§10.prop2.77ἐὰν ἀπὸ εὐθείας εὐθεῖα ἀφαιρεθῇ δυνάμει ἀσύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ, μετὰ δὲ τῆς ὅλης ποιοῦσα τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων μέσον, τὸ δὲ δὶς ὑπʼ αὐτῶν ῥητόν, ἡ λοιπὴ ἄλογός ἐστιν·
만일 직선에서 전체와 제곱에서 통약할 수 없고 전체와 함께 그것들 위의 정사각형들의 합을 중항으로, 그것들에 의한 직사각형의 두 배를 유리로 만드는 직선이 빼진다면, 남은 것은 무리선이다.
καλείσθω δὲ ἡ μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα.
그리고 그것은 유리면적과 함께 전체를 중항면적으로 만드는 선이라고 불려라.
ἀπὸ γὰρ εὐθείας τῆς ΑΒ εὐθεῖα ἀφῃρήσθω ἡ ΒΓ δυνάμει ἀσύμμετρος οὖσα τῇ ΑΒ ποιοῦσα τὰ προκείμενα·
왜냐하면 직선 AB에서 AB와 제곱에서 통약할 수 없고 제시된 성질을 만드는 직선 BC가 빼져 있다고 하라.
λέγω, ὅτι ἡ λοιπὴ ἡ ΑΓ ἄλογός ἐστιν ἡ προειρημένη.
나는 말한다, 남은 AC는 앞서 말한 무리선이다.
ἐπεὶ γὰρ τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τετραγώνων μέσον ἐστίν, τὸ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ῥητόν, ἀσύμμετρα ἄρα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ·
¦10 왜냐하면 AB, BC 위의 정사각형들의 합은 중항이고, AB, BC에 의한 직사각형의 두 배는 유리이므로, 그러므로 AB, BC 위의 정사각형들의 합은 AB, BC에 의한 직사각형의 두 배와 통약할 수 없다.
καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ ἀσύμμετρόν ἐστι τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ. καί ἐστι τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ῥητόν·
그러므로 남은 AC 위의 정사각형도 AB, BC에 의한 직사각형의 두 배와 통약할 수 없다. 그리고 AB, BC에 의한 직사각형의 두 배는 유리이다.
τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΑΓ ἄλογόν ἐστιν·
그러므로 AC 위의 정사각형은 무리이다.
ἄλογος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΓ·
그러므로 AC는 무리선이다.
καλείσθω δὲ ἡ μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα.
그리고 그것은 유리면적과 함께 전체를 중항면적으로 만드는 선이라고 불려라.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 보여야 했던 것이다.
§10.prop2.78ἐὰν ἀπὸ εὐθείας εὐθεῖα ἀφαιρεθῇ δυνάμει ἀσύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ, μετὰ δὲ τῆς ὅλης ποιοῦσα τό τε συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων μέσον τό τε δὶς ὑπʼ αὐτῶν μέσον καὶ ἔτι τὰ ἀπʼ αὐτῶν τετράγωνα ἀσύμμετρα τῷ δὶς ὑπʼ αὐτῶν, ἡ λοιπὴ ἄλογός ἐστιν·
만일 직선에서 전체와 제곱에서 통약할 수 없고 전체와 함께 그것들 위의 정사각형들의 합을 중항으로, 그것들에 의한 직사각형의 두 배를 중항으로 만들고, 더구나 그것들 위의 정사각형들이 그것들에 의한 직사각형의 두 배와 통약할 수 없게 만드는 직선이 빼진다면, 남은 것은 무리선이다.
καλείσθω δὲ ἡ μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα.
그리고 그것은 중항면적과 함께 전체를 중항면적으로 만드는 선이라고 불려라.
ἀπὸ γὰρ εὐθείας τῆς ΑΒ εὐθεῖα ἀφῃρήσθω ἡ ΒΓ δυνάμει ἀσύμμετρος οὖσα τῇ ΑΒ ποιοῦσα τὰ προκείμενα·
왜냐하면 직선 AB에서 AB와 제곱에서 통약할 수 없고 제시된 성질을 만드는 직선 BC가 빼져 있다고 하라.
λέγω, ὅτι ἡ λοιπὴ ἡ ΑΓ ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἡ μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα.
나는 말한다, 남은 AC는 중항면적과 함께 전체를 중항면적으로 만드는 선이라고 불리는 무리선이다.
Ἐκκείσθω γὰρ ῥητὴ ἡ ΔΙ, καὶ τοῖς μὲν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἴσον παρὰ τὴν ΔΙ παραβεβλήσθω τὸ ΔΕ πλάτος ποιοῦν τὴν ΔΗ, τῷ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἴσον ἀφῃρήσθω τὸ ΔΘ.
왜냐하면 유리선 DI가 설정되고, AB, BC 위의 정사각형들의 합에 같은 면적 DE가 DI에 따라 적용되어 폭 DH를 만들고, AB, BC에 의한 직사각형의 두 배에 같은 면적 DΘ가 빼진다고 하라.
λοιπὸν ἄρα τὸ ΖΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΓ·
그러므로 남은 ZE는 AC 위의 정사각형과 같다.
ὥστε ἡ ΑΓ δύναται τὸ ΖΕ. καὶ ἐπεὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τετραγώνων μέσον ἐστὶ καί ἐστιν ἴσον τῷ ΔΕ, μέσον ἄρα τὸ ΔΕ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΔΙ παράκειται πλάτος ποιοῦν τὴν ΔΗ·
따라서 AC는 ZE와 같은 정사각형을 만든다. 그리고 AB, BC 위의 정사각형들의 합은 중항이고 DE와 같으므로, 그러므로 DE도 중항이다. 그리고 그것은 유리선 DI에 따라 적용되어 폭 DH를 만들고 있다.
ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΗ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΔΙ μήκει.
그러므로 DH는 유리선이고 DI와 길이에서 통약할 수 없다.
πάλιν, ἐπεὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ μέσον ἐστὶ καί ἐστιν ἴσον τῷ ΔΘ, τὸ ἄρα ΔΘ μέσον ἐστίν.
다시, AB, BC에 의한 직사각형의 두 배는 중항이고 DΘ와 같으므로, 그러므로 DΘ도 중항이다.
καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΔΙ παράκειται πλάτος ποιοῦν τὴν ΔΖ·
그리고 그것은 유리선 DI에 따라 적용되어 폭 DZ를 만들고 있다.
ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΔΖ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΔΙ μήκει.
그러므로 DZ도 유리선이고 DI와 길이에서 통약할 수 없다.
καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρά ἐστι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ, ἀσύμμετρον ἄρα καὶ τὸ ΔΕ τῷ ΔΘ. ὡς δὲ τὸ ΔΕ πρὸς τὸ ΔΘ, οὕτως ἐστὶ καὶ ἡ ΔΗ πρὸς τὴν ΔΖ·
그리고 AB, BC 위의 정사각형들의 합은 AB, BC에 의한 직사각형의 두 배와 통약할 수 없으므로, 그러므로 DE도 DΘ와 통약할 수 없다. 그런데 DE의 DΘ에 대한 비는 DH의 DZ에 대한 비와 같다.
ἀσύμμετρος ἄρα ἡ ΔΗ τῇ ΔΖ. καί εἰσιν ἀμφότεραι ῥηταί·
그러므로 DH는 DZ와 통약할 수 없다. 그리고 둘 다 유리선이다.
αἱ ΗΔ, ΔΖ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι.
그러므로 HD, DZ는 유리선이고 제곱에서만 통약할 수 있다.
ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΗ·
그러므로 ZH는 아포토메이다.
ῥητὴ δὲ ἡ ΖΘ. τὸ δὲ ὑπὸ ῥητῆς καὶ ἀποτομῆς περιεχόμενον ἄλογόν ἐστιν, καὶ ἡ δυναμένη αὐτὸ ἄλογός ἐστιν.
그리고 ZΘ는 유리선이다. 그리고 유리선과 아포토메에 의해 둘러싸인 직사각형은 무리이고, 그것과 같은 정사각형을 만드는 선도 무리선이다.
καὶ δύναται τὸ ΖΕ ἡ ΑΓ·
그리고 AC는 ZE와 같은 정사각형을 만든다.
ἡ ΑΓ ἄρα ἄλογός ἐστιν·
그러므로 AC는 무리선이다.
καλείσθω δὲ ἡ μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα.
그리고 그것은 중항면적과 함께 전체를 중항면적으로 만드는 선이라고 불려라.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 보여야 했던 것이다.