§10.prop1.35εὑρεῖν δύο εὐθείας δυνάμει ἀσυμμέτρους ποιούσας τό τε συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων μέσον καὶ τὸ ὑπʼ αὐτῶν μέσον καὶ ἔτι ἀσύμμετρον τῷ συγκειμένῳ ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνῳ.
제곱에서 통약할 수 없는 두 직선을 구하는 것. 그것들 위의 정사각형들의 합은 미디얼이고 그것들에 의해 둘러싸인 직사각형 역시 미디얼이며, 게다가 그것들 위의 정사각형들의 합과 통약할 수 없도록 해야 한다.
Ἐκκείσθωσαν δύο μέσαι δυνάμει μόνον σύμμετροι αἱ ΑΒ, ΒΓ μέσον περιέχουσαι, ὥστε τὴν ΑΒ τῆς ΒΓ μεῖζον δύνασθαι τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ γεγράφθω ἐπὶ τῆς ΑΒ ἡμικύκλιον τὸ ΑΔΒ, καὶ τὰ λοιπὰ γεγονέτω τοῖς ἐπάνω ὁμοίως.
제곱에서만 통약할 수 있고 미디얼인 넓이를 둘러싸는 두 미디얼 직선 AB, BC가 주어져 있다고 하자. 단, AB가 BC보다 자신과 통약할 수 없는 직선 위의 정사각형만큼 더 크게 제곱될 수 있도록 한 것이다. 그리고 AB 위에 반원 ADB가 그려지도록 하고, 나머지 부분은 위에서와 같이 이루어지도록 하자.
καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΖ τῇ ΖΒ μήκει, ἀσύμμετρός ἐστι καὶ ἡ ΑΔ τῇ ΔΒ δυνάμει.
그리고 AZ가 ZB와 길이에서 통약할 수 없으므로, AD 역시 DB와 제곱에서 통약할 수 없다.
καὶ ἐπεὶ μέσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ, μέσον ἄρα καὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ. καὶ ἐπεὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖ, ΖΒ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀφʼ ἑκατέρας τῶν ΒΕ, ΔΖ, ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΕ τῇ ΔΖ·
그리고 AB 위의 정사각형은 미디얼이므로, 따라서 AD, DB 위의 정사각형들의 합 역시 미디얼이다. 그리고 AZ, ZB에 의해 둘러싸인 직사각형은 BE, DZ의 각각 위의 정사각형과 같으므로, 따라서 BE는 DZ와 같다.
διπλῆ ἄρα ἡ ΒΓ τῆς ΖΔ·
그러므로 BC는 ZD의 두 배이다.
ὥστε καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ διπλάσιόν ἐστι τοῦ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΖΔ. μέσον δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ·
따라서 AB, BC에 의해 둘러싸인 직사각형 역시 AB, ZD에 의해 둘러싸인 직사각형의 두 배이다. 그런데 AB, BC에 의해 둘러싸인 직사각형은 미디얼이다.
μέσον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΖΔ. καί ἐστιν ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ·
그러므로 AB, ZD에 의해 둘러싸인 직사각형 역시 미디얼이다. 그리고 그것은 AD, DB에 의해 둘러싸인 직사각형과 같다.
μέσον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ. καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΒΓ μήκει, σύμμετρος δὲ ἡ ΓΒ τῇ ΒΕ, ἀσύμμετρος ἄρα καὶ ἡ ΑΒ τῇ ΒΕ μήκει·
그러므로 AD, DB에 의해 둘러싸인 직사각형 역시 미디얼이다. 그리고 AB는 BC와 길이에서 통약할 수 없고, GB는 BE와 통약할 수 있으므로, 따라서 AB 역시 BE와 길이에서 통약할 수 없다.
ὥστε καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΕ ἀσύμμετρόν ἐστιν.
그러므로 AB 위의 정사각형 역시 AB, BE에 의해 둘러싸인 직사각형과 통약할 수 없다.
ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ, τῷ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΕ ἴσον ἐστὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΖΔ, τουτέστι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ·
그런데 AB 위의 정사각형은 AD, DB 위의 정사각형들의 합과 같고, AB, BE에 의해 둘러싸인 직사각형은 AB, ZD에 의해 둘러싸인 직사각형, 즉 AD, DB에 의해 둘러싸인 직사각형과 같다.
ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ.
Εὕρηνται ἄρα δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΔ, ΔΒ δυνάμει ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τό τε συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν μέσον καὶ τὸ ὑπʼ αὐτῶν μέσον καὶ ἔτι ἀσύμμετρον τῷ συγκειμένῳ ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων·
그러므로 AD, DB 위의 정사각형들의 합은 AD, DB에 의해 둘러싸인 직사각형과 통약할 수 없다. 그러므로 제곱에서 통약할 수 없는 두 직선 AD, DB가 구해졌다. 그것들 위의 정사각형들의 합은 미디얼이고 그것들에 의해 둘러싸인 직사각형 역시 미디얼이며, 게다가 그것들 위의 정사각형들의 합과 통약할 수 없도록 하는 것이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 보여야 할 일이었다.
§10.prop1.36ἐὰν δύο ῥηταὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι συντεθῶσιν, ἡ ὅλη ἄλογός ἐστιν, καλείσθω δὲ ἐκ δύο ὀνομάτων.
만일 제곱에서만 통약할 수 있는 두 유리직선이 더해진다면, 전체 직선은 무리적이며, 그것은 이명선이라 불리도록 하자.
Συγκείσθωσαν γὰρ δύο ῥηταὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι αἱ ΑΒ, ΒΓ·
실제로 제곱에서만 통약할 수 있는 두 유리직선 AB, BC가 더해져 있다고 하자.
λέγω, ὅτι ὅλη ἡ ΑΓ ἄλογός ἐστιν.
나는 전체 AC가 무리적임을 주장한다.
ἐπεὶ γὰρ ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΒΓ μήκει· δυνάμει γὰρ μόνον εἰσὶ σύμμετροι· ὡς δὲ ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ, ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τῷ ἀπὸ τῆς ΒΓ. ἀλλὰ τῷ μὲν ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ σύμμετρόν ἐστι τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ, τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΒΓ σύμμετρά ἐστι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ· αἱ γὰρ ΑΒ, ΒΓ ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι·
왜냐하면 AB는 BC와 길이에서 통약할 수 없고(왜냐하면 그것들은 제곱에서만 통약할 수 있기 때문이다), AB와 BC의 비는 AB, BC에 의해 둘러싸인 직사각형과 BC 위의 정사각형의 비와 같으므로, 따라서 AB, BC에 의해 둘러싸인 직사각형은 BC 위의 정사각형과 통약할 수 없다. 그런데 AB, BC에 의해 둘러싸인 직사각형은 두 배의 AB, BC에 의해 둘러싸인 직사각형과 통약할 수 있고, BC 위의 정사각형은 AB, BC 위의 정사각형들의 합과 통약할 수 있으므로(왜냐하면 AB, BC는 제곱에서만 통약할 수 있는 유리직선이기 때문이다), 따라서 두 배의 AB, BC에 의해 둘러싸인 직사각형은 AB, BC 위의 정사각형들의 합과 통약할 수 없다.
ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ. καὶ συνθέντι τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ μετὰ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ, τουτέστι τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ, ἀσύμμετρόν ἐστι τῷ συγκειμένῳ ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ. ῥητὸν δὲ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ·
그리고 AB, BC 위의 정사각형들의 합에 두 배의 AB, BC에 의해 둘러싸인 직사각형을 더한 것, 즉 AC 위의 정사각형은 AB, BC 위의 정사각형들의 합과 통약할 수 없다. 그런데 AB, BC 위의 정사각형들의 합은 유리적이다.
ἄλογον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ·
따라서 AC 위의 정사각형은 무리적이다.
ὥστε καὶ ἡ ΑΓ ἄλογός ἐστιν, καλείσθω δὲ ἐκ δύο ὀνομάτων·
그러므로 AC 역시 무리적이며, 그것은 이명선이라 불리도록 하자.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 보여야 할 일이었다.
§10.prop1.37ἐὰν δύο μέσαι δυνάμει μόνον σύμμετροι συντεθῶσι ῥητὸν περιέχουσαι, ἡ ὅλη ἄλογός ἐστιν, καλείσθω δὲ ἐκ δύο μέσων πρώτη.
만일 제곱에서만 통약할 수 있고 유리적인 넓이를 둘러싸는 두 미디얼 직선이 더해진다면, 전체 직선은 무리적이며, 그것은 제1 이중미디알선이라 불리도록 하자.
Συγκείσθωσαν γὰρ δύο μέσαι δυνάμει μόνον σύμμετροι αἱ ΑΒ, ΒΓ ῥητὸν περιέχουσαι·
실제로 제곱에서만 통약할 수 있고 유리적인 넓이를 둘러싸는 두 미디얼 직선 AB, BC가 더해져 있다고 하자.
λέγω, ὅτι ὅλη ἡ ΑΓ ἄλογός ἐστιν.
나는 전체 AC가 무리적임을 주장한다.
ἐπεὶ γὰρ ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΒΓ μήκει, καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἄρα ἀσύμμετρά ἐστι τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ·
왜냐하면 AB는 BC와 길이에서 통약할 수 없으므로, 따라서 AB, BC 위의 정사각형들의 합 역시 두 배의 AB, BC에 의해 둘러싸인 직사각형과 통약할 수 없다.
καὶ συνθέντι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ μετὰ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ, ὅπερ ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ, ἀσύμμετρόν ἐστι τῷ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ. ῥητὸν δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ·
그리고 AB, BC 위의 정사각형들의 합에 두 배의 AB, BC에 의해 둘러싸인 직사각형을 더한 것, 즉 AC 위의 정사각형은 AB, BC에 의해 둘러싸인 직사각형과 통약할 수 없다. 그런데 AB, BC에 의해 둘러싸인 직사각형은 유리적이다.
ὑπόκεινται γὰρ αἱ ΑΒ, ΒΓ ῥητὸν περιέχουσαι·
왜냐하면 가정에 의해 AB, BC는 유리적인 넓이를 둘러싸도록 주어져 있기 때문이다.
ἄλογον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ·
따라서 AC 위의 정사각형은 무리적이다.
ἄλογος ἄρα ἡ ΑΓ, καλείσθω δὲ ἐκ δύο μέσων πρώτη·
그러므로 AC는 무리적이며, 그것은 제1 이중미디알선이라 불리도록 하자.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 보여야 할 일이었다.