§15## ιε΄.
## ιε΄.
Ἔστω ἁμικύκλιον τὸ ΑΒ καὶ ἁ ΑΓ πλευρὰ τοῦ ἐγγεγραμμένου ἰσοπλεύρου τε καὶ ἰσογωνίου πενταγώνου, τετμάσθω δὲ περιφέρεια ἁ ΑΓ δίχα κατὰ τὸ △, ἐπιζευχθεῖσα δὲ ἁ Γ△ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Ε, καὶ ἀπὸ τοῦ △ σαμείου διάχθω ἁ △Β τέμνουσα πλευρὰν τὰν ΑΓ κατὰ τὸ Ζ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ ἄχθω τᾷ ΑΒ ποτʼ ὀρθὰς ἁ ΖΗ φαμὶ δή, εὐθεῖα ἁ ΕΗ τᾷ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου ἴσα ἐστίν.
반원 ΑΒ가 있고, ΑΓ를 내접하는 등변 및 등각 오각형의 한 변이라 하자. 그리고 호 ΑΓ는 점 △에서 이등분된다 하고, 연결된 Γ△는 점 Ε까지 연장되도록 하자. 또한 점 △로부터 △Β가 그어져 변 ΑΓ와 점 Ζ에서 교차하도록 하고, 점 Ζ로부터 ΑΒ에 직각으로 ΖΗ가 그어지도록 하자. 이때 직선 ΕΗ는 원의 반지름과 같다고 나는 주장한다.
Ἐπεζεύχθω γὰρ ἁ ΓΒ, καὶ ἔστω κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Θ σαμεῖον, καὶ ἄχθωσαν αἱ Θ△, △Η, Α△ εὐθεῖαι.
실제로 ΓΒ가 연결되고, 원의 중심을 점 Θ라 하자. 그리고 직선 Θ△, △Η, Α△가 그어지도록 하자.
Ἐπεὶ οὖν γωνία ἁ ὑπὸ ΑΒΓ δύο πέμπτα ὀρθᾶς ἐστιν, γωνία ἁ ὑπὸ ΓΒ△, τουτέστι ἁ ὑπὸ △ΒΑ, ἓν πεμπταμόριον ὀρθᾶς ἐστιν·
자, 각 ΑΒΓ는 직각의 5분의 2이므로, 각 ΓΒ△ 즉 각 △ΒΑ는 직각의 5분의 1이다.
γωνία ἄρα ἁ ὑπὸ △ΘΑ δύο πέμπτα ὀρθᾶς ἐστιν.
따라서 각 △ΘΑ는 직각의 5분의 2이다.
Καὶ ἐπεὶ ἐν δυσὶ τριγώνοις τοῖς ΓΒΖ, ΗΒΖ δύο γωνίαι αἱ ποτὶ τῷ Β ἴσαι ἀλλάλαις ἐντί, ὀρθαὶ δὲ αἱ ποτὶ τὰ Η, Γ σαμεῖα, κοινὰ δὲ πλευρὰ ἁ ΒΖ, ἐσσεῖται ἄρα καὶ βάσις ἁ ΒΓ βάσει τᾷ ΒΗ ἴσα.
그리고 두 삼각형 ΓΒΖ, ΗΒΖ에서 점 Β에서의 두 각은 서로 같고, 점 Η, Γ에서의 각은 직각이며, 변 ΒΖ는 공통이므로, 따라서 밑변 ΒΓ 역시 밑변 ΒΗ와 같게 될 것이다.
Πάλιν ἐπεὶ ἐν δυσὶ τριγώνοις τοῖς ΓΒ△, ΗΒ△ δύο πλευραὶ αἱ ΓΒ, ΒΗ ἴσαι ἀλλάλαις ἐντί, γωνίαι δὲ αἱ ποτὶ τῷ Β ἴσαι, κοινὰ δὲ πλευρὰ ἁ Β△, ἐσσεῖται ἄρα γωνία ἁ ὑπὸ ΒΓ△ γωνίᾳ τᾷ ὑπὸ ΒΗ△, τουτέστιν ἐπιπέμπτῳ ὀρθᾶς, ἴσα·
다시, 두 삼각형 ΓΒ△, ΗΒ△에서 두 변 ΓΒ, ΒΗ는 서로 같고, 점 Β에서의 각도 같으며, 변 Β△는 공통이므로, 따라서 각 ΒΓ△는 각 ΒΗ△(즉 직각의 1과 5분의 1)와 같게 될 것이다.
ἔστι BD δὲ ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΒΓ△, ΒΗ△ γωνιῶν γωνίᾳ τᾷ ἐκτὸς τοῦ ἐν τῷ κύκλῳ τετραπλεύτοῦ ῥοῦ ΒΑ△Γ, τουτέστι τᾷ △ΑΕ, ἴσα γωνία ἄρα ἁ ὑπὸ △ΑΒ γωνίᾳ τᾷ ὑπὸ △ΗΑ ἔστιν ἴσα, καὶ πλευρὰ ἁ △Α τᾷ △Η. Καὶ ἐπεὶ γωνία ἁ ὑπὸ △ΘΗ βε΄ ὀρθᾶς ἐστι καὶ ἁ ὑπὸ △ΗΘ ἐπίπεμπτος ὀρθᾶς, γωνία ἄρα ἁ ὑπὸ Θ△Η βέ ὀρθᾶς ἐστιν πλευρὰ ἄρα ἁ △ Η πλευρᾷ τᾷ ΗΘ ἐστὶν ἴσα.
또한 각 ΒΓ△, ΒΗ△ 각각은 원에 내접하는 사각형 ΒΑ△Γ의 외각, 즉 각 △ΑΕ와 같다. 그러므로 각 △ΑΒ는 각 △ΗΑ와 같고, 변 △Α는 △Η와 같다. 그리고 각 △ΘΗ는 직각의 5분의 2이고, 각 △ΗΘ는 직각의 1과 5분의 1이므로, 따라서 각 Θ△Η는 직각의 5분의 2이다. 그러므로 변 △Η는 변 ΗΘ와 같다.
Πάλιν, ἐπεὶ γωνία ἁ ὑπὸ Α△Ε τοῦ ἐν τῷ κύκλῳ τετραπλεύρου τοῦ Α△ΓΒ ἐκτός ἐστιν, ἐσσεῖται ἄρα γωνία ἁ ὑπὸ Α△Ε γωνίᾳ τᾷ ὑπὸ ΑΒΓ ἴσα·
다시, 각 Α△Ε는 원에 내접하는 사각형 Α△ΓΒ의 외각이므로, 따라서 각 Α△Ε는 각 ΑΒΓ와 같게 될 것이다.
ἔστι δὲ γωνία ἁ ὑπὸ ΑΒΓ βγ΄ ὀρθᾶς γωνία ἄρα ἁ ὑπὸ Α△Ε γωνίᾳ τᾷ ὑπὸ Η△Θ ἐστὶν ἴσα.
그리고 각 ΑΒΓ는 직각의 5분의 2이므로, 따라서 각 Α△Ε는 각 Η△Θ 와 같다.
Καὶ ἐπεὶ ἐν δυσὶ τριγώνοις τοῖς Ε△Α, Θ△Η δύο γωνίαι αἱ ὑπὸ Ε△Α, △ΑΕ δυσὶ ταῖς ὑπὸ Θ△Η. △ΗΘ ἑκατέρα ἑκατέρᾳ ἴσαι ἐντί, βάσις δὲ ἁ △Α βάσει τᾷ △Η ἴσα, πλευρὰ ἄρα ἁ ΕΑ πλευρᾷ τᾷ ΘΗ ἴσα ἐστίν.
그리고 두 삼각형 Ε△Α, Θ△Η에서 두 각 Ε△Α, △ΑΕ는 두 각 Θ△Η, △ΗΘ와 각각 같고, 밑변 △Α는 밑변 △Η와 같으므로, 따라서 변 ΕΑ는 변 ΘΗ와 같다.
Κοινὰ ποτικείσθω ἁ ΑΗ εὐθεῖα ἄρα ἁ ΕΗ εὐθείᾳ τᾷ ΑΘ, τουτέστι τᾷ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου, ἴσα ἐστίν·
공통인 ΑΗ가 더해지도록 하자. 따라서 직선 ΕΗ는 직선 ΑΘ, 즉 원의 반지름과 같다.
δέδεικται οὖν τὸ προτεθέν.
그러므로 제안된 바가 증명되었다.
ΠΟΡΙΣΜΑ
Ἐκ τούτου δὴ φανερὸν ὅτι εὐθεῖα ἁ △Ε τᾷ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου ἐστὶν ἴσα.
따름정리 이로부터 직선 △Ε가 원의 반지름과 같다는 것은 분명하다.
Ἐπεὶ γὰρ γωνία ἁ ὑπὸ △ΑΕ γωνίᾳ τᾷ ὑπὸ △ΗΘ ἴσα ἐστίν, ἐσσεῖται καὶ πλευρὰ ἁ △Θ πλευρᾷ τᾷ △Ε, τουτέστι τᾷ ΑΘ, ἴσα.
실제로 각 △ΑΕ는 각 △ΗΘ와 같으므로, 변 △Θ 역시 변 △Ε, 즉 ΑΘ와 같게 될 것이다.
ΠΟΡΙΣΜΑ
Καὶ ἔτι δῆλον ὅτι εὐθεῖα ἁ ΑΓ ἄκρον καὶ μέσον τέτμαται κατὰ τὸ △ σαμεῖον τμᾶμα δὲ τὸ △Ε τὸ μεῖζόν ἐστιν, ἐπεὶ ἁ Ε△ πλευρὰ τοῦ ἑξαγώνου, ἁ δὲ △Γ πλευρὰ τοῦ δεκαγώνου τῶν ἐν τῷ κύκλῳ ἐγγραφομένων.
따름정리 또한 직선 ΑΓ가 점 △에서 외중비(황금비)로 분할되고, 선분 △Ε가 더 큰 부분이라는 것도 분명하다. 왜냐하면 Ε△는 원에 내접하는 육각형의 한 변이고, △Γ는 십각형의 한 변이기 때문이다.