§10.prop2.82τῇ ἐλάσσονι μία μόνον προσαρμόζει εὐθεῖα δυνάμει ἀσύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ ποιοῦσα μετὰ τῆς ὅλης τὸ μὲν ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων ῥητόν, τὸ δὲ δὶς ὑπʼ αὐτῶν μέσον.
소선에 대해서는 전체와 제곱에서 통약할 수 없고, 전체와 함께 그것들 위의 정사각형들의 합을 유리로 만들고 그것들에 의한 직사각형의 두 배를 중항으로 만드는, 오직 하나의 직선만이 붙여진다.
ἔστω ἡ ἐλάσσων ἡ ΑΒ, καὶ τῇ ΑΒ προσαρμόζουσα ἔστω ἡ ΒΓ·
소선을 AB라 하고, AB에 붙여지는 직선을 BC라고 하자.
αἱ ἄρα ΑΓ, ΓΒ δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων ῥητόν, τὸ δὲ δὶς ὑπʼ αὐτῶν μέσον·
그러므로 AC, CB는 제곱에서 통약할 수 없고, 그것들 위의 정사각형들의 합을 유리로 만들고 그것들에 의한 직사각형의 두 배를 중항으로 만든다.
λέγω, ὅτι τῇ ΑΒ ἑτέρα εὐθεῖα οὐ προσαρμόσει τὰ αὐτὰ ποιοῦσα.
나는 말한다, AB에 대해서 같은 일을 하는 다른 직선은 붙여지지 않을 것이다.
εἰ γὰρ δυνατόν, προσαρμοζέτω ἡ ΒΔ·
왜냐하면 만일 가능하다면, BD가 붙여진다고 하자.
καὶ αἱ ΑΔ, ΔΒ ἄρα δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τὰ προειρημένα.
그러므로 AD, DB도 제곱에서 통약할 수 없고 앞서 말한 일을 한다.
καὶ ἐπεί, ᾧ ὑπερέχει τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, τούτῳ ὑπερέχει καὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, τὰ δὲ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τετράγωνα τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τετραγώνων ὑπερέχει ῥητῷ· ῥητὰ γάρ ἐστιν ἀμφότερα·
그리고 AD, DB 위의 정사각형들의 합이 AC, CB 위의 정사각형들의 합을 초과하는 그 차이만큼, AD, DB에 의한 직사각형의 두 배도 AC, CB에 의한 직사각형의 두 배를 초과하는데, AD, DB 위의 정사각형들은 AC, CB 위의 정사각형들을 유리(의 양)만큼 초과한다(왜냐하면 둘 다 유리이기 때문이다).
καὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ ἄρα τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ὑπερέχει ῥητῷ·
그러므로 AD, DB에 의한 직사각형의 두 배도 AC, CB에 의한 직사각형의 두 배를 유리(의 양)만큼 초과한다.
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον· μέσα γάρ ἐστιν ἀμφότερα.
그러나 이것은 불가능하다(왜냐하면 둘 다 중항이기 때문이다).
τῇ ἄρα ἐλάσσονι μία μόνον προσαρμόζει εὐθεῖα δυνάμει ἀσύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ καὶ ποιοῦσα τὰ μὲν ἀπʼ αὐτῶν τετράγωνα ἅμα ῥητόν, τὸ δὲ δὶς ὑπʼ αὐτῶν μέσον·
그러므로 소선에 대해서는 전체와 제곱에서 통약할 수 없고, 그것들 위의 정사각형들의 합을 동시에 유리로 만들며 그것들에 의한 직사각형의 두 배를 중항으로 만드는, 오직 하나의 직선만이 붙여진다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 보여야 했던 것이다.
§10.prop2.83τῇ μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιούσῃ μία μόνον προσαρμόζει εὐθεῖα δυνάμει ἀσύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ, μετὰ δὲ τῆς ὅλης ποιοῦσα τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων μέσον, τὸ δὲ δὶς ὑπʼ αὐτῶν ῥητόν.
유리와 함께 전체를 중항으로 만드는 선에 대해서는 전체와 제곱에서 통약할 수 없고, 전체와 함께 그것들 위의 정사각형들의 합을 중항으로 만들고 그것들에 의한 직사각형의 두 배를 유리로 만드는, 오직 하나의 직선만이 붙여진다.
ἔστω ἡ μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα ἡ ΑΒ, καὶ τῇ ΑΒ προσαρμοζέτω ἡ ΒΓ·
유리와 함께 전체를 중항으로 만드는 선을 AB라 하고, AB에 BC가 붙여진다고 하자.
αἱ ἄρα ΑΓ, ΓΒ δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τὰ προκείμενα·
그러므로 AC, CB는 제곱에서 통약할 수 없고 제시된 일을 한다.
λέγω, ὅτι τῇ ΑΒ ἑτέρα οὐ προσαρμόσει τὰ αὐτὰ ποιοῦσα.
나는 말한다, AB에 대해서 같은 일을 하는 다른 직선은 붙여지지 않을 것이다.
εἰ γὰρ δυνατόν, προσαρμοζέτω ἡ ΒΔ·
왜냐하면 만일 가능하다면, BD가 붙여진다고 하자.
καὶ αἱ ΑΔ, ΔΒ ἄρα εὐθεῖαι δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τὰ προκείμενα.
그러므로 AD, DB 도 제곱에서 통약할 수 없는 직선들이고 제시된 일을 한다.
ἐπεὶ οὖν, ᾧ ὑπερέχει τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, τούτῳ ὑπερέχει καὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ἀκολούθως τοῖς πρὸ αὐτοῦ, τὸ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ὑπερέχει ῥητῷ· ῥητὰ γάρ ἐστιν ἀμφότερα·
그런데 앞의 것에 따라, AD, DB 위의 정사각형들의 합이 AC, CB 위의 정사각형들의 합을 초과하는 그 차이만큼, AD, DB에 의한 직사각형의 두 배도 AC, CB에 의한 직사각형의 두 배를 초과하는데, AD, DB에 의한 직사각형의 두 배는 AC, CB에 의한 직사각형의 두 배를 유리(의 양)만큼 초과한다(왜냐하면 둘 다 유리이기 때문이다).
καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ ἄρα τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ὑπερέχει ῥητῷ·
그러므로 AD, DB 위의 정사각형들의 합도 AC, CB 위의 정사각형들의 합을 유리(의 양)만큼 초과한다.
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον· μέσα γάρ ἐστιν ἀμφότερα.
그러나 이것은 불가능하다(왜냐하면 둘 다 중항이기 때문이다).
οὐκ ἄρα τῇ ΑΒ ἑτέρα προσαρμόσει εὐθεῖα δυνάμει ἀσύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ, μετὰ δὲ τῆς ὅλης ποιοῦσα τὰ προειρημένα·
그러므로 AB에 전체와 제곱에서 통약할 수 없고 전체와 함께 앞서 말한 일을 하는 다른 직선은 붙여지지 않을 것이다.
μία ἄρα μόνον προσαρμόσει·
그러므로 오직 하나만이 붙여진다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 보여야 했던 것이다.