§10.prop1.26μέσον μέσου οὐχ ὑπερέχει ῥητῷ.
중항면적은 중항면적을 유리면적만큼 초과하지 않는다.
εἰ γὰρ δυνατόν, μέσον τὸ ΑΒ μέσου τοῦ ΑΓ ὑπερεχέτω ῥητῷ τῷ ΔΒ, καὶ ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ ΕΖ, καὶ τῷ ΑΒ ἴσον παρὰ τὴν ΕΖ παραβεβλήσθω παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον τὸ ΖΘ πλάτος ποιοῦν τὴν ΕΘ, τῷ δὲ ΑΓ ἴσον ἀφῃρήσθω τὸ ΖΗ·
왜냐하면, 만일 가능하다면, 중항면적 ΑΒ가 중항면적 ΑΓ를 유리면적 ΔΒ만큼 초과한다고 하자. 그리고 유리선 ΕΖ가 설정되었다고 하고, ΑΒ와 같은 직사각형 평행사변형 ΖΘ가 ΕΖ에 대고 붙여져서 폭 ΕΘ를 만든다고 하자. 그리고 ΑΓ와 같은 ΖΗ가 [ΖΘ에서] 빼진다고 하자.
λοιπὸν ἄρα τὸ ΒΔ λοιπῷ τῷ ΚΘ ἐστιν ἴσον.
그러면 남은 ΒΔ는 남은 ΚΘ와 같다.
ῥητὸν δέ ἐστι τὸ ΔΒ·
그런데 ΔΒ는 유리적이다.
ῥητὸν ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΚΘ. ἐπεὶ οὖν μέσον ἐστὶν ἑκάτερον τῶν ΑΒ, ΑΓ, καί ἐστι τὸ μὲν ΑΒ τῷ ΖΘ ἴσον, τὸ δὲ ΑΓ τῷ ΖΗ, μέσον ἄρα καὶ ἑκάτερον τῶν ΖΘ, ΖΗ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΕΖ παράκειται·
그러므로 ΚΘ 역시 유리적이다. 그러면 ΑΒ, ΑΓ 각각은 중항면적이고, ΑΒ는 ΖΘ와 같고, ΑΓ는 ΖΗ와 같으므로, 따라서 ΖΘ, ΖΗ 각각 역시 중항면적이다. 그리고 그것들은 유리선 ΕΖ에 대고 붙여져 있다.
ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα τῶν ΘΕ, ΕΗ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΕΖ μήκει.
그러므로 ΘΕ, ΕΗ 각각은 유리선이고 ΕΖ와 길이에서 통약불가능하다.
καὶ ἐπεὶ ῥητόν ἐστι τὸ ΔΒ καί ἐστιν ἴσον τῷ ΚΘ, ῥητὸν ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΚΘ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΕΖ παράκειται·
그리고 ΔΒ는 유리적이고 ΚΘ와 같으므로, 따라서 ΚΘ 역시 유리적이다. 그리고 그것은 유리선 ΕΖ에 대고 붙여져 있다.
ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΗΘ καὶ σύμμετρος τῇ ΕΖ μήκει.
그러므로 ΗΘ는 유리선이고 ΕΖ와 길이에서 통약가능하다.
ἀλλὰ καὶ ἡ ΕΗ ῥητή ἐστι καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΕΖ μήκει·
그런데 ΕΗ 역시 유리선이고 ΕΖ와 길이에서 통약불가능하다.
ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΗ τῇ ΗΘ μήκει.
그러므로 ΕΗ는 ΗΘ와 길이에서 통약불가능하다.
καί ἐστιν ὡς ἡ ΕΗ πρὸς τὴν ΗΘ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΕΗ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΕΗ, ΗΘ·
그리고 ΕΗ가 ΗΘ에 대한 비율은 ΕΗ 위의 정사각형이 ΕΗ, ΗΘ에 의해 둘러싸인 직사각형에 대한 비율과 같다.
ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΗ τῷ ὑπὸ τῶν ΕΗ, ΗΘ. ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΕΗ σύμμετρά ἐστι τὰ ἀπὸ τῶν ΕΗ, ΗΘ τετράγωνα·
그러므로 ΕΗ 위의 정사각형은 ΕΗ, ΗΘ에 의해 둘러싸인 직사각형과 통약불가능하다. 그런데 ΕΗ, ΗΘ 위의 정사각형들[의 합]은 ΕΗ 위의 정사각형과 통약가능하다.
ῥητὰ γὰρ ἀμφότερα·
둘 다 유리적이기 때문이다.
τῷ δὲ ὑπὸ τῶν ΕΗ, ΗΘ σύμμετρόν ἐστι τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΕΗ, ΗΘ·
그리고 ΕΗ, ΗΘ에 의해 둘러싸인 직사각형의 두 배는 ΕΗ, ΗΘ에 의해 둘러싸인 직사각형과 통약가능하다.
διπλάσιον γάρ ἐστιν αὐτοῦ·
그것의 두 배이기 때문이다.
ἀσύμμετρα ἄρα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΕΗ, ΗΘ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΕΗ, ΗΘ·
그러므로 ΕΗ, ΗΘ 위의 정사각형들[의 합]은 ΕΗ, ΗΘ에 의해 둘러싸인 직사각형의 두 배와 통약불가능하다.
καὶ συναμφότερα ἄρα τά τε ἀπὸ τῶν ΕΗ, ΗΘ καὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΕΗ, ΗΘ, ὅπερ ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΘ, ἀσύμμετρόν ἐστι τοῖς ἀπὸ τῶν ΕΗ, ΗΘ. ῥητὰ δὲ τὰ ἀπὸ τῶν ΕΗ, ΗΘ·
그러므로 양쪽의 합, 즉 ΕΗ, ΗΘ 위의 정사각형들[의 합]과 ΕΗ, ΗΘ에 의해 둘러싸인 직사각형의 두 배(이것은 ΕΘ 위의 정사각형이다) 역시 ΕΗ, ΗΘ 위의 정사각형들[의 합]과 통약불가능하다. 그런데 ΕΗ, ΗΘ 위의 정사각형들[의 합]은 유리적이다.
ἄλογον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΕΘ. ἄλογος ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΘ. ἀλλὰ καὶ ῥητή·
그러므로 ΕΘ 위의 정사각형은 무리적이다. 그러므로 ΕΘ는 무리선이다. 그런데 그것은 유리선이기도 하다.
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
이것은 불가능하다.
μέσον ἄρα μέσου οὐχ ὑπερέχει ῥητῷ·
그러므로 중항면적은 중항면적을 유리면적만큼 초과하지 않는다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 보여야 할 일이었다.
§10.prop1.27μέσας εὑρεῖν δυνάμει μόνον συμμέτρους ῥητὸν περιεχούσας.
평방에서만 통약가능하고 유리적인 직사각형을 둘러싸는 중항선들을 찾는 것.
Ἐκκείσθωσαν δύο ῥηταὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι αἱ Α, Β, καὶ εἰλήφθω τῶν Α, Β μέση ἀνάλογον ἡ Γ, καὶ γεγονέτω ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β, οὕτως ἡ Γ πρὸς τὴν Δ.
καὶ ἐπεὶ αἱ Α, Β ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι, τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν Α, Β, τουτέστι τὸ ἀπὸ τῆς Γ, μέσον ἐστίν.
설정된 두 유리선이며 평방에서만 통약가능한 것들을 Α, Β라 하자. 그리고 Α, Β의 비례중항인 Γ를 취하고, 또한 Α가 Β에 대한 비율은 Γ가 Δ에 대한 비율과 같도록 만들어졌다고 하자. 그리고 Α, Β는 평방에서만 통약가능한 유리선들이므로, 따라서 Α, Β에 의해 둘러싸인 직사각형, 즉 Γ 위의 정사각형은 중항면적이다.
μέση ἄρα ἡ Γ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β, ἡ Γ πρὸς τὴν Δ, αἱ δὲ Α, Β δυνάμει μόνον σύμμετροι, καὶ αἱ Γ, Δ ἄρα δυνάμει μόνον εἰσὶ σύμμετροι.
그러므로 Γ는 중항선이다. 그리고 Α가 Β에 대한 비율은 Γ가 Δ에 대한 비율과 같고, Α, Β는 평방에서만 통약가능하므로, 따라서 Γ, Δ 역시 평방에서만 통약가능하다.
καί ἐστι μέση ἡ Γ·
그리고 Γ는 중항선이다.
μέση ἄρα καὶ ἡ Δ. αἱ Γ, Δ ἄρα μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι.
그러므로 Δ 역시 중항선이다. 그러므로 Γ, Δ는 평방에서만 통약가능한 중항선들이다.
λέγω, ὅτι καὶ ῥητὸν περιέχουσιν.
나는 그것들이 또한 유리적인 직사각형을 둘러싼다고 말한다.
ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β, οὕτως ἡ Γ πρὸς τὴν Δ, ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Γ, ἡ Β πρὸς τὴν Δ. ἀλλʼ ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Γ, ἡ Γ πρὸς τὴν Β·
왜냐하면 Α가 Β에 대한 비율은 Γ가 Δ에 대한 비율과 같으므로, 따라서 교대로 하면 Α가 Γ에 대한 비율은 Β가 Δ에 대한 비율과 같다. 그런데 Α가 Γ에 대한 비율은 Γ가 Β에 대한 비율과 같다.
καὶ ὡς ἄρα ἡ Γ πρὸς τὴν Β, οὕτως ἡ Β πρὸς τὴν Δ·
그러므로 또한 Γ가 Β에 대한 비율은 Β가 Δ에 대한 비율과 같다.
τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν Γ, Δ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς Β. ῥητὸν δὲ τὸ ἀπὸ τῆς Β·
그러므로 Γ, Δ에 의해 둘러싸인 직사각형은 Β 위의 정사각형과 같다. 그런데 Β 위의 정사각형은 유리적이다.
ῥητὸν ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ τῶν Γ, Δ.
Εὕρηνται ἄρα μέσαι δυνάμει μόνον σύμμετροι ῥητὸν περιέχουσαι·
그러므로 Γ, Δ 에 의해 둘러싸인 직사각형 역시 유리적이다. 그러므로 평방에서만 통약가능하고 유리적인 직사각형을 둘러싸는 중항선들이 찾아졌다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 보여야 할 일이었다.