§1.prop.42τῷ δοθέντι τριγώνῳ ἴσον παραλληλόγραμμον συστήσασθαι ἐν τῇ δοθείσῃ γωνίᾳ εὐθυγράμμῳ.
주어진 직선각 안에 주어진 삼각형과 크기가 같은 평행사변형을 작도하는 것。
ἔστω τὸ μὲν δοθὲν τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, ἡ δὲ δοθεῖσα γωνία εὐθύγραμμος ἡ Δ·
주어진 삼각형을 ΑΒΓ, 주어진 직선각을 Δ라 하자.
δεῖ δὴ τῷ ΑΒΓ τριγώνῳ ἴσον παραλληλόγραμμον συστήσασθαι ἐν τῇ Δ γωνίᾳ εὐθυγράμμῳ.
삼각형 ΑΒΓ와 크기가 같은 평행사변형을 직선각 Δ 안에 작도해야 한다.
τετμήσθω ἡ ΒΓ δίχα κατὰ τὸ Ε, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΕ, καὶ συνεστάτω πρὸς τῇ ΕΓ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Ε τῇ Δ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΓΕΖ, καὶ διὰ μὲν τοῦ Α τῇ ΕΓ παράλληλος ἤχθω ἡ ΑΗ, διὰ δὲ τοῦ Γ τῇ ΕΖ παράλληλος ἤχθω ἡ ΓΗ·
ΒΓ가 점 Ε에서 이등분되고, ΑΕ가 연결되라. 그리고 직선 ΕΓ 및 그 위의 점 Ε에서 각 Δ와 크기가 같은 각 ΓΕΖ가 만들어져라. 그리고 점 Α를 지나고 ΕΓ와 평행한 ΑΗ가 그려지고, 점 Γ를 지나고 ΕΖ와 평행한 ΓΗ가 그려지라.
παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶ τὸ ΖΕΓΗ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΒΕ τῇ ΕΓ, ἴσον ἐστὶ καὶ τὸ ΑΒΕ τρίγωνον τῷ ΑΕΓ τριγώνῳ·
그러므로 ΖΕΓΗ는 평행사변형이다. 그리고 ΒΕ가 ΕΓ와 같으므로, 삼각형 ΑΒΕ도 삼각형 ΑΕΓ와 같다.
ἐπί τε γὰρ ἴσων βάσεών εἰσι τῶν ΒΕ, ΕΓ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ταῖς ΒΓ, ΑΗ·
왜냐하면 그것들은 같은 크기의 밑변 ΒΕ, ΕΓ 위에 있고, 같은 평행선 ΒΓ, ΑΗ 사이에 있기 때문이다.
διπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τοῦ ΑΕΓ τριγώνου.
그러므로 삼각형 ΑΒΓ는 삼각형 ΑΕΓ의 두 배이다.
ἔστι δὲ καὶ τὸ ΖΕΓΗ παραλληλόγραμμον διπλάσιον τοῦ ΑΕΓ τριγώνου·
그런데 평행사변형 ΖΕΓΗ 역시 삼각형 ΑΕΓ의 두 배이다.
βάσιν τε γὰρ αὐτῷ τὴν αὐτὴν ἔχει καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς ἐστιν αὐτῷ παραλλήλοις·
왜냐하면 그것과 같은 밑변을 가지고 있고, 그것과 같은 평행선들 사이에 있기 때문이다.
ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΖΕΓΗ παραλληλόγραμμον τῷ ΑΒΓ τριγώνῳ.
그러므로 평행사변형 ΖΕΓΗ는 삼각형 ΑΒΓ와 크기가 같다.
καὶ ἔχει τὴν ὑπὸ ΓΕΖ γωνίαν ἴσην τῇ δοθείσῃ τῇ Δ.
τῷ ἄρα δοθέντι τριγώνῳ τῷ ΑΒΓ ἴσον παραλληλόγραμμον συνέσταται τὸ ΖΕΓΗ ἐν γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΓΕΖ, ἥτις ἐστὶν ἴση τῇ Δ·
그리고 그것은 주어진 각 Δ와 크기가 같은 각 ΓΕΖ를 가지고 있다. 그러므로 주어진 삼각형 ΑΒΓ와 크기가 같은 평행사변형 ΖΕΓΗ가, Δ와 크기가 같은 각 ΓΕΖ 안에 작도되었다.
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
이것이 작도하고자 했던 일이다。
§1.prop.43παντὸς παραλληλογράμμου τῶν περὶ τὴν διάμετρον παραλληλογράμμων τὰ παραπληρώματα ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν.
모든 평행사변형에서 대각선 주변에 있는 평행사변형들의 보형들은 서로 같다。
ἔστω παραλληλόγραμμον τὸ ΑΒΓΔ, διάμετρος δὲ αὐτοῦ ἡ ΑΓ, περὶ δὲ τὴν ΑΓ παραλληλόγραμμα μὲν ἔστω τὰ ΖΘ, ΖΗ, τὰ δὲ λεγόμενα παραπληρώματα τὰ ΒΚ, ΚΔ·
평행사변형을 ΑΒΓΔ, 그것의 대각선을 ΑΓ라 하고, ΑΓ 주변에 있는 평행사변형들을 ΖΘ, ΖΗ, 이른바 보형들을 ΒΚ, ΚΔ라 하자.
λέγω, ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ ΒΚ παραπλήρωμα τῷ ΚΔ παραπληρώματι.
나는 말한다, 보형 ΒΚ는 보형 ΚΔ와 크기가 같다고.
ἐπεὶ γὰρ παραλληλόγραμμόν ἐστι τὸ ΑΒΓΔ, διάμετρος δὲ αὐτοῦ ἡ ΑΓ, ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΑΓΔ τριγώνῳ.
왜냐하면 ΑΒΓΔ가 평행사변형이고, ΑΓ가 그것의 대각선이므로, 삼각형 ΑΒΓ는 삼각형 ΑΓΔ와 크기가 같다.
πάλιν, ἐπεὶ παραλληλόγραμμόν ἐστι τὸ ΕΘ, διάμετρος δὲ αὐτοῦ ἐστιν ἡ ΑΚ, ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΕΚ τρίγωνον τῷ ΑΘΚ τριγώνῳ.
다시, ΕΘ가 평행사변형이고, ΑΚ가 그것의 대각선이므로, 삼각형 ΑΕΚ는 삼각형 ΑΘΚ와 크기가 같다.
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ΚΖΓ τρίγωνον τῷ ΚΗΓ ἐστιν ἴσον.
같은 이유로 삼각형 ΚΖΓ 역시 ΚΗΓ와 크기가 같다.
ἐπεὶ οὖν τὸ μὲν ΑΕΚ τρίγωνον τῷ ΑΘΚ τριγώνῳ ἐστὶν ἴσον, τὸ δὲ ΚΖΓ τῷ ΚΗΓ, τὸ ΑΕΚ τρίγωνον μετὰ τοῦ ΚΗΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ΑΘΚ τριγώνῳ μετὰ τοῦ ΚΖΓ·
그러므로 삼각형 ΑΕΚ가 삼각형 ΑΘΚ와 크기가 같고, ΚΖΓ가 ΚΗΓ와 크기가 같으므로, 삼각형 ΑΕΚ와 ΚΗΓ의 합은 삼각형 ΑΘΚ와 ΚΖΓ의 합과 크기가 같다.
ἔστι δὲ καὶ ὅλον τὸ ΑΒΓ τρίγωνον ὅλῳ τῷ ΑΔΓ ἴσον·
그리고 전체 삼각형 ΑΒΓ 역시 전체 ΑΔΓ와 크기가 같다.
λοιπὸν ἄρα τὸ ΒΚ παραπλήρωμα λοιπῷ τῷ ΚΔ παραπληρώματί ἐστιν ἴσον.
그러므로 남은 보형 ΒΚ는 남은 보형 ΚΔ와 크기가 같다.
παντὸς ἄρα παραλληλογράμμου χωρίου τῶν περὶ τὴν διάμετρον παραλληλογράμμων τὰ παραπληρώματα ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν·
그러므로 모든 평행사변형 영역에서 대각선 주변에 있는 평행사변형들의 보형들은 서로 같다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 일이다。
§1.prop.44παρὰ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν τῷ δοθέντι τριγώνῳ ἴσον παραλληλόγραμμον παραβαλεῖν ἐν τῇ δοθείσῃ γωνίᾳ εὐθυγράμμῳ.
주어진 직선에 대고 주어진 삼각형과 크기가 같고 주어진 직선각을 가지는 평행사변형을 붙이는 것。
ἔστω ἡ μὲν δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ, τὸ δὲ δοθὲν τρίγωνον τὸ Γ, ἡ δὲ δοθεῖσα γωνία εὐθύγραμμος ἡ Δ·
주어진 직선을 ΑΒ, 주어진 삼각형을 Γ, 주어진 직선각을 Δ라 하자.
δεῖ δὴ παρὰ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν τὴν ΑΒ τῷ δοθέντι τριγώνῳ τῷ Γ ἴσον παραλληλόγραμμον παραβαλεῖν ἐν ἴσῃ τῇ Δ γωνίᾳ.
주어진 직선 ΑΒ에 대고 주어진 삼각형 Γ와 크기가 같은 평행사변형을 각 Δ와 크기가 같은 각 안에 붙여야 한다.
συνεστάτω τῷ Γ τριγώνῳ ἴσον παραλληλόγραμμον τὸ ΒΕΖΗ ἐν γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΒΗ, ἥ ἐστιν ἴση τῇ Δ·
삼각형 Γ와 크기가 같은 평행사변형 ΒΕΖΗ가 각 Δ와 크기가 같은 각 ΕΒΗ 안에 만들어져라.
καὶ κείσθω ὥστε ἐπʼ εὐθείας εἶναι τὴν ΒΕ τῇ ΑΒ, καὶ διήχθω ἡ ΖΗ ἐπὶ τὸ Θ, καὶ διὰ τοῦ Α ὁποτέρᾳ τῶν ΒΗ, ΕΖ παράλληλος ἤχθω ἡ ΑΘ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΘΒ. καὶ ἐπεὶ εἰς παραλλήλους τὰς ΑΘ, ΕΖ εὐθεῖα ἐνέπεσεν ἡ ΘΖ, αἱ ἄρα ὑπὸ ΑΘΖ, ΘΖΕ γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς εἰσιν ἴσαι.
그리고 ΒΕ가 ΑΒ와 일직선상에 있도록 놓이고, ΖΗ가 Θ까지 연장되라. 그리고 점 Α를 지나고 ΒΗ, ΕΖ 중 어느 하나와 평행한 ΑΘ가 그려지고, ΘΒ가 연결되라. 그리고 평행한 직선들 ΑΘ, ΕΖ에 직선 ΘΖ가 만났으므로, 각 ΑΘΖ, ΘΖΕ의 합은 두 직각과 같다.
αἱ ἄρα ὑπὸ ΒΘΗ, ΗΖΕ δύο ὀρθῶν ἐλάσσονές εἰσιν·
그러므로 각 ΒΘΗ, ΗΖΕ는 두 직각보다 작다.
αἱ δὲ ἀπὸ ἐλασσόνων ἢ δύο ὀρθῶν εἰς ἄπειρον ἐκβαλλόμεναι συμπίπτουσιν·
두 직각보다 작은 각을 이루는 직선들은 무한히 연장되면 만난다.
αἱ ΘΒ, ΖΕ ἄρα ἐκβαλλόμεναι συμπεσοῦνται.
그러므로 ΘΒ, ΖΕ는 연장되면 만날 것이다.
ἐκβεβλήσθωσαν καὶ συμπιπτέτωσαν κατὰ τὸ Κ, καὶ διὰ τοῦ Κ σημείου ὁποτέρᾳ τῶν ΕΑ, ΖΘ παράλληλος ἤχθω ἡ ΚΛ, καὶ ἐκβεβλήσθωσαν αἱ ΘΑ, ΗΒ ἐπὶ τὰ Λ, Μ σημεῖα.
그것들이 연장되어 점 Κ에서 만난다고 하자. 그리고 점 Κ를 지나고 ΕΑ, ΖΘ 중 어느 하나와 평행한 ΚΛ이 그려지고, ΘΑ, ΗΒ가 점 Λ, Μ까지 연장되라.
παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶ τὸ ΘΛΚΖ, διάμετρος δὲ αὐτοῦ ἡ ΘΚ, περὶ δὲ τὴν ΘΚ παραλληλόγραμμα μὲν τὰ ΑΗ, ΜΕ, τὰ δὲ λεγόμενα παραπληρώματα τὰ ΛΒ, ΒΖ·
그러므로 ΘΛΚΖ는 평행사변형이고, ΘΚ는 그것의 대각선이며, ΘΚ 주변에 있는 평행사변형들은 ΑΗ, ΜΕ이고, 이른바 보형들은 ΛΒ, ΒΖ이다.
ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΛΒ τῷ ΒΖ. ἀλλὰ τὸ ΒΖ τῷ Γ τριγώνῳ ἐστὶν ἴσον·
그러므로 ΛΒ는 ΒΖ와 크기가 같다. 그런데 ΒΖ는 삼각형 Γ와 크기가 같다.
καὶ τὸ ΛΒ ἄρα τῷ Γ ἐστιν ἴσον.
그러므로 ΛΒ 역시 Γ와 크기가 같다.
καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΗΒΕ γωνία τῇ ὑπὸ ΑΒΜ, ἀλλὰ ἡ ὑπὸ ΗΒΕ τῇ Δ ἐστιν ἴση, καὶ ἡ ὑπὸ ΑΒΜ ἄρα τῇ Δ γωνίᾳ ἐστὶν ἴση.
그리고 각 ΗΒΕ는 각 ΑΒΜ과 크기가 같고, 각 ΗΒΕ는 Δ와 크기가 같으므로, 각 ΑΒΜ 역시 각 Δ와 크기가 같다.
παρὰ τὴν δοθεῖσαν ἄρα εὐθεῖαν τὴν ΑΒ τῷ δοθέντι τριγώνῳ τῷ Γ ἴσον παραλληλόγραμμον παραβέβληται τὸ ΛΒ ἐν γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΑΒΜ, ἥ ἐστιν ἴση τῇ Δ·
그러므로 주어진 직선 ΑΒ에 대고 주어진 삼각형 Γ와 크기가 같은 평행사변형 ΛΒ가, Δ와 크기가 같은 각 ΑΒΜ 안에 붙여졌다.
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
이것이 작도하고자 했던 일이다。