§10.prop2.55ἐὰν χωρίον περιέχηται ὑπὸ ῥητῆς καὶ τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων δευτέρας, ἡ τὸ χωρίον δυναμένη ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἐκ δύο μέσων πρώτη.
만약 넓이가 유리직선과 두 번째 이항선에 의해 둘러싸여 있다면, 그 넓이를 제곱하는 직선은 무리직선이며 첫 번째 이중중항선이라 불리는 것이다.
περιεχέσθω γὰρ χωρίον τὸ ΑΒΓΔ ὑπὸ ῥητῆς τῆς ΑΒ καὶ τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων δευτέρας τῆς ΑΔ·
왜냐하면 넓이 ABCD가 유리직선 AB와 두 번째 이항선 AD에 의해 둘러싸여 있다고 하라.
λέγω, ὅτι ἡ τὸ ΑΓ χωρίον δυναμένη ἐκ δύο μέσων πρώτη ἐστίν.
나는 말한다, 넓이 AC를 제곱하는 직선은 첫 번째 이중중항선이라고.
ἐπεὶ γὰρ ἐκ δύο ὀνομάτων δευτέρα ἐστὶν ἡ ΑΔ, διῃρήσθω εἰς τὰ ὀνόματα κατὰ τὸ Ε, ὥστε τὸ μεῖζον ὄνομα εἶναι τὸ ΑΕ·
왜냐하면 AD는 두 번째 이항선이므로, E에서 항들로 나누어지게 하여, 더 큰 항을 AE라고 하라.
αἱ ΑΕ, ΕΔ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι, καὶ ἡ ΑΕ τῆς ΕΔ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ τὸ ἔλαττον ὄνομα ἡ ΕΔ σύμμετρόν ἐστι τῇ ΑΒ μήκει.
그러므로 AE, ED는 제곱에서만 통약할 수 있는 유리직선들이며, AE는 자신과 길이에서 통약할 수 있는 직선 위의 정사각형만큼 ED보다 제곱에서 더 크고, 더 작은 항 ED는 AB와 길이에서 통약할 수 있다.
τετμήσθω ἡ ΕΔ δίχα κατὰ τὸ Ζ, καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΖ ἴσον παρὰ τὴν ΑΕ παραβεβλήσθω ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΗΕ·
이제 ED가 점 Z에서 이등분되게 하고, EZ 위의 정사각형과 같은 넓이가 AE에 따라 정사각형 모양으로 부족하게 적용되게 하며, 그것을 AH, HE에 의해 둘러싸인 직사각형이라 하라.
σύμμετρος ἄρα ἡ ΑΗ τῇ ΗΕ μήκει.
그러므로 AH는 HE와 길이에서 통약할 수 있다.
καὶ διὰ τῶν Η, Ε, Ζ παράλληλοι ἤχθωσαν ταῖς ΑΒ, ΓΔ αἱ ΗΘ, ΕΚ, ΖΛ, καὶ τῷ μὲν ΑΘ παραλληλογράμμῳ ἴσον τετράγωνον συνεστάτω τὸ ΣΝ, τῷ δὲ ΗΚ ἴσον τετράγωνον τὸ ΝΠ, καὶ κείσθω ὥστε ἐπʼ εὐθείας εἶναι τὴν ΜΝ τῇ ΝΞ·
그리고 H, E, Z를 지나 AB, CD와 평행한 직선들 HT, EK, ZL이 그어지게 하고, 평행사변형 AT와 같은 정사각형 SN을 작도하고, HK와 같은 정사각형 NP를 작도하며, MN이 NX와 일직선상에 있도록 놓이게 하라.
ἐπʼ εὐθείας ἄρα καὶ ἡ ΡΝ τῇ ΝΟ. καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΣΠ τετράγωνον·
그러므로 RN도 NO와 일직선상에 있다. 그리고 정사각형 SP가 완성되게 하라.
φανερὸν δὴ ἐκ τοῦ προδεδειγμένου, ὅτι τὸ ΜΡ μέσον ἀνάλογόν ἐστι τῶν ΣΝ, ΝΠ, καὶ ἴσον τῷ ΕΛ, καὶ ὅτι τὸ ΑΓ χωρίον δύναται ἡ ΜΞ. δεικτέον δή, ὅτι ἡ ΜΞ ἐκ δύο μέσων ἐστὶ πρώτη.
앞에서 이미 증명된 바로부터, MP는 SN, NP의 비례중항이고 EL과 같으며, 넓이 AC를 제곱하는 것은 MX임이 분명하다. 이제 MX가 첫 번째 이중중항선임을 보여야 한다.
ἐπεὶ ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΕ τῇ ΕΔ μήκει, σύμμετρος δὲ ἡ ΕΔ τῇ ΑΒ, ἀσύμμετρος ἄρα ἡ ΑΕ τῇ ΑΒ. καὶ ἐπεὶ σύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΗ τῇ ΕΗ, σύμμετρός ἐστι καὶ ἡ ΑΕ ἑκατέρᾳ τῶν ΑΗ, ΗΕ. ἀλλὰ ἡ ΑΕ ἀσύμμετρος τῇ ΑΒ μήκει·
AE는 ED와 길이에서 통약할 수 없는데, ED는 AB와 통약할 수 있으므로, 그러므로 AE는 AB와 통약할 수 없다. 그리고 AH는 EH와 통약할 수 있으므로, AE도 AH, HE 각각과 통약할 수 있다. 그런데 AE는 AB와 길이에서 통약할 수 없다.
καὶ αἱ ΑΗ, ΗΕ ἄρα ἀσύμμετροί εἰσι τῇ ΑΒ. αἱ ΒΑ, ΑΗ, ΗΕ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι·
그러므로 AH, HE도 AB와 통약할 수 없다. 그러므로 BA, AH, HE는 제곱에서만 통약할 수 있는 유리직선들이다.
ὥστε μέσον ἐστὶν ἑκάτερον τῶν ΑΘ, ΗΚ. ὥστε καὶ ἑκάτερον τῶν ΣΝ, ΝΠ μέσον ἐστίν.
따라서 AT, HK 각각은 중항넓이이다. 따라서 SN, NP 각각도 중항넓이이다.
καὶ αἱ ΜΝ, ΝΞ ἄρα μέσαι εἰσίν.
그러므로 MN, NX도 중항직선들이다.
καὶ ἐπεὶ σύμμετρος ἡ ΑΗ τῇ ΗΕ μήκει, σύμμετρόν ἐστι καὶ τὸ ΑΘ τῷ ΗΚ, τουτέστι τὸ ΣΝ τῷ ΝΠ, τουτέστι τὸ ἀπὸ τῆς ΜΝ τῷ ἀπὸ τῆς ΝΞ.
그리고 AH는 HE와 길이에서 통약할 수 있으므로, AT도 HK와 통약할 수 있다. 즉, SN은 NP와 통약할 수 있고, 즉 MN 위의 정사각형은 NX 위의 정사각형과 통약할 수 있다.
καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΕ τῇ ΕΔ μήκει, ἀλλʼ ἡ μὲν ΑΕ σύμμετρός ἐστι τῇ ΑΗ, ἡ δὲ ΕΔ τῇ ΕΖ σύμμετρος, ἀσύμμετρος ἄρα ἡ ΑΗ τῇ ΕΖ·
그리고 AE는 ED와 길이에서 통약할 수 없는데, AE는 AH와 통약할 수 있고 ED는 EZ와 통약할 수 있으므로, 그러므로 AH도 EZ와 통약할 수 없다.
ὥστε καὶ τὸ ΑΘ τῷ ΕΛ ἀσύμμετρόν ἐστιν, τουτέστι τὸ ΣΝ τῷ ΜΡ, τουτέστιν ἡ ΟΝ τῇ ΝΡ, τουτέστιν ἡ ΜΝ τῇ ΝΞ ἀσύμμετρός ἐστι μήκει.
따라서 AT도 EL과 통약할 수 없다. 즉, SN은 MP와 통약할 수 없고, 즉 ON은 NP와 통약할 수 없으며, 즉 MN은 NX와 길이에서 통약할 수 없다.
ἐδείχθησαν δὲ αἱ ΜΝ, ΝΞ καὶ μέσαι οὖσαι καὶ δυνάμει σύμμετροι·
그런데 MN, NX는 중항직선들이면서 제곱에서 통약할 수 있음이 증명되었다.
αἱ ΜΝ, ΝΞ ἄρα μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι.
그러므로 MN, NX는 제곱에서만 통약할 수 있는 중항직선들이다.
λέγω δή, ὅτι καὶ ῥητὸν περιέχουσιν.
나는 이제 그들이 유리넓이를 둘러싸고 있다고 말한다.
ἐπεὶ γὰρ ἡ ΔΕ ὑπόκειται ἑκατέρᾳ τῶν ΑΒ, ΕΖ σύμμετρος, σύμμετρος ἄρα καὶ ἡ ΕΖ τῇ ΕΚ. καὶ ῥητὴ ἑκατέρα αὐτῶν·
왜냐하면 DE는 AB, EZ 각각과 통약할 수 있다고 가정되었으므로, 그러므로 EZ도 EK와 통약할 수 있다. 그리고 그들 각각은 유리직선이다.
ῥητὸν ἄρα τὸ ΕΛ, τουτέστι τὸ ΜΡ·
그러므로 EL, 즉 MP는 유리이다.
τὸ δὲ ΜΡ ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΜΝΞ. ἐὰν δὲ δύο μέσαι δυνάμει μόνον σύμμετροι συντεθῶσι ῥητὸν περιέχουσαι, ἡ ὅλη ἄλογός ἐστιν, καλεῖται δὲ ἐκ δύο μέσων πρώτη.
그런데 MP는 MN, NX에 의해 둘러싸인 직사각형이다. 만약 제곱에서만 통약할 수 있고 유리넓이를 둘러싸는 두 중항직선이 합해진다면, 전체는 무리직선이며 첫 번째 이중중항선이라 불린다.
ἡ ἄρα ΜΞ ἐκ δύο μέσων ἐστὶ πρώτη·
그러므로 MX는 첫 번째 이중중항선이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 바이다.