§10.prop1.19τὸ ὑπὸ ῥητῶν μήκει συμμέτρων κατά τινα τῶν προειρημένων τρόπων εὐθειῶν περιεχόμενον ὀρθογώνιον ῥητόν ἐστιν.
앞에서 말한 방법들 중 어느 한 가지 방식으로든 길이에서 통약가능한 유리선들에 의해 둘러싸인 직사각형은 유리적이다.
ὑπὸ γὰρ ῥητῶν μήκει συμμέτρων εὐθειῶν τῶν ΑΒ, ΒΓ ὀρθογώνιον περιεχέσθω τὸ ΑΓ·
왜냐하면 길이에서 통약가능한 유리선들 ΑΒ, ΒΓ에 의해 둘러싸인 직사각형을 ΑΓ라 하자.
λέγω, ὅτι ῥητόν ἐστι τὸ ΑΓ.
Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον τὸ ΑΔ·
나는 ΑΓ가 유리적이라고 말한다. 왜냐하면 ΑΒ 위에 정사각형 ΑΔ가 그려졌다고 하자.
ῥητὸν ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΔ. καὶ ἐπεὶ σύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΒΓ μήκει, ἴση δέ ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΒΔ, σύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΔ τῇ ΒΓ μήκει.
그러므로 ΑΔ는 유리적이다. 그리고 ΑΒ는 ΒΓ와 길이에서 통약가능하고, ΑΒ는 ΒΔ와 같으므로, 따라서 ΒΔ 역시 ΒΓ와 길이에서 통약가능하다.
καί ἐστιν ὡς ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως τὸ ΔΑ πρὸς τὸ ΑΓ. σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΔΑ τῷ ΑΓ. ῥητὸν δὲ τὸ ΔΑ·
그리고 ΒΔ가 ΒΓ에 대한 비율은 ΔΑ가 ΑΓ에 대한 비율과 같다. 그러므로 ΔΑ는 ΑΓ와 통약가능하다. 그런데 ΔΑ는 유리적이다.
ῥητὸν ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΑΓ.
τὸ ἄρα ὑπὸ ῥητῶν μήκει συμμέτρων, καὶ τὰ ἑξῆς.
그러므로 ΑΓ 역시 유리적이다. 그러므로 길이에서 통약가능한 유리선들에 의해 둘러싸인, 그리고 그 이하의 것들.
§10.prop1.20ἐὰν ῥητὸν παρὰ ῥητὴν παραβληθῇ, πλάτος ποιεῖ ῥητὴν καὶ σύμμετρον τῇ, παρʼ ἣν παράκειται, μήκει.
만일 유리적인 면적이 유리선에 대고 붙여진다면, 그것은 붙여지는 대상인 직선과 길이에서 통약가능하고 유리적인 직선을 폭으로 만든다.
ῥητὸν γὰρ τὸ ΑΓ παρὰ ῥητὴν κατά τινα πάλιν τῶν προειρημένων τρόπων τὴν ΑΒ παραβεβλήσθω πλάτος ποιοῦν τὴν ΒΓ·
왜냐하면 유리적인 면적 ΑΓ가 다시 앞에서 말한 방법들 중 한 가지 방식으로 유리선인 ΑΒ에 대고 붙여져서 폭 ΒΓ를 만든다고 하자.
λέγω, ὅτι ῥητή ἐστιν ἡ ΒΓ καὶ σύμμετρος τῇ ΒΑ μήκει.
나는 ΒΓ가 유리적이고, ΒΑ와 길이에서 통약가능하다고 말한다.
Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον τὸ ΑΔ·
왜냐하면 ΑΒ 위에 정사각형 ΑΔ가 그려졌다고 하자.
ῥητὸν ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΔ. ῥητὸν δὲ καὶ τὸ ΑΓ·
그러므로 ΑΔ는 유리적이다. 그런데 ΑΓ 역시 유리적이다.
σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΔΑ τῷ ΑΓ. καί ἐστιν ὡς τὸ ΔΑ πρὸς τὸ ΑΓ, οὕτως ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΓ. σύμμετρος ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΔΒ τῇ ΒΓ·
그러므로 ΔΑ는 ΑΓ와 통약가능하다. 그리고 ΔΑ가 ΑΓ에 대한 비율은 ΔΒ가 ΒΓ에 대한 비율과 같다. 그러므로 ΔΒ 역시 ΒΓ와 통약가능하다.
ἴση δὲ ἡ ΔΒ τῇ ΒΑ·
그런데 ΔΒ는 ΒΑ와 같다.
σύμμετρος ἄρα καὶ ἡ ΑΒ τῇ ΒΓ. ῥητὴ δέ ἐστιν ἡ ΑΒ·
그러므로 ΑΒ 역시 ΒΓ와 통약가능하다. 그리고 ΑΒ는 유리적이다.
ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΒΓ καὶ σύμμετρος τῇ ΑΒ μήκει.
그러므로 ΒΓ 역시 유리적이며 ΑΒ와 길이에서 통약가능하다.
ἐὰν ἄρα ῥητὸν παρὰ ῥητὴν παραβληθῇ, καὶ τὰ ἑξῆς.
그러므로 만일 유리적인 면적이 유리선에 대고 붙여진다면, 그리고 그 이하의 것들.
§10.prop1.21τὸ ὑπὸ ῥητῶν δυνάμει μόνον συμμέτρων εὐθειῶν περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἄλογόν ἐστιν, καὶ ἡ δυναμένη αὐτὸ ἄλογός ἐστιν, καλείσθω δὲ μέση.
평방에서만 통약가능한 유리선들에 의해 둘러싸인 직사각형은 무리적이며, 그것과 같은 정사각형의 한 변 역시 무리적이다. 그리고 그것은 중항선이라 불려라.
ὑπὸ γὰρ ῥητῶν δυνάμει μόνον συμμέτρων εὐθειῶν τῶν ΑΒ, ΒΓ ὀρθογώνιον περιεχέσθω τὸ ΑΓ·
왜냐하면 평방에서만 통약가능한 유리선들 ΑΒ, ΒΓ에 의해 둘러싸인 직사각형을 ΑΓ라 하자.
λέγω, ὅτι ἄλογόν ἐστι τὸ ΑΓ, καὶ ἡ δυναμένη αὐτὸ ἄλογός ἐστιν, καλείσθω δὲ μέση.
나는 ΑΓ가 무리적이고, 그것과 같은 정사각형의 한 변 역시 무리적이라고 말한다. 그리고 그것은 중항선이라 불려라.
Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον τὸ ΑΔ·
왜냐하면 ΑΒ 위에 정사각형 ΑΔ가 그려졌다고 하자.
ῥητὸν ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΔ. καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΒΓ μήκει· δυνάμει γὰρ μόνον ὑπόκεινται σύμμετροι· ἴση δὲ ἡ ΑΒ τῇ ΒΔ, ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΔΒ τῇ ΒΓ μήκει.
그러므로 ΑΔ는 유리적이다. 그리고 ΑΒ는 ΒΓ와 길이에서 통약불가능하므로(왜냐하면 그것들이 평방에서만 통약가능하다고 가정되었기 때문이다), 또한 ΑΒ는 ΒΔ와 같으므로, 따라서 ΔΒ 역시 ΒΓ와 길이에서 통약불가능하다.
καί ἐστιν ὡς ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως τὸ ΑΔ πρὸς τὸ ΑΓ·
그리고 ΔΒ가 ΒΓ에 대한 비율은 ΑΔ가 ΑΓ에 대한 비율과 같다.
ἀσύμμετρον ἄρα τὸ ΔΑ τῷ ΑΓ. ῥητὸν δὲ τὸ ΔΑ·
그러므로 ΔΑ는 ΑΓ와 통약불가능하다. 그런데 ΔΑ는 유리적이다.
ἄλογον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΓ·
그러므로 ΑΓ는 무리적이다.
ὥστε καὶ ἡ δυναμένη τὸ ΑΓ ἄλογός ἐστιν, καλείσθω δὲ μέση·
따라서 ΑΓ와 같은 정사각형의 한 변 역시 무리적이다. 그리고 그것은 중항선이라 불려라.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 보여야 할 일이었다.
λῆμμα
ἐὰν ὦσι δύο εὐθεῖαι, ἔστιν ὡς ἡ πρώτη πρὸς τὴν δευτέραν, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν δύο εὐθειῶν.
보조정리 만일 두 직선이 있다면, 첫 번째 직선이 두 번째 직선에 대한 비율은 첫 번째 직선 위의 정사각형이 그 두 직선에 의해 둘러싸인 직사각형에 대한 비율과 같다.
ἔστωσαν δύο εὐθεῖαι αἱ ΖΕ, ΕΗ. λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΖΕ πρὸς τὴν ΕΗ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΖΕ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΖΕ, ΕΗ.
Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΖΕ τετράγωνον τὸ ΔΖ, καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΗΔ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ ΖΕ πρὸς τὴν ΕΗ, οὕτως τὸ ΖΔ πρὸς τὸ ΔΗ, καί ἐστι τὸ μὲν ΖΔ τὸ ἀπὸ τῆς ΖΕ, τὸ δὲ ΔΗ τὸ ὑπὸ τῶν ΔΕ, ΕΗ, τουτέστι τὸ ὑπὸ τῶν ΖΕ, ΕΗ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΖΕ τὴν ΕΗ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΖΕ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΖΕ, ΕΗ. ὁμοίως δὲ καὶ ὡς τὸ ὑπὸ τῶν ΗΕ, ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ, τουτέστιν ὡς τὸ ΗΔ πρὸς τὸ ΖΔ, οὕτως ἡ ΗΕ πρὸς τὴν ΕΖ·
두 직선 ΖΕ, ΕΗ가 있다고 하자. 나는 ΖΕ가 ΕΗ에 대한 비율은 ΖΕ 위의 정사각형이 ΖΕ, ΕΗ에 의해 둘러싸인 직사각형에 대한 비율과 같다고 말한다. 왜냐하면 ΖΕ 위에 정사각형 ΔΖ가 그려졌다고 하고, 직사각형 ΗΔ가 완성되었다고 하자. 그러면 ΖΕ가 ΕΗ에 대한 비율은 ΖΔ가 ΔΗ에 대한 비율과 같고, ΖΔ는 ΖΕ 위의 정사각형이며, ΔΗ는 ΔΕ, ΕΗ에 의해 둘러싸인 직사각형, 즉 ΖΕ, ΕΗ에 의해 둘러싸인 직사각형이므로, 따라서 ΖΕ가 ΕΗ에 대한 비율은 ΖΕ 위의 정사각형이 ΖΕ, ΕΗ에 의해 둘러싸인 직사각형에 대한 비율과 같다. 마찬가지로 ΗΕ, ΕΖ에 의해 둘러싸인 직사각형이 ΕΖ 위의 정사각형에 대한 비율, 즉 ΗΔ가 ΖΔ에 대한 비율 역시 ΗΕ가 ΕΖ에 대한 비율과 같다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 보여야 할 일이었다.