§32Ἡ δὲ ἄτομος οὐκ ἄπειρος, ὥστε ἔξει πέρας.
그러나 불가분한 선은 무한하지 않으므로 끝점을 가질 것이다.
Διαιρετὴ ἄρα·
따라서 분할 가능하다.
τὸ γὰρ πέρας ἄλλο καὶ οὗ πέρας.
왜냐하면 끝점과 그것이 끝점인 대상은 서로 다르기 때문이다.
Ἣ ἔσται τις οὔτ’ ἄπειρος οὔτε πεπερασμένη γραμμὴ παρὰ ταύτας.
그렇지 않다면 이 두 가지 선 외에 무한하지도 않고 유한하지도 않은 어떤 선이 존재하게 될 것이다.
Ἕτι οὐκ ἐν ἁπάσῃ γραμμῇ στιγμὴ ἔσται.
더욱이 모든 선 안에 점이 존재하지는 않을 것이다.
Ἐν μὲν γὰρ τῇ ἀτόμῳ οὐκ ἔστιν·
왜냐하면 불가분한 선 안에는 점이 존재하지 않기 때문이다.
εἰ μὲν γὰρ μία μόνη, ὑπάρξει γραμμή, εἶτα στιγμή·
만약 단 하나만 존재한다면, 우선 선이 존재하고 그 다음에 점이 존재할 것이다.
εἰ δὲ πλείους, διαιρετὴ ἡ γραμμή. §33Εἰ μὲν οὖν ἐν τῇ ἀτόμῳ μὴ ἐνυπάρχει στιγμή, οὐδ’ ὅλως ἐν γραμμῇ ἔσται·
그러나 만약 더 많은 점이 존재한다면, 선은 분할 가능하게 된다. 따라서 만약 불가분한 선 안에 점이 존재하지 않는다면, 선 안에는 전혀 점이 존재하지 않을 것이다.
αἱ γὰρ ἄλλαι ἐκ τῶν ἀτόμων.
다른 선들은 불가분한 선들로 구성되어 있기 때문이다.
Ἔτι ἢ μηθὲν τῶν στιγμῶν ἔσται μεταξὺ ἢ γραμμή·
더욱이 점들 사이에는 아무것도 없거나 혹은 선이 존재할 것이다.
εἰ δὲ μεταξὺ γραμμή, ἐν ἀπάσαις δὲ πλείους στιγμαί, οὐκ ἔσται ἄτομος.
그러나 만약 점들 사이에 선이 존재하고, 모든 선 안에 여러 점이 존재한다면, 불가분한 선은 존재하지 않을 것이다.
Ἔτι οὐχ ἀπάσης ἔσται γραμμῆς τετράγωνον·
더욱이 모든 선에 대해 정사각형이 존재하지는 않을 것이다.
ἔξει γὰρ μῆκος καὶ πλάτος, ὥστε διαιρετόν, ἐπεὶ τὸ μέν, τὸ δέ τι, §34Εἰ δὲ τὸ τετράγωνον, καὶ ἡ γραμμή.
정사각형은 길이와 폭을 가지므로 분할 가능하기 때문이다. 하나는 이것(길이)이고 다른 하나는 저것(폭)이므로, 그리고 만약 정사각형이 분할 가능하다면, 선 역시 그러하다.
Ἔτι τὸ πέρας τῆς γραμμῆς στιγμὴ ἔσται, ἀλλ' οὐ γραμμή.
더욱이 선의 끝점은 점이지 선이 아닐 것이다.
Πέρας μὲν γάρ, τὸ ἔσχατον δὲ ἡ ἄτομος.
그것은 끝점인 반면, 가장자리에 있는 것은 불가분한 선이기 때문이다.
Εἰ γὰρ στιγμή, τὸ πέρας τῇ ἀτόμῳ ἔσται στιγμή, καὶ ἔσται γραμμὴ γραμμῆς στιγμῇ μείζων.
만약 점이라면, 불가분한 선의 끝점은 점이 될 것이고, 한 선은 다른 선보다 점 하나만큼 더 크게 될 것이다.
Εἰ δ' ἐνυπάρχει τῇ ἀτόμῳ ἡ στιγμή, διὰ τὸ ταὐτὸ πέρας τῶν συνεχουσῶν γραμμῶν, ἔσται τι πέρας τῆς ἀμεροῦς, §35Ὄλως τε τί διοίσει στιγμὴ γραμμῆς;
그리고 만약 점이 불가분한 선 안에 존재한다면, 연속된 선들이 동일한 끝점을 가진다는 이유 때문에, 그 분할할 수 없는 것에도 어떤 끝점이 존재하게 될 것이다. 그리고 전반적으로 점은 선과 어떻게 다르겠는가?
Οὐδὲν γὰρ ἴδιον ἔξει ἡ ἄτομος γραμμὴ παρὰ τὴν στιγμὴν πλὴν τοὔνομα.
불가분한 선은 이름 외에는 점과 다른 독자적인 특징을 아무것도 가지지 않을 것이기 때문이다.
Ἕτι ὁμοίως μένει ἐπίπεδον καὶ σῶμά ἐστιν ἄτομον.
더욱이 마찬가지로 불가분한 면과 입체도 성립하게 된다.
Ἑνος γὰρ ὄντος ἀδιαιρέτου καὶ τἆλλα συνακολουθήσει διὰ τὸ θάτερον διῃρῆσθαι κατὰ θάτερον. §36Σῶμα οὐκ ἔσται ἀδιαίρετον διὰ τὸ εἶναι ἐν αὐτῷ βάθος καὶ πλάτος, οὐδ’ ἂν γραμμὴ εἴη ἀδιαίρετος·
왜냐하면 한 가지가 분할 불가능하다면, 다른 것도 이에 따를 것이기 때문인데, 하나가 다른 하나에 따라 분할되기 때문이다. 입체는 그 안에 깊이와 폭이 존재한다는 점 때문에 불가분할 수 없으며, 선 역시 불가분할 수 없을 것이다.
σῶμα μὲν γὰρ κατ’ ἐπίπεδον, ἐπίπεδον δὲ κατὰ γραμμήν.
입체는 면에 의해, 면은 선에 의해 규정되기 때문이다.
Ἐπεὶ δὲ οἵ τε λόγοι δι' ὦν ἐπιχειροῦσι πείθειν ἀσθενεῖς εἰσί, καὶ ψευδεῖς ἐναντίαι δόξαι πάσαι τοῖς ἰσχύουσι πρὸς πίστιν, φανερὸν ὅτι οὐκ ἄν εἴη γραμμὴ ἄτομος.
그리고 그들이 사람들을 설득하기 위해 시도하는 논증들은 약하며, 설득력을 가진 모든 의견에 반대되는 의견들은 거짓이므로, 불가분한 선이 존재할 수 없음은 명백하다.
Δῆλον δ' ἐκ τούτων ὅτι οὐδ’ ἂν ἐκ στιγμῶν εἴη γραμμή. §37Σχεδὸν γὰρ οἱ πλεῖστοι τῶν λόγων οἱ αὐτοὶ ἁρμόσουσιν.
그리고 이로부터 선이 점들로 구성될 수도 없음이 분명하다. 거의 대부분의 동일한 논증들이 적용될 것이기 때문이다.
Ἀνάγκη γὰρ διαιρεῖσθαι τὴν στιγμήν, ὅταν ἢ ἐκ περιττῶν τέμνηται ἴσα ἢ ἐξ ἀρτίων τὰ ἄνισα.
즉, 홀수 개의 점으로 이루어진 선이 균등하게 분할되거나, 짝수 개의 점으로 이루어진 선이 불균등하게 분할될 때, 점이 분할될 수밖에 없기 때문이다.
Καὶ τὸ τῆς γραμμῆς μέρος μὴ εἶναι γραμμήν, μηδὲ τὸ τοῦ ἐπιπέδου ἐπίπεδον. §38Καὶ γραμμὴ δὲ γραμμῆς στιγμῇ εἶναι μείζων·
또한 선의 부분이 선이 아니게 되고, 면의 부분도 면이 아니게 된다. 또한 어떤 선은 다른 선보다 점 하나만큼 더 크게 될 것이다.
ἐξ ὦν γὰρ σύγκειται, τούτοις καὶ ὑπερέξει.
그것이 구성되는 요소들에 의해 초과할 것이기 때문이다.
Τοῦτο δ' ὅτι ἀδύνατον, ἔκ τε τῶν ἐν τοῖς μαθήμασι δῆλον, καὶ ἔτι συμβήσεται τὴν στιγμὴν ἐν χρόνῳ δὴ εἶναι τὸ φερόμενον, εἴπερ τὴν μείζω μὲν ἐν πλείονι χρόνῳ, τὴν δ’ ἴσην ἐν ἴσῳ, ἡ δὲ τοῦ χρόνου ὑπεροχὴ χρόνος. §39Ἁλλ' ἴσως καὶ ὁ χρόνος ἐστὶν ἐκ τῶν νῦν, καὶ τοῦ αὐτοῦ λόγου λέγειν ἄμφω.
그리고 이것이 불가능하다는 것은 수학의 사실들로부터 명백하며, 더욱이 만약 더 큰 거리를 더 많은 시간 안에, 같은 거리를 같은 시간 안에 통과하고 시간의 초과분이 시간이라면, 운동하는 것이 어떤 시간 동안 점 안에 존재한다는 결과가 초래될 것이다. 그러나 아마도 시간 역시 ‘지금’들로 구성되어 있을 것이며, 양자를 말하는 것은 동일한 논증에 속할 것이다.
Εἰ δὴ τὸ νῦν ἀρχὴ καὶ πέρας τοῦ χρόνον καὶ ἡ γραμμὴ στιγμῆς, μή ἐστι δὲ συνεχὴς ἡ ἀρχὴ καὶ τὸ πέρας ἀλλ' ἔχουσί τι μεταξύ, οὐκ ἂν εἴη οὔτε τὰ νῦν οὔτε στιγμαὶ ἀλλήλοις συνεχεῖς. §40Ἔτι ἡ μὲν γραμμὴ μέγεθός τι, δὲ τῶν στιγμῶν σύνθεσις οὐδὲν ποιεῖ μέγεθος διὰ τὸ μηδ’ ἐπὶ πλείω τόπον ἔχειν.
만약 ‘지금’이 시간의 시작이자 끝이고, 점이 선의 시작이자 끝이라면, 그리고 시작과 끝이 연속적이지 않고 그 사이에 무언가를 가진다면, ‘지금’도 점도 서로 연속적이지 않을 것이다. 더욱이 선은 어떤 크기인 반면, 점들의 결합은 더 넓은 공간을 차지하지 않기 때문에 아무런 크기도 만들어내지 못한다.
Ὄταν γὰρ ἐπὶ γραμμὴν γραμμὴ τεθῇ καὶ ἐφαρμόσῃ, οὐδὲν γίνεται μεῖζον τὸ πλάτος.
왜냐하면 선 위에 선이 놓이고 포개어질 때, 폭은 조금도 커지지 않기 때문이다.
Ἐν δὲ τῇ γραμμῇ καὶ στιγμαὶ ἐνυπάρχονσιν, οὐδ’ ἂν αἱ στιγμαὶ πλείω κατέχοιεν τόπον, ὥστε οὐκ ἂν ποιοῖεν μέγεθος. §41Ἔτι εἰ ἅπαντα ἅπτεται παντὸς ἢ ὅλον ὅλου ἢ τινὶ τινὸς ἢ ὅλον τινός, ἡ δὲ στιγμὴ ἀμερὴς ὅλως ἅπτοιτο.
그리고 선 안에는 점들도 존재하는데, 점들도 더 많은 공간을 차지하지는 않을 것이므로, 크기를 만들어내지 못할 것이다. 더욱이 만약 모든 것이 다른 것에 접촉할 때 전체가 전체에 접하거나, 부분이 부분에 접하거나, 혹은 전체가 부분에 접하며, 점은 부분이 없으므로 전체로서 접해야만 한다면, 전체로서 전체에 접하는 것은 하나여야만 한다.
Τὸ δ’ ὅλον ὅλου ἁπτόμενον ἀνάγκη ἓν εἶναι. Εἰ γάρ τι ἐστὶν ἢ θάτερον μή ἐστιν, οὐκ ἂν ὅλον ὅλου ἅπτοιτο.
왜냐하면 만약 어떤 부분이 존재하거나, 혹은 둘 중 하나가 존재하지 않는다면, 전체가 전체에 접하는 것이 아닐 것이기 때문이다.