§10.prop1.28#1μέσας εὑρεῖν δυνάμει μόνον συμμέτρους μέσον περιεχούσας.
평방에서만 통약가능하고 중항적인 직사각형을 둘러싸는 중항선들을 찾는 것.
Ἐκκείσθωσαν ῥηταὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι αἱ Α, Β, Γ, καὶ εἰλήφθω τῶν Α, Β μέση ἀνάλογον ἡ Δ, καὶ γεγονέτω ὡς ἡ Β πρὸς τὴν Γ, ἡ Δ πρὸς τὴν Ε.
ἐπεὶ αἱ Α, Β ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι, τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν Α, Β, τουτέστι τὸ ἀπὸ τῆς Δ, μέσον ἐστίν.
설정된 유리선들이며 평방에서만 통약가능한 것들을 Α, Β, Γ라 하자. 그리고 Α, Β의 비례중항인 Δ를 취하고, 또한 Β가 Γ에 대한 비율은 Δ가 Ε에 대한 비율과 같도록 만들어졌다고 하자. Α, Β는 평방에서만 통약가능한 유리선들이므로, 따라서 Α, Β에 의해 둘러싸인 직사각형, 즉 Δ 위의 정사각형은 중항면적이다.
μέση ἄρα ἡ Δ. καὶ ἐπεὶ αἱ Β, Γ δυνάμει μόνον εἰσὶ σύμμετροι, καί ἐστιν ὡς ἡ Β πρὸς τὴν Γ, ἡ Δ πρὸς τὴν Ε, καὶ αἱ Δ, Ε ἄρα δυνάμει μόνον εἰσὶ σύμμετροι.
그러므로 Δ는 중항선이다. 그리고 Β, Γ는 평방에서만 통약가능하고, Β가 Γ에 대한 비율은 Δ가 Ε에 대한 비율과 같으므로, 따라서 Δ, Ε 역시 평방에서만 통약가능하다.
μέση δὲ ἡ Δ·
그런데 Δ는 중항선이다.
μέση ἄρα καὶ ἡ Ε·
그러므로 Ε 역시 중항선이다.
αἱ Δ, Ε ἄρα μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι.
그러므로 Δ, Ε는 평방에서만 통약가능한 중항선들이다.
λέγω δή, ὅτι καὶ μέσον περιέχουσιν.
나는 이제 그것들이 또한 중항적인 직사각형을 둘러싼다고 말한다.
ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ Β πρὸς τὴν Γ, ἡ Δ πρὸς τὴν Ε, ἐναλλὰξ ἄρα ὡς ἡ Β πρὸς τὴν Δ, ἡ Γ πρὸς τὴν Ε. ὡς δὲ ἡ Β πρὸς τὴν Δ, ἡ Δ πρὸς τὴν Α·
왜냐하면 Β가 Γ에 대한 비율은 Δ가 Ε에 대한 비율과 같으므로, 따라서 교대로 하면 Β가 Δ에 대한 비율은 Γ가 Ε에 대한 비율과 같다. 그런데 Β가 Δ에 대한 비율은 Δ가 Α에 대한 비율과 같다.
καὶ ὡς ἄρα ἡ Δ πρὸς τὴν Α, ἡ Γ πρὸς τὴν Ε·
그러므로 또한 Δ가 Α에 대한 비율은 Γ가 Ε에 대한 비율과 같다.
τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν Α, Γ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν Δ, Ε. μέσον δὲ τὸ ὑπὸ τῶν Α, Γ·
그러므로 Α, Γ에 의해 둘러싸인 직사각형은 Δ, Ε에 의해 둘러싸인 직사각형과 같다. 그런데 Α, Γ에 의해 둘러싸인 직사각형은 중항면적이다.
μέσον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ τῶν Δ, Ε.
Εὕρηνται ἄρα μέσαι δυνάμει μόνον σύμμετροι μέσον περιέχουσαι·
그러므로 Δ, Ε에 의해 둘러싸인 직사각형 역시 중항면적이다. 그러므로 중항적인 직사각형을 둘러싸며 평방에서만 통약가능한 중항선들이 찾아졌다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 보여야 할 일이었다.
λῆμμα
εὑρεῖν δύο τετραγώνους ἀριθμούς, ὥστε καὶ τὸν συγκείμενον ἐξ αὐτῶν εἶναι τετράγωνον.
보조정리 더한 합 역시 정사각형수가 되는 두 정사각형수들을 찾는 것.
Ἐκκείσθωσαν δύο ἀριθμοὶ οἱ ΑΒ, ΒΓ, ἔστωσαν δὲ ἤτοι ἄρτιοι ἢ περιττοί.
두 수 ΑΒ, ΒΓ가 설정되었다고 하고, 그것들이 둘 다 짝수이거나 둘 다 홀수라고 하자.
καὶ ἐπεί, ἐάν τε ἀπὸ ἀρτίου ἄρτιος ἀφαιρεθῇ, ἐάν τε ἀπὸ περισσοῦ περισσός, ὁ λοιπὸς ἄρτιός ἐστιν, ὁ λοιπὸς ἄρα ὁ ΑΓ ἄρτιός ἐστιν.
그리고 짝수에서 짝수가 빼지든, 홀수에서 홀수가 빼지든, 남은 것은 짝수이므로, 따라서 남은 ΑΓ는 짝수이다.
τετμήσθω ὁ ΑΓ δίχα κατὰ τὸ Δ. ἔστωσαν δὲ καὶ οἱ ΑΒ, ΒΓ ἤτοι ὅμοιοι ἐπίπεδοι ἢ τετράγωνοι, οἳ καὶ αὐτοὶ ὅμοιοί εἰσιν ἐπίπεδοι·
ΑΓ를 Δ에서 둘로 자르자. 그리고 ΑΒ, ΒΓ 역시 닮은 평면수들이거나 정사각형수들(이것들 자체도 닮은 평면수들이다)이라고 하자.
ὁ ἄρα ἐκ τῶν ΑΒ, ΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΔ τετραγώνου ἴσος ἐστὶ τῷ ἀπὸ τοῦ ΒΔ τετραγώνῳ.
그러면 ΑΒ, ΒΓ에 의한 곱에 ΓΔ 위의 정사각형을 합한 것은 ΒΔ 위의 정사각형과 같다.
καί ἐστι τετράγωνος ὁ ἐκ τῶν ΑΒ, ΒΓ, ἐπειδήπερ ἐδείχθη, ὅτι, ἐὰν δύο ὅμοιοι ἐπίπεδοι πολλαπλασιάσαντες ἀλλήλους ποιῶσί τινα, ὁ γενόμενος τετράγωνός ἐστιν.
그리고 ΑΒ, ΒΓ에 의한 곱은 정사각형수이다. 왜냐하면 두 닮은 평면수들이 서로를 곱하여 어떤 수를 만들 때, 생성된 수는 정사각형수라는 것이 증명되었기 때문이다.
εὕρηνται ἄρα δύο τετράγωνοι ἀριθμοὶ ὅ τε ἐκ τῶν ΑΒ, ΒΓ καὶ ὁ ἀπὸ τοῦ ΓΔ, οἳ συντεθέντες ποιοῦσι τὸν ἀπὸ τοῦ ΒΔ τετράγωνον.
그러므로 두 정사각형수들, 즉 ΑΒ, ΒΓ에 의한 곱과 ΓΔ 위의 정사각형수가 찾아졌고, 이것들을 더하면 ΒΔ 위의 정사각형수를 만든다.
καὶ φανερόν, ὅτι εὕρηνται πάλιν δύο τετράγωνοι ὅ τε ἀπὸ τοῦ ΒΔ καὶ ὁ ἀπὸ τοῦ ΓΔ, ὥστε τὴν ὑπεροχὴν αὐτῶν τὸν ὑπὸ ΑΒ, ΒΓ εἶναι τετράγωνον, ὅταν οἱ ΑΒ, ΒΓ ὅμοιοι ὦσιν ἐπίπεδοι.
그리고 분명히, 다시 두 정사각형수들, 즉 ΒΔ 위의 정사각형과 ΓΔ 위의 정사각형이 찾아져서, 그것들의 차인 ΑΒ, ΒΓ에 의한 곱이, ΑΒ, ΒΓ가 닮은 평면수들일 때 정사각형수가 된다.
ὅταν δὲ μὴ ὦσιν ὅμοιοι ἐπίπεδοι, εὕρηνται δύο τετράγωνοι ὅ τε ἀπὸ τοῦ ΒΔ καὶ ὁ ἀπὸ τοῦ ΔΓ, ὧν ἡ ὑπεροχὴ ὁ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ οὐκ ἔστι τετράγωνος·
그러나 그것들이 닮은 평면수들이 아닐 때는, 두 정사각형수들, 즉 ΒΔ 위의 정사각형과 ΔΓ 위의 정사각형이 찾아져서, 그것들의 차인 ΑΒ, ΒΓ에 의한 곱은 정사각형수가 되지 않는다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 보여야 할 일이었다.