§10.prop2.65τὸ ἀπὸ τῆς δύο μέσα δυναμένης παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων ἕκτην.
두 개의 중항넓이를 제곱할 수 있는 선 위의 정사각형을 유리직선에 대어 작도하여 만들어지는 직사각형의 폭은 여섯 번째 이항선이 된다.
ἔστω δύο μέσα δυναμένη ἡ ΑΒ διῃρημένη κατὰ τὸ Γ, ῥητὴ δὲ ἔστω ἡ ΔΕ. καὶ παρὰ τὴν ΔΕ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον παραβεβλήσθω τὸ ΔΖ πλάτος ποιοῦν τὴν ΔΗ·
AB를 C에서 나누어지는 두 개의 중항넓이를 제곱할 수 있는 선이라 하고, DE를 유리직선이라 하라. 그리고 DE에 대어 AB 위의 정사각형과 같은 크기의 평행사변형 DZ를 대어 작도하여 폭 DH를 만들게 하라.
λέγω, ὅτι ἡ ΔΗ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶν ἕκτη.
나는 말한다, DH는 여섯 번째 이항선이라고。
Κατεσκευάσθω γὰρ τὰ αὐτὰ τοῖς πρότερον.
왜냐하면 앞의 경우들과 같이 작도하라.
καὶ ἐπεὶ ἡ ΑΒ δύο μέσα δυναμένη ἐστὶ διῃρημένη κατὰ τὸ Γ, αἱ ΑΓ, ΓΒ ἄρα δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τό τε συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων μέσον καὶ τὸ ὑπʼ αὐτῶν μέσον καὶ ἔτι ἀσύμμετρον τὸ ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων συγκείμενον τῷ ὑπʼ αὐτῶν·
그리고 AB는 C에서 나누어진 두 개의 중항넓이를 제곱할 수 있는 선이므로, 그러므로 AC, CB는 제곱에서 통약할 수 없으며, 그들의 위의 정사각형들의 합을 중항넓이가 되게 하고, 그들에 의해 둘러싸인 직사각형을 중항넓이가 되게 하며, 또한 그들의 위의 정사각형들의 합을 그들에 의해 둘러싸인 직사각형과 통약할 수 없게 한다.
ὥστε κατὰ τὰ προδεδειγμένα μέσον ἐστὶν ἑκάτερον τῶν ΔΛ, ΜΖ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΔΕ παράκειται· ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα τῶν ΔΜ, ΜΗ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΔΕ μήκει.
따라서 이미 증명된 것과 같이, DL, MZ 각각은 중항넓이이다. 그리고 그것들은 유리직선 DE에 대어 작도되어 있으므로, 그러므로 DM, MH 각각은 유리이며 DE와 길이에서 통약할 수 없다.
καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρόν ἐστι τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΔΛ τῷ ΜΖ. ἀσύμμετρος ἄρα καὶ ἡ ΔΜ τῇ ΜΗ·
그리고 AC, CB 위의 정사각형들의 합은 AC, CB에 의해 둘러싸인 직사각형의 두 배와 통약할 수 없으므로, 그러므로 DL도 MZ와 통약할 수 없다. 그러므로 DM도 MH와 통약할 수 없다.
αἱ ΔΜ, ΜΗ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἐκ δύο ἄρα ὀνομάτων ἐστὶν ἡ ΔΗ.
λέγω δή, ὅτι καὶ ἕκτη.
그러므로 DM, MH는 제곱에서만 통약할 수 있는 유리직선들이며, 그러므로 DH는 이항선이다. 이제 그것이 여섯 번째 이항선이기도 하다는 것을 말한다.
ὁμοίως δὴ πάλιν δείξομεν, ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ΔΚΜ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΜΝ, καὶ ὅτι ἡ ΔΚ τῇ ΚΜ μήκει ἐστὶν ἀσύμμετρος·
왜냐하면 마찬가지로 다시 DKM에 의해 둘러싸인 직사각형은 MN 위의 정사각형과 같고, DK는 KM과 길이에서 통약할 수 없음이 증명될 것이기 때문이다.
καὶ διὰ τὰ αὐτὰ δὴ ἡ ΔΜ τῆς ΜΗ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ μήκει.
그리고 똑같은 이유 때문에 DM은 MH보다 자신과 길이에서 통약할 수 없는 직선의 정사각형만큼 더 많이 제곱할 수 있다.
καὶ οὐδετέρα τῶν ΔΜ, ΜΗ σύμμετρός ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΔΕ μήκει.
그리고 DM, MH 어느 것도 주어진 유리직선 DE와 길이에서 통약할 수 없다.
ἡ ΔΗ ἄρα ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶν ἕκτη·
그러므로 DH는 여섯 번째 이항선이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 바이다.
§10.prop2.66ἡ τῇ ἐκ δύο ὀνομάτων μήκει σύμμετρος καὶ αὐτὴ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ καὶ τῇ τάξει ἡ αὐτή.
이항선과 길이에서 통약할 수 있는 직선은 자신도 이항선이며 차수에서도 같다.
ἔστω ἐκ δύο ὀνομάτων ἡ ΑΒ, καὶ τῇ ΑΒ μήκει σύμμετρος ἔστω ἡ ΓΔ·
AB를 이항선이라 하고, CD를 AB와 길이에서 통약할 수 있는 선이라 하라.
λέγω, ὅτι ἡ ΓΔ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ καὶ τῇ τάξει ἡ αὐτὴ τῇ ΑΒ.
ἐπεὶ γὰρ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶν ἡ ΑΒ, διῃρήσθω εἰς τὰ ὀνόματα κατὰ τὸ Ε, καὶ ἔστω μεῖζον ὄνομα τὸ ΑΕ·
나는 말한다, CD는 이항선이며 차수에서도 AB와 같다고. 왜냐하면 AB는 이항선이므로, E에서 그 항들로 나누어지게 하고, AE가 더 큰 항이라 하라.
αἱ ΑΕ, ΕΒ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι.
그러므로 AE, EB는 제곱에서만 통약할 수 있는 유리직선들이다.
γεγονέτω ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως ἡ ΑΕ πρὸς τὴν ΓΖ·
AB와 CD의 비가 AE와 CZ의 비와 같게 하라.
καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΕΒ πρὸς λοιπὴν τὴν ΖΔ ἐστιν, ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ. σύμμετρος δὲ ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ μήκει.
그러므로 남은 EB와 남은 ZD의 비도 AB와 CD의 비와 같다. 그런데 AB는 CD와 길이에서 통약할 수 있다.
σύμμετρος ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ μὲν ΑΕ τῇ ΓΖ, ἡ δὲ ΕΒ τῇ ΖΔ. καί εἰσι ῥηταὶ αἱ ΑΕ, ΕΒ·
그러므로 AE도 CZ와 통약할 수 있고, EB도 ZD와 통약할 수 있다. 그리고 AE, EB는 유리직선들이다.
ῥηταὶ ἄρα εἰσὶ καὶ αἱ ΓΖ, ΖΔ. καὶ ἐστιν ὡς ἡ ΑΕ πρὸς ΓΖ, ἡ ΕΒ πρὸς ΖΔ. ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΑΕ πρὸς ΕΒ, ἡ ΓΖ πρὸς ΖΔ. αἱ δὲ ΑΕ, ΕΒ δυνάμει μόνον σύμμετροι· καὶ αἱ ΓΖ, ΖΔ ἄρα δυνάμει μόνον εἰσὶ σύμμετροι.
그러므로 CZ, ZD도 유리직선들이다. 그리고 AE와 CZ의 비는 EB와 ZD의 비와 같다. 그러므로 교대로, AE와 EB의 비는 CZ와 ZD의 비와 같다. 그런데 AE, EB는 제곱에서만 통약할 수 있다. 그러므로 CZ, ZD도 제곱에서만 통약할 수 있다.
καί εἰσι ῥηταί·
그리고 그것들은 유리직선들이다.
ἐκ δύο ἄρα ὀνομάτων ἐστὶν ἡ ΓΔ.
λέγω δή, ὅτι τῇ τάξει ἐστὶν ἡ αὐτὴ τῇ ΑΒ.
ἡ γὰρ ΑΕ τῆς ΕΒ μεῖζον δύναται ἤτοι τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ ἢ τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου.
그러므로 CD는 이항선이다. 이제 그것이 차수에서도 AB와 같다는 것을 말한다. 왜냐하면 AE는 EB보다 자신과 길이에서 통약할 수 있는 직선의 정사각형만큼 더 많이 제곱할 수 있거나, 또는 통약할 수 없는 직선의 정사각형만큼 더 많이 제곱할 수 있기 때문이다.
εἰ μὲν οὖν ἡ ΑΕ τῆς ΕΒ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ ἡ ΓΖ τῆς ΖΔ μεῖζον δυνήσεται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ.
그러므로 만일 AE가 EB보다 자신과 통약할 수 있는 직선의 정사각형만큼 더 많이 제곱할 수 있다면, CZ도 ZD보다 자신과 통약할 수 있는 직선의 정사각형만큼 더 많이 제곱할 수 있을 것이다.
καὶ εἰ μὲν σύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΕ τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ, καὶ ἡ ΓΖ σύμμετρος αὐτῇ ἔσται, καὶ διὰ τοῦτο ἑκατέρα τῶν ΑΒ, ΓΔ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ πρώτη, τουτέστι τῇ τάξει ἡ αὐτή.
그리고 만일 AE가 주어진 유리직선과 통약할 수 있다면, CZ도 그것과 통약할 수 있을 것이고, 이 때문에 AB, CD 각각은 첫 번째 이항선이며, 즉 차수에서 같다.
εἰ δὲ ἡ ΕΒ σύμμετρός ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ, καὶ ἡ ΖΔ σύμμετρός ἐστιν αὐτῇ, καὶ διὰ τοῦτο πάλιν τῇ τάξει ἡ αὐτὴ ἔσται τῇ ΑΒ·
만일 EB가 주어진 유리직선과 통약할 수 있다면, ZD도 그것과 통약할 수 있을 것이고, 이 때문에 다시 AB와 차수가 같게 될 것이다.
ἑκατέρα γὰρ αὐτῶν ἔσται ἐκ δύο ὀνομάτων δευτέρα.
왜냐하면 그것들 각각은 두 번째 이항선이 될 것이기 때문이다.
εἰ δὲ οὐδετέρα τῶν ΑΕ, ΕΒ σύμμετρός ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ, οὐδετέρα τῶν ΓΖ, ΖΔ σύμμετρος αὐτῇ ἔσται, καί ἐστιν ἑκατέρα τρίτη.
만일 AE, EB 어느 것도 주어진 유리직선과 통약할 수 없다면, CZ, ZD 어느 것도 그것과 통약할 수 없을 것이고, 각각은 세 번째 이항선이다.
εἰ δὲ ἡ ΑΕ τῆς ΕΒ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ ἡ ΓΖ τῆς ΖΔ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ.
만일 AE가 EB보다 자신과 통약할 수 없는 직선의 정사각형만큼 더 많이 제곱할 수 있다면, CZ도 ZD보다 자신과 통약할 수 없는 직선의 정사각형만큼 더 많이 제곱할 수 있다.
καὶ εἰ μὲν ἡ ΑΕ σύμμετρός ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ, καὶ ἡ ΓΖ σύμμετρός ἐστιν αὐτῇ, καί ἐστιν ἑκατέρα τετάρτη.
그리고 만일 AE가 주어진 유리직선과 통약할 수 있다면, CZ도 그것과 통약할 수 있을 것이고, 각각은 네 번째 이항선이다.
εἰ δὲ ἡ ΕΒ, καὶ ἡ ΖΔ, καὶ ἔσται ἑκατέρα πέμπτη.
만일 EB가 그렇다면, ZD도 그러할 것이고, 각각은 다섯 번째 이항선이 될 것이다.
εἰ δὲ οὐδετέρα τῶν ΑΕ, ΕΒ, καὶ τῶν ΓΖ, ΖΔ οὐδετέρα σύμμετρός ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ, καὶ ἔσται ἑκατέρα ἕκτη.
만일 AE, EB 어느 것도 그렇지 않다면, CZ, ZD 어느 것도 주어진 유리직선과 통약할 수 없을 것이고, 각각은 여섯 번째 이항선이 될 것이다.
ὥστε ἡ τῇ ἐκ δύο ὀνομάτων μήκει σύμμετρος ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ καὶ τῇ τάξει ἡ αὐτή·
그러므로 이항선과 길이에서 통약할 수 있는 직선은 이항선이며 차수에서도 같다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 바이다.