§10.prop1.29εὑρεῖν δύο ῥητὰς δυνάμει μόνον συμμέτρους, ὥστε τὴν μείζονα τῆς ἐλάσσονος μεῖζον δύνασθαι τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ μήκει.
제곱에서만 통약할 수 있는 두 유리직선을 구하는 것. 단, 더 큰 직선 위의 정사각형이 더 작은 직선 위의 정사각형보다, 자신과 길이에서 통약할 수 있는 직선 위의 정사각형만큼 더 크도록 해야 한다.
Ἐκκείσθω γάρ τις ῥητὴ ἡ ΑΒ καὶ δύο τετράγωνοι ἀριθμοὶ οἱ ΓΔ, ΔΕ, ὥστε τὴν ὑπεροχὴν αὐτῶν τὸν ΓΕ μὴ εἶναι τετράγωνον, καὶ γεγράφθω ἐπὶ τῆς ΑΒ ἡμικύκλιον τὸ ΑΖΒ, καὶ πεποιήσθω ὡς ὁ ΔΓ πρὸς τὸν ΓΕ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΖ τετράγωνον καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΒ.
ἐπεὶ ἐστιν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΖ, οὕτως ὁ ΔΓ πρὸς τὸν ΓΕ, τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΖ λόγον ἔχει, ὃν ἀριθμὸς ὁ ΔΓ πρὸς ἀριθμὸν τὸν ΓΕ·
어떤 유리직선 AB가 주어져 있고, 또한 두 정사각형수 CD, DE가 그들의 차인 CE가 정사각형수가 되지 않도록 주어져 있다고 하자. 그리고 AB 위에 반원 AZB를 그리고, CD와 CE의 비가 BA 위의 정사각형과 AZ 위의 정사각형의 비와 같도록 만들고, ZB를 잇자. BA 위의 정사각형과 AZ 위의 정사각형의 비가 CD와 CE의 비와 같으므로, 따라서 BA 위의 정사각형은 AZ 위의 정사각형에 대하여 수 CD가 수 CE에 대하여 가지는 비를 가진다.
σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΖ. ῥητὸν δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ· ῥητὸν ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΖ·
그러므로 BA 위의 정사각형은 AZ 위의 정사각형과 통약할 수 있다. 그런데 AB 위의 정사각형은 유리적이므로, 따라서 AZ 위의 정사각형 역시 유리적이다.
ῥητὴ ἄρα καὶ ἡ ΑΖ. καὶ ἐπεὶ ὁ ΔΓ πρὸς τὸν ΓΕ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, οὐδὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΖ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν·
그러므로 AZ 역시 유리직선이다. 그리고 CD가 CE에 대하여 가지는 비는 정사각형수가 정사각형수에 대하여 가지는 비가 아니므로, 따라서 BA 위의 정사각형 역시 AZ 위의 정사각형에 대하여 정사각형수가 정사각형수에 대하여 가지는 비를 가지지 않는다.
ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΑΖ μήκει·
그러므로 AB는 AZ와 길이에서 통약할 수 없다.
αἱ ΒΑ, ΑΖ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι.
그러므로 BA, AZ는 제곱에서만 통약할 수 있는 유리직선들이다.
καὶ ἐπεί ὡς ὁ ΔΓ πρὸς τὸν ΓΕ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΖ, ἀναστρέψαντι ἄρα ὡς ὁ ΓΔ πρὸς τὸν ΔΕ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΖ. ὁ δὲ ΓΔ πρὸς τὸν ΔΕ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν·
그리고 CD와 CE의 비가 BA 위의 정사각형과 AZ 위의 정사각형의 비와 같으므로, 따라서 비율을 반전하면 GD와 DE의 비는 AB 위의 정사각형과 BZ 위의 정사각형의 비와 같다. 그런데 GD는 DE에 대하여 정사각형수가 정사각형수에 대하여 가지는 비를 가진다.
καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΖ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν·
그러므로 AB 위의 정사각형 역시 BZ 위의 정사각형에 대하여 정사각형수가 정사각형수에 대하여 가지는 비를 가진다.
σύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΒΖ μήκει.
그러므로 AB는 BZ와 길이에서 통약할 수 있다.
καί ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΖ, ΖΒ·
그리고 AB 위의 정사각형은 AZ, ZB 위의 정사각형들의 합과 같다.
ἡ ΑΒ ἄρα τῆς ΑΖ μεῖζον δύναται τῇ ΒΖ συμμέτρῳ ἑαυτῇ.
그러므로 AB는 AZ보다 자신과 길이에서 통약할 수 있는 BZ 위의 정사각형만큼 더 크게 제곱될 수 있다.
Εὕρηνται ἄρα δύο ῥηταὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι αἱ ΒΑ, ΑΖ, ὥστε τὴν μείζονα τὴν ΑΒ τῆς ἐλάσσονος τῆς ΑΖ μεῖζον δύνασθαι τῷ ἀπὸ τῆς ΒΖ συμμέτρου ἑαυτῇ μήκει·
그러므로 제곱에서만 통약할 수 있는 두 유리직선 BA, AZ가 구해졌다. 단, 더 큰 AB가 더 작은 AZ보다 자신과 길이에서 통약할 수 있는 BZ 위의 정사각형만큼 더 크게 제곱될 수 있도록 한 것이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 보여야 할 일이었다.