§1.prop.47ἐν τοῖς ὀρθογωνίοις τριγώνοις τὸ ἀπὸ τῆς τὴν ὀρθὴν γωνίαν ὑποτεινούσης πλευρᾶς τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν τὴν ὀρθὴν γωνίαν περιεχουσῶν πλευρῶν τετραγώνοις.
직각삼각형에서 직각과 마주 보는 변 위에 그린 정사각형의 넓이는 직각을 끼고 있는 두 변 위에 그린 정사각형들의 넓이의 합과 같다。
ἔστω τρίγωνον ὀρθογώνιον τὸ ΑΒΓ ὀρθὴν ἔχον τὴν ὑπὸ ΒΑΓ γωνίαν·
직각인 각 ΒΑΓ를 가진 직각삼각형을 ΑΒΓ라 하자.
λέγω, ὅτι τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ τετραγώνοις.
나는 변 ΒΓ 위에 그린 정사각형이 변 ΒΑ, ΑΓ 위에 그린 정사각형들의 합과 같다고 주장한다.
Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ μὲν τῆς ΒΓ τετράγωνον τὸ ΒΔΕΓ, ἀπὸ δὲ τῶν ΒΑ, ΑΓ τὰ ΗΒ, ΘΓ, καὶ διὰ τοῦ α ὁποτέρᾳ τῶν ΒΔ, ΓΕ παράλληλος ἤχθω ἡ ΑΛ·
왜냐하면 변 ΒΓ 위에는 정사각형 ΒΔΕΓ가, 변 ΒΑ, ΑΓ 위에는 정사각형 ΗΒ, ΘΓ가 그려지라. 그리고 점 Α를 지나며 ΒΔ, ΓΕ 중 어느 한쪽에 평행하게 직선 ΑΛ이 그려지라.
καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΔ, ΖΓ. καὶ ἐπεὶ ὀρθή ἐστιν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΒΑΓ, ΒΑΗ γωνιῶν, πρὸς δή τινι εὐθείᾳ τῇ ΒΑ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Α δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΓ, ΑΗ μὴ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη κείμεναι τὰς ἐφεξῆς γωνίας δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας ποιοῦσιν·
그리고 ΑΔ, ΖΓ가 연결되라. 그리고 각 ΒΑΓ, ΒΑΗ 각각은 직각이므로, 어떤 직선 ΒΑ와 그 위의 점 Α에 대하여, 같은 쪽에 놓이지 않은 두 직선 ΑΓ, ΑΗ가 이웃하는 각들의 합을 두직각과 같게 만든다.
ἐπʼ εὐθείας ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΑ τῇ ΑΗ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΒΑ τῇ ΑΘ ἐστιν ἐπʼ εὐθείας.
그러므로 ΓΑ는 ΑΗ와 일직선상에 있다. 같은 이유로 ΒΑ 역시 ΑΘ와 일직선상에 있다.
καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΔΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΖΒΑ· ὀρθὴ γὰρ ἑκατέρα·
그리고 각 ΔΒΓ는 각 ΖΒΑ와 크기가 같다 (왜냐하면 각각 직각이기 때문이다).
κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΑΒΓ·
공통인 각 ΑΒΓ가 더해지라.
ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΒΑ ὅλῃ τῇ ὑπὸ ΖΒΓ ἐστιν ἴση.
그러므로 전체 각 ΔΒΑ는 전체 각 ΖΒΓ와 크기가 같다.
καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΔΒ τῇ ΒΓ, ἡ δὲ ΖΒ τῇ ΒΑ, δύο δὴ αἱ ΔΒ, ΒΑ δύο ταῖς ΖΒ, ΒΓ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ·
그리고 ΔΒ는 ΒΓ와 크기가 같고, ΖΒ는 ΒΑ와 크기가 같으므로, 두 변 ΔΒ, ΒΑ는 두 변 ΖΒ, ΒΓ와 각각 크기가 같다.
καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΔΒΑ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΖΒΓ ἴση·
그리고 각 ΔΒΑ는 각 ΖΒΓ와 크기가 같다.
βάσις ἄρα ἡ ΑΔ βάσει τῇ ΖΓ ἴση, καὶ τὸ ΑΒΔ τρίγωνον τῷ ΖΒΓ τριγώνῳ ἐστὶν ἴσον·
그러므로 밑변 ΑΔ는 밑변 ΖΓ와 크기가 같고, 삼각형 ΑΒΔ는 삼각형 ΖΒΓ와 크기가 같다.
καὶ τοῦ μὲν ΑΒΔ τριγώνου διπλάσιον τὸ ΒΛ παραλληλόγραμμον·
그리고 평행사변형 ΒΛ은 삼각형 ΑΒΔ의 두 배이다.
βάσιν τε γὰρ τὴν αὐτὴν ἔχουσι τὴν ΒΔ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς εἰσι παραλλήλοις ταῖς ΒΔ, ΑΛ·
왜냐하면 그것들은 같은 밑변 ΒΔ를 가지고 같은 평행선들 ΒΔ, ΑΛ 사이에 있기 때문이다.
τοῦ δὲ ΖΒΓ τριγώνου διπλάσιον τὸ ΗΒ τετράγωνον·
한편 정사각형 ΗΒ는 삼각형 ΖΒΓ의 두 배이다.
βάσιν τε γὰρ πάλιν τὴν αὐτὴν ἔχουσι τὴν ΖΒ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς εἰσι παραλλήλοις ταῖς ΖΒ, ΗΓ. ἴσον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΒΛ παραλληλόγραμμον τῷ ΗΒ τετραγώνῳ.
왜냐하면 그것들은 다시 같은 밑변 ΖΒ를 가지고 같은 평행선들 ΖΒ, ΗΓ 사이에 있기 때문이다. 그러므로 평행사변형 ΒΛ 역시 정사각형 ΗΒ와 크기가 같다.
ὁμοίως δὴ ἐπιζευγνυμένων τῶν ΑΕ, ΒΚ δειχθήσεται καὶ τὸ ΓΛ παραλληλόγραμμον ἴσον τῷ ΘΓ τετραγώνῳ·
마찬가지로 ΑΕ, ΒΚ가 연결되면 평행사변형 ΓΛ 역시 정사각형 ΘΓ와 크기가 같음이 증명될 것이다.
ὅλον ἄρα τὸ ΒΔΕΓ τετράγωνον δυσὶ τοῖς ΗΒ, ΘΓ τετραγώνοις ἴσον ἐστίν.
그러므로 전체 정사각형 ΒΔΕΓ는 두 정사각형 ΗΒ, ΘΓ의 합과 크기가 같다.
καί ἐστι τὸ μὲν ΒΔΕΓ τετράγωνον ἀπὸ τῆς ΒΓ ἀναγραφέν, τὰ δὲ ΗΒ, ΘΓ ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ. τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΒΓ πλευρᾶς τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ πλευρῶν τετραγώνοις.
그리고 정사각형 ΒΔΕΓ는 ΒΓ로부터 그려진 것이고, ΗΒ, ΘΓ는 ΒΑ, ΑΓ로부터 그려진 것이다. 그러므로 변 ΒΓ 위에 그린 정사각형은 변 ΒΑ, ΑΓ 위에 그린 정사각형들의 합과 크기가 같다.
ἐν ἄρα τοῖς ὀρθογωνίοις τριγώνοις τὸ ἀπὸ τῆς τὴν ὀρθὴν γωνίαν ὑποτεινούσης πλευρᾶς τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν τὴν ὀρθὴν περιεχουσῶν πλευρῶν τετραγώνοις·
그러므로 직각삼각형에서 직각과 마주 보는 변 위에 그린 정사각형은직각을 끼고 있는 변들 위에 그린 정사각형들의 합과 크기가 같다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 일이다。
§1.prop.48ἐὰν τριγώνου τὸ ἀπὸ μιᾶς τῶν πλευρῶν τετράγωνον ἴσον ᾖ τοῖς ἀπὸ τῶν λοιπῶν τοῦ τριγώνου δύο πλευρῶν τετραγώνοις, ἡ περιεχομένη γωνία ὑπὸ τῶν λοιπῶν τοῦ τριγώνου δύο πλευρῶν ὀρθή ἐστιν.
만약 어떤 삼각형에서 한 변 위에 그린 정사각형의 넓이가 그 삼각형의 나머지 두 변 위에 그린 정사각형들의 넓이의 합과 같다면, 그 삼각형의 나머지 두 변이 끼고 있는 각은 직각이다。
τριγώνου γὰρ τοῦ ΑΒΓ τὸ ἀπὸ μιᾶς τῆς ΒΓ πλευρᾶς τετράγωνον ἴσον ἔστω τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ πλευρῶν τετραγώνοις·
삼각형 ΑΒΓ에서 한 변 ΒΓ 위에 그린 정사각형의 넓이가 변 ΒΑ, ΑΓ 위에 그린 정사각형들의 넓이의 합과 같다고 하자.
λέγω, ὅτι ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία.
나는 각 ΒΑΓ가 직각이라고 주장한다.
ἤχθω γὰρ ἀπὸ τοῦ Α σημείου τῇ ΑΓ εὐθείᾳ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΑΔ καὶ κείσθω τῇ ΒΑ ἴση ἡ ΑΔ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΓ. ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΔΑ τῇ ΑΒ, ἴσον ἐστὶ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΔΑ τετράγωνον τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετραγώνῳ.
왜냐하면 점 Α로부터 직선 ΑΓ에 수직하게 ΑΔ가 그려지고, ΒΑ와 크기가 같은 ΑΔ가 놓여라. 그리고 ΔΓ가 연결되라. ΔΑ는 ΑΒ와 크기가 같으므로, ΔΑ 위에 그린 정사각형도 ΑΒ 위에 그린 정사각형과 크기가 같다.
κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ τετράγωνον·
공통으로 ΑΓ 위에 그린 정사각형이 더해지라.
τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΔΑ, ΑΓ τετράγωνα ἴσα ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ τετραγώνοις.
그러므로 ΔΑ, ΑΓ 위에 그린 정사각형들의 합은 ΒΑ, ΑΓ 위에 그린 정사각형들의 합과 크기가 같다.
ἀλλὰ τοῖς μὲν ἀπὸ τῶν ΔΑ, ΑΓ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΔΓ· ὀρθὴ γάρ ἐστιν ἡ ὑπὸ ΔΑΓ γωνία·
그런데 ΔΑ, ΑΓ 위에 그린 것들의 합은 ΔΓ 위에 그린 정사각형과 크기가 같다 (왜냐하면 각 ΔΑΓ가 직각이기 때문이다).
τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ ΒΓ· ὑπόκειται γάρ·
그리고 ΒΑ, ΑΓ 위에 그린 것들의 합은 ΒΓ 위에 그린 정사각형과 크기가 같다 (이것은 가정되어 있기 때문이다).
τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΔΓ τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΒΓ τετραγώνῳ·
그러므로 ΔΓ 위에 그린 정사각형은 ΒΓ 위에 그린 정사각형과 크기가 같다.
ὥστε καὶ πλευρὰ ἡ ΔΓ τῇ ΒΓ ἐστιν ἴση·
따라서 변 ΔΓ 역시 변 ΒΓ와 크기가 같다.
καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΔΑ τῇ ΑΒ, κοινὴ δὲ ἡ ΑΓ, δύο δὴ αἱ ΔΑ, ΑΓ δύο ταῖς ΒΑ, ΑΓ ἴσαι εἰσίν·
그리고 ΔΑ는 ΑΒ와 크기가 같고, ΑΓ는 공통이므로, 두 변 ΔΑ, ΑΓ는 두 변 ΒΑ, ΑΓ와 크기가 같다.
καὶ βάσις ἡ ΔΓ βάσει τῇ ΒΓ ἴση·
밑변 ΔΓ는 밑변 ΒΓ와 크기가 같다.
γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΑΓ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΒΑΓ ἴση.
그러므로 각 ΔΑΓ는 각 ΒΑΓ와 크기가 같다.
ὀρθὴ δὲ ἡ ὑπὸ ΔΑΓ·
그런데 각 ΔΑΓ는 직각이다.
ὀρθὴ ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ.
ἐὰν ἄρα τριγώνου τὸ ἀπὸ μιᾶς τῶν πλευρῶν τετράγωνον ἴσον ᾖ τοῖς ἀπὸ τῶν λοιπῶν τοῦ τριγώνου δύο πλευρῶν τετραγώνοις, ἡ περιεχομένη γωνία ὑπὸ τῶν λοιπῶν τοῦ τριγώνου δύο πλευρῶν ὀρθή ἐστιν·
그러므로 각 ΒΑΓ 역시 직각이다. 그러므로 만약 어떤 삼각형에서 한 변 위에 그린 정사각형의 넓이가 그 삼각형의 나머지 두 변 위에 그린 정사각형들의 넓이의 합과 같다면, 그 삼각형의 나머지 두 변이 끼고 있는 각은 직각이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 일이다।