§10.prop2.73ἐὰν ἀπὸ ῥητῆς ῥητὴ ἀφαιρεθῇ δυνάμει μόνον σύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ, ἡ λοιπὴ ἄλογός ἐστιν·
만일 유리선에서 전체와 제곱에서만 통약할 수 있는 유리선이 빼진다면, 남은 것은 무리선이다.
καλείσθω δὲ ἀποτομή.
그리고 그것은 아포토메라고 불려라.
ἀπὸ γὰρ ῥητῆς τῆς ΑΒ ῥητὴ ἀφῃρήσθω ἡ ΒΓ δυνάμει μόνον σύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ·
왜냐하면 유리선 AB에서 전체와 제곱에서만 통약할 수 있는 유리선 BC가 빼져 있다고 하라.
λέγω, ὅτι ἡ λοιπὴ ἡ ΑΓ ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἀποτομή.
나는 말한다, 남은 AC는 아포토메라고 불리는 무리선이다.
ἐπεὶ γὰρ ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΒΓ μήκει, καί ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ, ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ. ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΒ σύμμετρά ἐστι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τετράγωνα, τῷ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ σύμμετρόν ἐστι τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ. καὶ ἐπειδήπερ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἴσα ἐστὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΑ, καὶ λοιπῷ ἄρα τῷ ἀπὸ τῆς ΑΓ ἀσύμμετρά ἐστι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ. ῥητὰ δὲ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ·
왜냐하면 AB는 BC와 길이에서 통약할 수 없고, AB의 BC에 대한 비는 AB 위의 정사각형의 AB, BC에 의해 둘러싸인 직사각형에 대한 비와 같으므로, 그러므로 AB 위의 정사각형은 AB, BC에 의한 직사각형과 통약할 수 없다. 그런데 AB 위의 정사각형에 대해 AB, BC 위의 정사각형들의 합은 통약할 수 있고, AB, BC에 의한 직사각형에 대해 AB, BC에 의한 직사각형의 두 배는 통약할 수 있다. 그리고 AB, BC 위의 정사각형들의 합은 AB, BC에 의한 직사각형의 두 배에 CA 위의 정사각형을 더한 것과 같으므로, 그러므로 남은 AC 위의 정사각형에 대해서도 AB, BC 위의 정사각형들의 합은 통약할 수 없다. 그런데 AB, BC 위의 정사각형들의 합은 유리이다.
ἄλογος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΓ·
그러므로 AC는 무리선이다.
καλείσθω δὲ ἀποτομή.
그리고 그것은 아포토메라고 불려라.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 보여야 했던 것이다.
§10.prop2.74ἐὰν ἀπὸ μέσης μέση ἀφαιρεθῇ δυνάμει μόνον σύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ, μετὰ δὲ τῆς ὅλης ῥητὸν περιέχουσα, ἡ λοιπὴ ἄλογός ἐστιν·
만일 중항선에서 전체와 제곱에서만 통약할 수 있고 전체와 함께 유리면적을 둘러싸는 중항선이 빼진다면, 남은 것은 무리선이다.
καλείσθω δὲ μέσης ἀποτομὴ πρώτη.
그리고 그것은 제일 중항 아포토메라고 불려라.
ἀπὸ γὰρ μέσης τῆς ΑΒ μέση ἀφῃρήσθω ἡ ΒΓ δυνάμει μόνον σύμμετρος οὖσα τῇ ΑΒ, μετὰ δὲ τῆς ΑΒ ῥητὸν ποιοῦσα τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ·
왜냐하면 중항선 AB에서 AB와 제곱 에서만 통약할 수 있고 AB와 함께 AB, BC에 의한 유리 직사각형을 만드는 중항선 BC가 빼져 있다고 하라.
λέγω, ὅτι ἡ λοιπὴ ἡ ΑΓ ἄλογός ἐστιν·
나는 말한다, 남은 AC는 무리선이다.
καλείσθω δὲ μέσης ἀποτομὴ πρώτη.
그리고 그것은 제일 중항 아포토메라고 불려라.
ἐπεὶ γὰρ αἱ ΑΒ, ΒΓ μέσαι εἰσίν, μέσα ἐστὶ καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ. ῥητὸν δὲ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ·
왜냐하면 AB, BC는 중항선이므로 AB, BC 위의 정사각형들의 합도 중항이다. 그런데 AB, BC에 의한 직사각형의 두 배는 유리이다.
ἀσύμμετρα ἄρα τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ·
그러므로 AB, BC 위의 정사각형들의 합은 AB, BC에 의한 직사각형의 두 배와 통약할 수 없다.
καὶ λοιπῷ ἄρα τῷ ἀπὸ τῆς ΑΓ ἀσύμμετρόν ἐστι τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ, ἐπεὶ κἂν τὸ ὅλον ἑνὶ αὐτῶν ἀσύμμετρον ᾖ, καὶ τὰ ἐξ ἀρχῆς μεγέθη ἀσύμμετρα ἔσται.
그러므로 남은 AC 위의 정사각형에 대해서도 AB, BC에 의한 직사각형의 두 배는 통약할 수 없다. 왜냐하면 만일 전체가 그것들 중 하나와 통약할 수 없다면, 처음의 크기들도 통약할 수 없을 것이기 때문이다.
ῥητὸν δὲ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ·
그런데 AB, BC에 의한 직사각형의 두 배는 유리이다.
ἄλογον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ·
그러므로 AC 위의 정사각형은 무리이다.
ἄλογος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΓ·
그러므로 AC는 무리선이다.
καλείσθω δὲ μέσης ἀποτομὴ πρώτη.
그리고 그것은 제일 중항 아포토메라고 불려라.