§10.prop1.32εὑρεῖν δύο μέσας δυνάμει μόνον συμμέτρους μέσον περιεχούσας, ὥστε τὴν μείζονα τῆς ἐλάσσονος μεῖζον δύνασθαι τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ.
미디얼 면적을 둘러싸는, 제곱에서만 통약할 수 있는 두 미디얼 직선을 구하는 것. 단, 더 큰 직선 위의 정사각형이 더 작은 직선 위의 정사각형보다, 자신과 길이에서 통약할 수 있는 직선 위의 정사각형만큼 더 크도록 해야 한다.
Ἐκκείσθωσαν τρεῖς ῥηταὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι αἱ α, Β, Γ, ὥστε τὴν Α τῆς Γ μεῖζον δύνασθαι τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ τῷ μὲν ὑπὸ τῶν Α, Β ἴσον ἔστω τὸ ἀπὸ τῆς Δ. μέσον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς Δ·
제곱에서만 통약할 수 있는 세 유리직선 A, B, C가 주어져 있다고 하자. 단, A 위의 정사각형이 C 위의 정사각형보다 자신과 길이에서 통약할 수 있는 직선 위의 정사각형만큼 더 크게 제곱될 수 있도록 한 것이다. 그리고 A, B에 의해 둘러싸인 직사각형과 같은 것이 D 위의 정사각형이라고 하자.
καὶ ἡ Δ ἄρα μέση ἐστίν.
그러므로 D 위의 정사각형은 미디얼이고, D 역시 미디얼 직선이다.
τῷ δὲ ὑπὸ τῶν Β, Γ ἴσον ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν Δ, Ε. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ ὑπὸ τῶν Α, Β πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν Β, Γ, οὕτως ἡ Α πρὸς τὴν Γ, ἀλλὰ τῷ μὲν ὑπὸ τῶν Α, Β ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς Δ, τῷ δὲ ὑπὸ τῶν Β, Γ ἴσον τὸ ὑπὸ τῶν Δ, Ε, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Γ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Δ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν Δ, Ε. ὡς δὲ τὸ ἀπὸ τῆς Δ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν Δ, Ε, οὕτως ἡ Δ πρὸς τὴν Ε·
그리고 B, C에 의해 둘러싸인 직사각형과 같은 것이 D, E에 의해 둘러싸인 직사각형이라고 하자. 그리고 A, B에 의해 둘러싸인 직사각형과 B, C에 의해 둘러싸인 직사각형의 비는 A와 C의 비와 같고, A, B에 의해 둘러싸인 직사각형에는 D 위의 정사각형이 같으며, B, C에 의해 둘러싸인 직사각형에는 D, E에 의해 둘러싸인 직사각형이 같으므로, 따라서 A와 C의 비는 D 위의 정사각형과 D, E에 의해 둘러싸인 직사각형의 비와 같다. 그런데 D 위의 정사각형과 D, E에 의해 둘러싸인 직사각형의 비는 D와 E의 비와 같다.
καὶ ὡς ἄρα ἡ Α πρὸς τὴν Γ, οὕτως ἡ Δ πρὸς τὴν Ε·
그러므로 A와 C의 비 역시 D와 E의 비와 같다.
σύμμετρος δὲ ἡ Α τῇ Γ δυνάμει.
그런데 A는 C와 제곱에서만 통약할 수 있다.
σύμμετρος ἄρα καὶ ἡ Δ τῇ Ε δυνάμει μόνον.
그러므로 D 역시 E와 제곱에서만 통약할 수 있다.
μέση δὲ ἡ Δ·
그리고 D는 미디얼 직선이다.
μέση ἄρα καὶ ἡ Ε. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Γ, ἡ Δ πρὸς τὴν Ε, ἡ δὲ Α τῆς Γ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ ἡ Δ ἄρα τῆς Ε μεῖζον δυνήσεται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ.
그러므로 E 역시 미디얼 직선이다. 그리고 A와 C의 비가 D와 E의 비와 같고, A는 C보다 자신과 통약할 수 있는 직선 위의 정사각형만큼 더 크게 제곱될 수 있으므로, 따라서 D 역시 E보다 자신과 통약할 수 있는 직선 위의 정사각형만큼 더 크게 제곱될 수 있을 것이다.
λέγω δή, ὅτι καὶ μέσον ἐστὶ τὸ ὑπὸ τῶν Δ, Ε. ἐπεὶ γὰρ ἴσον ἐστὶ τὸ ὑπὸ τῶν Β, Γ τῷ ὑπὸ τῶν Δ, Ε, μέσον δὲ τὸ ὑπὸ τῶν Β, Γ, μέσον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ τῶν Δ, Ε.
Εὕρηνται ἄρα δύο μέσαι δυνάμει μόνον σύμμετροι αἱ Δ, Ε μέσον περιέχουσαι, ὥστε τὴν μείζονα τῆς ἐλάσσονος μεῖζον δύνασθαι τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ.
그리고 나는 D, E에 의해 둘러싸인 직사각형 역시 미디얼임을 주장한다. 왜냐하면 B, C에 의해 둘러싸인 직사각형은 D, E에 의해 둘러싸인 직사각형과 같고, B, C에 의해 둘러싸인 직사각형은 미디얼이기 때문에, 따라서 D, E에 의해 둘러싸인 직사각형 역시 미디얼이다. 그러므로 미디얼 면적을 둘러싸는, 제곱에서만 통약할 수 있는 두 미디얼 직선 D, E가 구해졌다. 단, 더 큰 직선 위의 정사각형이 더 작은 직선 위의 정사각형보다, 자신과 길이에서 통약할 수 있는 직선 위의 정사각형만큼 더 크도록 해야 한다.
ὁμοίως δὴ πάλιν δειχθήσεται καὶ τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου, ὅταν ἡ Α τῆς Γ μεῖζον δύνηται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ.
그리고 마찬가지로 A가 C보다 자신과 통약할 수 없는 직선 위의 정사각형만큼 더 크게 제곱될 수 있을 때, 다시 자신과 통약할 수 없는 직선 위의 정사각형에 대해서도 증명될 것이다.
λῆμμα
ἔστω τρίγωνον ὀρθογώνιον τὸ ΑΒΓ ὀρθὴν ἔχον τὴν α, καὶ ἤχθω κάθετος ἡ ΑΔ·
보조정리 A를 직각으로 가지는 직각삼각형 ABG가 주어지고, 수선 AD가 그어졌다고 하자.
λέγω, ὅτι τὸ μὲν ὑπὸ τῶν ΓΒΔ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΒΑ, τὸ δὲ ὑπὸ τῶν ΒΓΔ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΓΑ, καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΔ, ΔΓ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΑΔ, καὶ ἔτι τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ, ΑΔ ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ.
καὶ πρῶτον, ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ΓΒΔ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΒΑ.
ἐπεὶ γὰρ ἐν ὀρθογωνίῳ τριγώνῳ ἀπὸ τῆς ὀρθῆς γωνίας ἐπὶ τὴν βάσιν κάθετος ἦκται ἡ ΑΔ, τὰ ΑΒΔ, ΑΔΓ ἄρα τρίγωνα ὅμοιά ἐστι τῷ τε ὅλῳ τῷ ΑΒΓ καὶ ἀλλήλοις.
나는 GB, BD에 의해 둘러싸인 직사각형은 BA 위의 정사각형과 같고, BG, GD에 의해 둘러싸인 직사각형은 GA 위의 정사각형과 같으며, BD, DG에 의해 둘러싸인 직사각형은 AD 위의 정사각형과 같고, 나아가 BG, AD에 의해 둘러싸인 직사각형은 BA, AG에 의해 둘러싸인 직사각형과 같음을 주장한다. 그리고 먼저, GB, BD에 의해 둘러싸인 직사각형이 BA 위의 정사각형과 같다는 것. 왜냐하면 직각삼각형에서 직각으로부터 밑변에 수선 AD가 그어졌으므로, 삼각형 ABD, ADG는 전체 ABG와도, 그리고 서로와도 닮음이기 때문이다.
καὶ ἐπεὶ ὅμοιόν ἐστι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΑΒΔ τριγώνῳ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΒΑ, οὕτως ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΒΔ·
그리고 삼각형 ABG는 삼각형 ABD와 닮음이므로, 따라서 GB와 BA의 비는 BA와 BD의 비와 같다.
τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΓΒΔ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ.
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓΔ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΓ.
καὶ ἐπεί, ἐὰν ἐν ὀρθογωνίῳ τριγώνῳ ἀπὸ τῆς ὀρθῆς γωνίας ἐπὶ τὴν βάσιν κάθετος ἀχθῇ, ἡ ἀχθεῖσα τῶν τῆς βάσεως τμημάτων μέση ἀνάλογόν ἐστιν, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΑ, οὕτως ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΔΓ·
그러므로 GB, BD에 의해 둘러싸인 직사각형은 AB 위의 정사각형과 같다. 같은 이유로 BG, GD에 의해 둘러싸인 직사각형 역시 AC 위의 정사각형과 같다. 그리고 직각삼각형에서 직각으로부터 밑변에 수선이 그어지면, 그어진 수선은 밑변의 분절들의 비례중항이 되므로, 따라서 BD와 DA의 비는 AD와 DG의 비와 같다.
τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΒΔ, ΔΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΔΑ.
λέγω, ὅτι καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ, ΑΔ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ. ἐπεὶ γάρ, ὡς ἔφαμεν, ὅμοιόν ἐστι τὸ ΑΒΓ τῷ ΑΒΔ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΑ, οὕτως ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΔ. τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΒΓ, ΑΔ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ·
그러므로 BD, DG에 의해 둘러싸인 직사각형은 DA 위의 정사각형과 같다. 그리고 나는 BG, AD에 의해 둘러싸인 직사각형 역시 BA, AC에 의해 둘러싸인 직사각형과 같음을 주장한다. 왜냐하면 우리가 말한 바와 같이 ABG가 ABD와 닮음이므로, 따라서 BG와 GA의 비는 BA 와 AD의 비와 같다. 그러므로 BG, AD에 의해 둘러싸인 직사각형은 BA, AC에 의해 둘러싸인 직사각형과 같다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 보여야 할 일이었다.