§10.prop2.58ἐὰν χωρίον περιέχηται ὑπὸ ῥητῆς καὶ τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων πέμπτης, ἡ τὸ χωρίον δυναμένη ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη.
만약 넓이가 유리직선과 다섯 번째 이항선에 의해 둘러싸여 있다면, 그 넓이를 제곱하는 직선은 무리직선이며 유리와 중항을 제곱하는 직선이라 불리는 것이다.
χωρίον γὰρ τὸ ΑΓ περιεχέσθω ὑπὸ ῥητῆς τῆς ΑΒ καὶ τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων πέμπτης τῆς ΑΔ διῃρημένης εἰς τὰ ὀνόματα κατὰ τὸ Ε, ὥστε τὸ μεῖζον ὄνομα εἶναι τὸ ΑΕ·
왜냐하면 넓이 AC가 유리직선 AB 와 다섯 번째 이항선 AD에 의해 둘러싸여 있다고 하라. 그리고 AD는 E에서 항들로 나누어지게 하여, 더 큰 항이 AE가 되게 하라.
λέγω, ὅτι ἡ τὸ ΑΓ χωρίον δυναμένη ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη.
나는 말한다, 넓이 AC를 제곱하는 직선은 무리직선이며 유리와 중항을 제곱하는 직선이라 불리는 것이라고.
Κατεσκευάσθω γὰρ τὰ αὐτὰ τοῖς πρότερον δεδειγμένοις·
왜냐하면 앞서 보인 것들과 같은 작도를 하라.
φανερὸν δή, ὅτι ἡ τὸ ΑΓ χωρίον δυναμένη ἐστὶν ἡ ΜΞ. δεικτέον δή, ὅτι ἡ ΜΞ ἐστιν ἡ ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη.
그러므로 넓이 AC를 제곱하는 것은 MX임이 분명하다. 이제 MX가 유리와 중항을 제곱하는 직선임을 보여야 한다.
ἐπεὶ γὰρ ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΗ τῇ ΗΕ, ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΑΘ τῷ ΘΕ, τουτέστι τὸ ἀπὸ τῆς ΜΝ τῷ ἀπὸ τῆς ΝΞ·
왜냐하면 AH는 HE와 통약할 수 없으므로, 그러므로 AT도 TE와 통약할 수 없고, 즉 MN 위의 정사각형은 NX 위의 정사각형과 통약할 수 없다.
αἱ ΜΝ, ΝΞ ἄρα δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι.
그러므로 MN, NX는 제곱에서 통약할 수 없다.
καὶ ἐπεὶ ἡ ΑΔ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ πέμπτη, καί ἔλασσον αὐτῆς τμῆμα τὸ ΕΔ, σύμμετρος ἄρα ἡ ΕΔ τῇ ΑΒ μήκει.
그리고 AD는 다섯 번째 이항선이고, 그것의 더 작은 선분은 ED이므로, 그러므로 ED는 AB와 길이에서 통약할 수 있다.
ἀλλὰ ἡ ΑΕ τῇ ΕΔ ἐστιν ἀσύμμετρος·
그러나 AE는 ED와 통약할 수 없다.
καὶ ἡ ΑΒ ἄρα τῇ ΑΕ ἐστιν ἀσύμμετρος μήκει.
그러므로 AB도 AE와 길이에서 통약할 수 없다.
μέσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΚ, τουτέστι τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΜΝ, ΝΞ. καὶ ἐπεὶ σύμμετρός ἐστιν ἡ ΔΕ τῇ ΑΒ μήκει, τουτέστι τῇ ΕΚ, ἀλλὰ ἡ ΔΕ τῇ ΕΖ σύμμετρός ἐστιν, καὶ ἡ ΕΖ ἄρα τῇ ΕΚ σύμμετρός ἐστιν.
그러므로 AK는 중항넓이이며, 즉 MN, NX 위의 정사각형들의 합도 중항넓이이다. 그리고 DE는 AB와 길이에서 통약할 수 있는데, 즉 EK와 통약할 수 있는데, DE는 EZ와 통약할 수 있으므로, 그러므로 EZ도 EK와 통약할 수 있다.
καὶ ῥητὴ ἡ ΕΚ·
그리고 EK는 유리이다.
ῥητὸν ἄρα καὶ τὸ ΕΛ, τουτέστι τὸ ΜΡ, τουτέστι τὸ ὑπὸ ΜΝΞ·
그러므로 EL도 유리이며, 즉 MP도 그러하고, 즉 MN, NX에 의해 둘러싸인 직사각형도 그러하다.
αἱ ΜΝ, ΝΞ ἄρα δυνάμει ἀσύμμετροί εἰσι ποιοῦσαι τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων μέσον, τὸ δʼ ὑπʼ αὐτῶν ῥητόν.
그러므로 MN, NX는 제곱에서 통약할 수 없으면서 그들 위의 정사각형들의 합을 중항넓이로 만들고, 그들에 의해 둘러싸인 직사각형을 유리로 만든다.
ἡ ΜΞ ἄρα ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη ἐστὶ καὶ δύναται τὸ ΑΓ χωρίον·
그러므로 MX는 유리와 중항을 제곱하는 직선이며, 넓이 AC를 제곱하는 것이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 바이다.
§10.prop2.59ἐὰν χωρίον περιέχηται ὑπὸ ῥητῆς καὶ τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων ἕκτης, ἡ τὸ χωρίον δυναμένη ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη δύο μέσα δυναμένη.
만약 넓이가 유리직선과 여섯 번째 이항선에 의해 둘러싸여 있다면, 그 넓이를 제곱하는 직선은 무리직선이며 두 중항을 제곱하는 직선이라 불리는 것이다.
χωρίον γὰρ τὸ ΑΒΓΔ περιεχέσθω ὑπὸ ῥητῆς τῆς ΑΒ καὶ τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων ἕκτης τῆς ΑΔ διῃρημένης εἰς τὰ ὀνόματα κατὰ τὸ Ε, ὥστε τὸ μεῖζον ὄνομα εἶναι τὸ ΑΕ·
왜냐하면 넓이 ABCD가 유리직선 AB 와 여섯 번째 이항선 AD에 의해 둘러싸여 있다고 하라. 그리고 AD는 E에서 항들로 나누어지게 하여, 더 큰 항이 AE가 되게 하라.
λέγω, ὅτι ἡ τὸ ΑΓ δυναμένη ἡ δύο μέσα δυναμένη ἐστίν.
나는 말한다, 넓이 AC를 제곱하는 것은 두 중항을 제곱하는 직선이라고.
Κατεσκευάσθω τὰ αὐτὰ τοῖς προδεδειγμένοις.
앞서 보인 것들과 같은 작도를 하라.
φανερὸν δή, ὅτι τὸ ΑΓ δυναμένη ἐστὶν ἡ ΜΞ, καὶ ὅτι ἀσύμμετρός ἐστι ἡ ΜΝ τῇ ΝΞ δυνάμει.
그러므로 넓이 AC를 제곱하는 것은 MX이고, MN은 NX와 제곱에서 통약할 수 없음이 분명하다.
καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΕΑ τῇ ΑΒ μήκει, αἱ ΕΑ, ΑΒ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι·
그리고 EA는 AB와 길이에서 통약할 수 없으므로, 그러므로 EA, AB는 제곱에서만 통약할 수 있는 유리직선들이다.
μέσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΚ, τουτέστι τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΜΝ, ΝΞ. πάλιν, ἐπεὶ ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΕΔ τῇ ΑΒ μήκει, ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΖΕ τῇ ΕΚ·
그러므로 AK는 중항넓이이며, 즉 MN, NX 위의 정사각형들의 합도 중항넓이이다. 다시, ED는 AB와 길이에서 통약할 수 없으므로, 그러므로 ZE도 EK와 통약할 수 없다.
αἱ ΖΕ, ΕΚ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι·
그러므로 ZE, EK는 제곱에서만 통약할 수 있는 유리직선들이다.
μέσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΕΛ, τουτέστι τὸ ΜΡ, τουτέστι τὸ ὑπὸ τῶν ΜΝΞ. καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρος ἡ ΑΕ τῇ ΕΖ, καὶ τὸ ΑΚ τῷ ΕΛ ἀσύμμετρόν ἐστιν.
그러므로 EL, 즉 MP는 중항넓이이고, 즉 MN, NX에 의해 둘러싸인 직사각형도 그러하다. 그리고 AE는 EZ와 통약할 수 없으므로, AK도 EL과 통약할 수 없다.
ἀλλὰ τὸ μὲν ΑΚ ἐστι τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΜΝ, ΝΞ, τὸ δὲ ΕΛ ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΜΝΞ·
그러나 AK는 MN, NX 위의 정사각형들의 합이고, EL은 MN, NX에 의해 둘러싸인 직사각형이다.
ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΜΝΞ τῷ ὑπὸ τῶν ΜΝΞ. καί ἐστι μέσον ἑκάτερον αὐτῶν, καὶ αἱ ΜΝ, ΝΞ δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι.
그러므로 MN, NX 위의 정사각형들의 합은 MN, NX에 의해 둘러싸인 직사각형과 통약할 수 없다. 그리고 그것들 각각은 중항넓이이며, MN, NX는 제곱에서 통약할 수 없다.
ἡ ΜΞ ἄρα δύο μέσα δυναμένη ἐστὶ καὶ δύναται τὸ ΑΓ·
그러므로 MX는 두 중항을 제곱하는 직선이며, 넓이 AC를 제곱하는 것이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 바이다.