓ라 하자.
αἱ ΒΓ, ΓΔ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι.
그러므로 BΓ, ΓΔ는 제곱에서만 통약 가능한 유리 직선들이다.
καὶ τῷ ἀπὸ τῆς Α ἴσον ἔστω καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ, Η. ῥητὸν δὲ τὸ ἀπὸ τῆς Α· ῥητὸν ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ, Η. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΒΓ παραβέβληται·
그리고 A 위의 정사각형과 같은 또 다른 직사각형을 BΓ와 H로 둘러싸인 직사각형이라 하자. 그런데 A 위의 정사각형은 유리 영역이므로 BΓ와 H로 둘러싸인 직사각형 역시 유리 영역이다. 그리고 이것은 유리 직선 BΓ에 적용되어 있다.
ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ Η καὶ σύμμετρος τῇ ΒΓ μήκει.
그러므로 H는 유리 직선이며 BΓ와 길이에서 통약 가능하다.
ἐπεὶ οὖν τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ, Η ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΒΔ, ΚΘ, ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΓΒ πρὸς ΒΔ, οὕτως ἡ ΚΘ πρὸς Η. μείζων δὲ ἡ ΒΓ τῆς ΒΔ·
BΓ와 H로 둘러싸인 직사각형이 BΔ와 KΘ로 둘러싸인 직사각형과 같으므로, 비례에 의해 ΓB 대 BΔ는 KΘ 대 H이다. 그런데 BΓ는 BΔ보다 크다.
μείζων ἄρα καὶ ἡ ΚΘ τῆς Η. κείσθω τῇ Η ἴση ἡ ΚΕ·
그러므로 KΘ 역시 H보다 크다. H와 같은 것을 KE라 하자.
σύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΚΕ τῇ ΒΓ μήκει.
그러므로 KE는 BΓ와 길이에서 통약 가능하다.
καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΓΒ πρὸς ΒΔ, οὕτως ἡ ΘΚ πρὸς ΚΕ, ἀναστρέψαντι ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως ἡ ΚΘ πρὸς ΘΕ. γεγονέτω ὡς ἡ ΚΘ πρὸς ΘΕ, οὕτως ἡ ΘΖ πρὸς ΖΕ·
그리고 ΓB 대 BΔ는 ΘK 대 KE이므로, 비를 반전하면 BΓ 대 ΓΔ는 KΘ 대 ΘE이다. KΘ 대 ΘE가 ΘΖ 대 ΖΕ가 되도록 잡자.
καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΚΖ πρὸς ΖΘ ἐστιν, ὡς ἡ ΚΘ πρὸς ΘΕ, τουτέστιν ἡ ΒΓ πρὸς ΓΔ. αἱ δὲ ΒΓ, ΓΔ δυνάμει μόνον σύμμετροι·
그러므로 남은 부분인 KΖ 대 ΖΘ 역시 KΘ 대 ΘE, 즉 BΓ 대 ΓΔ이다. 그런데 BΓ, ΓΔ는 제곱에서만 통약 가능하다.
καὶ αἱ ΚΖ, ΖΘ ἄρα δυνάμει μόνον εἰσὶ σύμμετροι.
그러므로 KΖ, ΖΘ 역시 제곱에서만 통약 가능하다.
καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΚΘ πρὸς ΘΕ, ἡ ΚΖ πρὸς ΖΘ, ἀλλʼ ὡς ἡ ΚΘ πρὸς ΘΕ, ἡ ΘΖ πρὸς ΖΕ, καὶ ὡς ἄρα ἡ ΚΖ πρὸς ΖΘ, ἡ ΘΖ πρὸς ΖΕ·
그리고 KΘ 대 ΘE는 KΖ 대 ΖΘ이고, KΘ 대 ΘE는 ΘΖ 대 ΖΕ이므로, KΖ 대 ΖΘ 역시 ΘΖ 대 ΖΕ이다.
ὥστε καὶ ὡς ἡ πρώτη πρὸς τὴν τρίτην, τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΚΖ πρὸς ΖΕ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΚΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΘ. σύμμετρον δέ ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΚΖ τῷ ἀπὸ τῆς ΖΘ·
그러므로 첫 번째 것 대 세 번째 것은 첫 번째 것 위의 정사각형 대 두 번째 것 위의 정사각형과 같으므로, KΖ 대 ΖΕ 역시 KΖ 위의 정사각형 대 ΖΘ 위의 정사각형이다. 그런데 KΖ 위의 정사각형은 ΖΘ 위의 정사각형과 통약 가능하다.
αἱ γὰρ ΚΖ, ΖΘ δυνάμει εἰσὶ σύμμετροι·
왜냐하면 KΖ, ΖΘ는 제곱에서 통약 가능하기 때문이다.
σύμμετρος ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΚΖ τῇ ΖΕ μήκει·
그러므로 KΖ 역시 ΖΕ와 길이에서 통약 가능하다.
ὥστε ἡ ΚΖ καὶ τῇ ΚΕ σύμμετρός μήκει.
따라서 KΖ 역시 KE와 길이에서 통약 가능하다.
ῥητὴ δέ ἐστιν ἡ ΚΕ καὶ σύμμετρος τῇ ΒΓ μήκει·
그런데 KE는 유리 직선이며 BΓ와 길이에서 통약 가능하다.
ῥητὴ ἄρα καὶ ἡ ΚΖ καὶ σύμμετρος τῇ ΒΓ μήκει.
그러므로 KΖ 역시 유리 직선이며 BΓ와 길이에서 통약 가능하다.
καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΒΓ πρὸς ΓΔ, οὕτως ἡ ΚΖ πρὸς ΖΘ, ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΒΓ πρὸς ΚΖ, οὕτως ἡ ΔΓ πρὸς ΖΘ. σύμμετρος δὲ ἡ ΒΓ τῇ ΚΖ·
그리고 BΓ 대 ΓΔ는 KΖ 대 ΖΘ이므로, 교대비에 의해 BΓ 대 KΖ는 ΔΓ 대 ΖΘ이다. 그런데 BΓ는 KΖ와 통약 가능하다.
σύμμετρος ἄρα καὶ ἡ ΖΘ τῇ ΓΔ μήκει.
그러므로 ΖΘ 역시 ΓΔ와 길이에서 통약 가능하다.
αἱ ΒΓ, ΓΔ δὲ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι·
그런데 BΓ, ΓΔ는 제곱에서만 통약 가능한 유리 직선들이다.
καὶ αἱ ΚΖ, ΖΘ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι·
그러므로 KΖ, ΖΘ 역시 제곱에서만 통약 가능한 유리 직선들이다.
ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶν ἄρα ἡ ΚΘ.
εἰ μὲν οὖν ἡ ΒΓ τῆς ΓΔ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ ἡ ΚΖ τῆς ΖΘ μεῖζον δυνήσεται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ.
그러므로 KΘ는 이항명선이다. 만약 BΓ가 ΓΔ보다 제곱에서 자신과 통약 가능한 직선 위의 정사각형만큼 더 크다면, KΖ 역시 공식적으로 ΖΘ보다 제곱에서 자신과 통약 가능한 직선 위의 정사각형만큼 더 크게 될 것이다.
καὶ εἰ μὲν σύμμετρός ἐστιν ἡ ΒΓ τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει, καὶ ἡ ΚΖ, εἰ δὲ ἡ ΓΔ σύμμετρός ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει, καὶ ἡ ΖΘ, εἰ δὲ οὐδετέρα τῶν ΒΓ, ΓΔ, οὐδετέρα τῶν ΚΖ, ΖΘ.
εἰ δὲ ἡ ΒΓ τῆς ΓΔ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ ἡ ΚΖ τῆς ΖΘ μεῖζον δυνήσεται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ.
그리고 만약 BΓ가 주어진 유리 직선과 길이에서 통약 가능하다면 KΖ 역시 그러하고, 만약 ΓΔ가 주어진 유리 직선과 길이에서 통약 가능하다면 ΖΘ 역시 그러하며, 만약 BΓ, ΓΔ 중 어느 것도 그러하지 않다면 KΖ, ΖΘ 중 어느 것도 그러하지 않다.
καὶ εἰ μὲν σύμμετρός ἐστιν ἡ ΒΓ τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει, καὶ ἡ ΚΖ, εἰ δὲ ἡ ΓΔ, καὶ ἡ ΖΘ, εἰ δὲ οὐδετέρα τῶν ΒΓ, ΓΔ, οὐδετέρα τῶν ΚΖ, ΖΘ.
ἐκ δύο ἄρα ὀνομάτων ἐστὶν ἡ ΚΘ, ἧς τὰ ὀνόματα τὰ ΚΖ, ΖΘ σύμμετρά τοῖς τῆς ἀποτομῆς ὀνόμασι τοῖς ΒΓ, ΓΔ καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, καὶ ἔτι ἡ ΚΘ τῇ ΒΓ τὴν αὐτὴν ἕξει τάξιν·
그러나 만약 BΓ가 ΓΔ보다 제곱에서 자신과 통약 불가능한 직선 위의 정사각형만큼 더 크다면, KΖ 역시 ΖΘ보다 제곱에서 자신과 통약 불가능한 직선 위의 정사각형만큼 더 크게 될 것이다. 그리고 만약 BΓ가 주어진 유리 직선과 길이에서 통약 가능하다면 KΖ 역시 그러하고, 만약 ΓΔ가 그러하다면 ΖΘ 역시 그러하며, 만약 두 직선 BΓ, ΓΔ 중 어느 것도 그러하지 않다면 두 직선 KΖ, ΖΘ 중 어느 것도 그러하지 않다. 따라서 KΘ는 이항명선이고 그것의 각 명인 KΖ, ΖΘ는 아포토메의 각 명인 BΓ, ΓΔ와 통약 가능하며 비율이 같고 KΘ는 BΓ와 동일한 순서를 가진다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 보이고자 하는 일이었다.