§10.prop1.4τριῶν μεγεθῶν συμμέτρων δοθέντων τὸ μέγιστον αὐτῶν κοινὸν μέτρον εὑρεῖν.
주어진 세 개의 통약가능한 크기의 최대공도를 구하는 것.
ἔστω τὰ δοθέντα τρία μεγέθη σύμμετρα τὰ Α, Β, Γ·
주어진 세 개의 통약가능한 크기를 Α, Β, Γ라 하자.
δεῖ δὴ τῶν Α, Β, Γ τὸ μέγιστον κοινὸν μέτρον εὑρεῖν.
우리는 Α, Β, Γ의 최대공도를 구해야 한다.
εἰλήφθω γὰρ δύο τῶν Α, Β τὸ μέγιστον κοινὸν μέτρον, καὶ ἔστω τὸ Δ·
왜냐하면 Α, Β 중 두 개의 최대공도가 취해졌다고 하고 그것을 Δ라 하자.
τὸ δὴ Δ τὸ Γ ἤτοι μετρεῖ ἢ οὔ.
그렇다면 Δ는 Γ를 측정하거나 측정하지 못한다.
μετρείτω πρότερον.
먼저 측정한다고 하자.
ἐπεὶ οὖν τὸ Δ τὸ Γ μετρεῖ, μετρεῖ δὲ καὶ τὰ Α, Β, τὸ Δ ἄρα τὰ Α, Β, Γ μετρεῖ·
그렇다면 Δ가 Γ를 측정하고, Α, Β도 측정하므로, 따라서 Δ는 Α, Β, Γ를 측정한다.
τὸ Δ ἄρα τῶν Α, Β, Γ κοινὸν μέτρον ἐστίν.
그러므로 Δ는 Α, Β, Γ의 공도이다.
καὶ φανερόν, ὅτι καὶ μέγιστον·
그리고 그것이 가장 크다는 것도 명백하다.
μεῖζον γὰρ τοῦ Δ μεγέθους τὰ Α, Β οὐ μετρεῖ.
왜냐하면 크기 Δ보다 큰 크기는 Α, Β를 측정하지 못할 것이기 때문이다.
μὴ μετρείτω δὴ τὸ Δ τὸ Γ. λέγω πρῶτον, ὅτι σύμμετρά ἐστι τὰ Γ, Δ. ἐπεὶ γὰρ σύμμετρά ἐστι τὰ Α, Β, Γ, μετρήσει τι αὐτὰ μέγεθος, ὃ δηλαδὴ καὶ τὰ Α, Β μετρήσει·
그러므로 Δ가 Γ를 측정하지 못한다고 하자. 나는 먼저 Γ, Δ가 통약가능하다고 말한다. 왜냐하면 Α, Β, Γ가 통약가능하므로, 어떤 크기가 그것들을 측정할 것인데, 그것은 말할 것도 없이 Α, Β도 측정할 것이기 때문이다.
ὥστε καὶ τὸ τῶν Α, Β μέγιστον κοινὸν μέτρον τὸ Δ μετρήσει.
따라서 그것은 Α, Β의 최대공도인 Δ도 측정할 것이다.
μετρεῖ δὲ καὶ τὸ Γ·
그런데 그것은 Γ도 측정한다.
ὥστε τὸ εἰρημένον μέγεθος μετρήσει τὰ Γ, Δ·
그러므로 언급된 크기는 Γ, Δ를 측정할 것이다.
σύμμετρα ἄρα ἐστὶ τὰ Γ, Δ. εἰλήφθω οὖν αὐτῶν τὸ μέγιστον κοινὸν μέτρον, καὶ ἔστω τὸ Ε. ἐπεὶ οὖν τὸ Ε τὸ Δ μετρεῖ, ἀλλὰ τὸ Δ τὰ Α, Β μετρεῖ, καὶ τὸ Ε ἄρα τὰ Α, Β μετρήσει.
따라서 Γ, Δ는 통약가능하다. 그러므로 그것들의 최대공도가 취해졌다고 하고 그것을 Ε라 하자. 그렇다면 Ε가 Δ를 측정하지만, Δ는 Α, Β를 측정하므로, 따라서 Ε도 Α, Β를 측정할 것이다.
μετρεῖ δὲ καὶ τὸ Γ. τὸ Ε ἄρα τὰ Α, Β, Γ μετρεῖ·
그런데 그것은 Γ도 측정한다. 그러므로 Ε는 Α, Β, Γ를 측정한다.
τὸ Ε ἄρα τῶν Α, Β, Γ κοινόν ἐστι μέτρον.
따라서 Ε는 Α, Β, Γ의 공도이다.
λέγω δή, ὅτι καὶ μέγιστον.
나는 그것이 가장 크다고도 말한다.
εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω τι τοῦ Ε μεῖζον μέγεθος τὸ Ζ, καὶ μετρείτω τὰ Α, Β, Γ. καὶ ἐπεὶ τὸ Ζ τὰ Α, Β, Γ μετρεῖ, καὶ τὰ Α, Β ἄρα μετρήσει καὶ τὸ τῶν Α, Β μέγιστον κοινὸν μέτρον μετρήσει.
왜냐하면 만약 가능하다면, Ε보다 크면서 Α, Β, Γ를 측정하는 어떤 크기 Ζ가 존재한다고 하자. 그리고 Ζ가 Α, Β, Γ를 측정하므로, 따라서 Α, Β도 측정할 것이며, Α, Β의 최대공도도 측정할 것이다.
τὸ δὲ τῶν Α, Β μέγιστον κοινὸν μέτρον ἐστὶ τὸ Δ·
그런데 Α, Β의 최대공도는 Δ이다.
τὸ Ζ ἄρα τὸ Δ μετρεῖ.
그러므로 Ζ는 Δ를 측정한다.
μετρεῖ δὲ καὶ τὸ Γ·
그런데 그것은 Γ도 측정한다.
τὸ Ζ ἄρα τὰ Γ, Δ μετρεῖ·
그러므로 Ζ는 Γ, Δ를 측정한다.
καὶ τὸ τῶν Γ, Δ ἄρα μέγιστον κοινὸν μέτρον μετρήσει τὸ Ζ. ἔστι δὲ τὸ ε·
따라서 그것은 Γ, Δ의 최대공도도 측정할 것이다. 그런데 그것은 Ε이다.
τὸ Ζ ἄρα τὸ Ε μετρήσει, τὸ μεῖζον τὸ ἔλασσον·
그러므로 Ζ가 Ε를 측정하게 되어, 큰 것이 작은 것을 측정하게 된다.
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
이것은 불가능하다.
οὐκ ἄρα μεῖζόν τι τοῦ Ε μεγέθους τὰ Α, Β, Γ μετρεῖ·
그러므로 크기 Ε보다 큰 어떤 크기도 Α, Β, Γ를 측정하지 못할 것이다.
τὸ Ε ἄρα τῶν Α, Β, Γ τὸ μέγιστον κοινὸν μέτρον ἐστίν, ἐὰν μὴ μετρῇ τὸ Δ τὸ Γ, ἐὰν δὲ μετρῇ, αὐτὸ τὸ Δ.
τριῶν ἄρα μεγεθῶν συμμέτρων δοθέντων τὸ μέγιστον κοινὸν μέτρον ηὕρηται.
따라서 만약 Δ가 Γ를 측정하지 못한다면 Ε가 Α, Β, Γ의 최대공도이고, 만약 측정한다면 Δ 자체가 그것이다. 그러므로 주어진 세 개의 통약가능한 크기의 최대공도가 구해졌다.
Πόρισμα
ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι, ἐὰν μέγεθος τρία μεγέθη μετρῇ, καὶ τὸ μέγιστον αὐτῶν κοινὸν μέτρον μετρήσει.
따름정리 이로부터, 만약 어떤 크기가 세 개의 크기를 측정한다면, 그것은 그것들의 최대공도도 측정할 것이라는 점이 명백하다.
ὁμοίως δὴ καὶ ἐπὶ πλειόνων τὸ μέγιστον κοινὸν μέτρον ληφθήσεται, καὶ τὸ πόρισμα προχωρήσει.
그렇다면 보다 많은 크기들에 대해서도 마찬가지로 최대공도가 구해질 것이며, 따름정리도 성립할 것이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 것이다.