§42Εἰ δ' ἅμα ἐστὶ τὰ ἀμερῆ, τὸν αὐτὸν κατέχει τόπον πλείων ὃν καὶ πρότερον τὸ ἕν·
만약 분할 불가능한 것들이 함께 존재한다면, 여러 개라 할지라도 이전에 하나가 차지했던 것과 동일한 공간을 차지할 것이다.
τῶν γὰρ ἅμα ὄντων καὶ μὴ ἐχόντων ἐπέκτασιν κατὰ ταὐτὰ ὁ αὐτὸς ἀμφοῖν τόπος, Τὸ δ’ ἀμερὲς οὐκ ἔχει διάστασιν, ὥστ’ οὐκ ἂν εἴη μέγεθος συνεχὲς ἐξ ἀμερῶν.
왜냐하면 동일하게 존재하면서 같은 방향으로 연장을 가지지 않는 것들에게는 두 쪽 모두의 공간이 동일하기 때문이다. 그러나 분할 불가능한 것은 차원을 가지지 않으므로, 분할 불가능한 것들로부터 연속적인 크기가 생겨날 수 없을 것이다.
Οὐκ ἄρα οὔθ’ ἡ γραμμὴ ἐκ στιγμῶν οὔθ’ ὁ χρόνος ἐκ τῶν νῦν,
따라서 선이 점들로 구성되는 것도 아니고, 시간이 '지금'들로 구성되는 것도 아니다.
§43Ἔτι εἰ ἔστιν ἐκ στιγμῶν, ἅψεται στιγμὴ στιγμῆς·
더욱이 만약 선이 점들로 구성된다면, 점이 점에 접촉할 것이다.
ἐὰν οὖν ἐκ τοῦ Κ ἐκβληθῇ ἡ Α Β καὶ Γ Δ, ἅψεται τοῦ Κ καὶ ἡ ἐν τῇ Κ Δ στιγμή.
그렇다면 만약 K로부터 AB와 CD가 그어진다면, KD에 있는 점 역시 K에 접촉할 것이다.
Ὤστε καὶ ἄλλῳ τινί·
따라서 다른 어떤 점과도 접촉할 것이다.
τὸ γὰρ ἀμερὲς τοῦ ἀμεροῦς ὅλον ὅλου ἐφάπτεται.
분할 불가능한 것이 분할 불가능한 것에 접촉할 때는 전체가 전체에 접하기 때문이다.
Ὤστε τὸν αὐτὸν ἐφέξει τόπον τοῦ Κ, καὶ ἁπτόμεναι στιγμαὶ ἐν τῷ αὐτῷ τόπῳ ἀλλήλαις.
따라서 그것들은 K와 동일한 공간을 차지할 것이고, 접촉하는 점들도 서로 동일한 공간에 있게 될 것이다.
§44Εἰ δ’ ἐν τῷ αὑτῷ, καὶ ἄπτονται·
그리고 만약 그것들이 동일한 공간에 있다면 접촉하는 것이다.
τὰ γὰρ ἐν τῷ αὐτῷ τόπῳ ὄντα πρῶτα ἅπτεσθαι ἀναγκαῖον, εἶθ’ οὕτως εὐθεῖα εὐθείας ἅψεται κατὰ δύο στιγμάς.
동일한 공간에 일차적으로 존재하는 것들은 접촉할 수밖에 없기 때문이며, 따라서 이와 같이 직선이 직선에 두 점에서 접촉하게 될 것이다.
Ἡ γὰρ ἐν τῇ Α Κ στιγμὴ καὶ τῇ Κ Γ καὶ ἑτέρας ἅπτεται στιγμῆς.
AK 안의 점이 KC 안의 점 및 다른 점과도 접촉하기 때문이다.
῎Ωστε ἡ ἐκ τῆς Γ Δ κατὰ πλείους ἅπτεται στιγμάς.
따라서 GD로부터 그어진 선은 여러 점에서 접촉하게 된다.
§45Ὁ αὐτὸς δὲ λόγος καὶ εἰ μὴ δι' ἀλλήλων ἀλλ’ ὁπωσοῦν ἥψατο γραμμῆς.
동일한 논증은 그것들이 서로를 관통하지 않고 어떻게든 선에 접촉하는 경우에도 적용된다.
Ἔτι καὶ ἡ τοῦ κύκλου τῆς εὐθείας ἅψεται κατὰ πλείω.
더욱이 원 역시 직선과 여러 점에서 접촉하게 될 것이다.
Τῆς γὰρ συναφῆς καὶ ἡ ἐν τῷ κύκλῳ καὶ ἡ ἐν τῇ εὐθείᾳ ἅπτεται καὶ ἀλλήλων.
접점에서 원 안의 점과 직선 안의 점 모두가 접점에 접촉하고 또한 서로에게도 접촉하기 때문이다.
§46Εἰ δὲ τοῦτο μὴ δυνατόν, οὐδὲ τὸ ἅπτεσθαι στιγμὴν στιγμῆς·
그러나 만약 이것이 불가능하다면, 점이 점에 접촉하는 것도 불가능하다.
εἰ δὲ μὴ ἅπτεσθαι, οὐδ’ εἶναι τὴν γραμμὴν στιγμήν·
만약 접촉하지 않는다면, 선이 점으로 이루어지는 것도 아니다.
οὐδὲ γὰρ ἅπτεσθαι ἀναγκαῖον.
접촉할 필요조차 없어지기 때문이다.
Ἔτι πῶς ποτὲ ἔσται εὐθεῖα γραμμὴ καὶ περιφερής;
더욱이 어떻게 직선과 곡선이 존재할 수 있겠는가?
Οὐδὲν γὰρ διοίσει ἡ σύναψις τῶν στιγμῶν ἐν τῇ εὐθείᾳ καὶ τῇ περιφερεῖ.
직선에서의 점들의 결합과 곡선에서의 점들의 결합은 아무런 차이도 없을 것이기 때문이다.
§47Τὸ γὰρ ἀμερὲς τοῦ ἀμεροῦς ὅλον ὅλου ἅπτεται, καὶ οὐκ ἔστιν ὅλως ἅπτεσθαι.
분할 불가능한 것이 분할 불가능한 것에 접촉할 때는 전체가 전체에 접하는 것이며, 부분적으로 접촉하는 것은 전적으로 불가능하기 때문이다.
Εἰ οὖν αἱ μὲν γραμμαὶ διάφοροι, ἡ δὲ σύναψις ἀδιάφορος, οὐκ ἔσται δὴ γραμμὴ ἐκ τῆς συνάψεως, ὥστ’ οὐδ’ ἐκ στιγμῶν.
따라서 만약 선들은 서로 다른데 결합에는 차이가 없다면, 결합으로부터 선이 생겨나지 않을 것이며, 따라서 점들로부터도 생겨나지 않을 것이다.
Ἔτι ἀναγκαῖον ἢ ἅπτεσθαι ἢ μὴ ἅπτεσθαι τὰς στιγμὰς ἀλλήλων.
더욱이 점들은 서로 접촉하거나 접촉하지 않거나 둘 중 하나여야만 한다.
§48Εἰ μὲν οὖν τὸ ἐφεξῆς ἅπτεσθαι ἀνάγκη, ὁ αὐτὸς ἔσται λόγος·
그렇다면 만약 인접한 것들이 접촉해야만 한다면, 동일한 논증이 적용될 것이다.
εἰ δὲ ἐνδέχεται ἐφεξῆς τι εἶναι μὴ ἁπτόμενον, τὸ δὲ συνεχὲς οὐδὲν ἄλλο λέγομεν ἢ τὸ ἐξ ὦν ἐστὶν ἁπτομένων· ὥστε καὶ οὕτως ἀνάγκη τὰς στιγμὰς ἅπτεσθαι ἀλλήλων, ἢ εἶναι γραμμὴν συνεχῆ.
그러나 접촉하지 않으면서 인접하는 것이 가능하다면, 그리고 우리가 연속적인 것을 접촉하는 것들로 구성된 것 외에 다른 무엇도 아니라고 말한다면, 이렇게 해도 역시 점들이 서로 접촉하거나, 혹은 선이 연속적이기를 그치거나 둘 중 하나여야만 한다.
§49Ἔτι εἰ ἄτοπον στιγμὴ ἐπὶ στιγμῆς, ἴν’ ᾖ γραμμὴ καὶ ἐπὶ στιγμῇ, ἐπεὶ ἡ γραμμὴ ἐπίπεδον, ἀδύνατον τὰ εἰρημένα εἶναι.
더욱이 선이 성립하기 위해 점 위에 점이 놓이고, 선이 면이 되므로 점 위에 점이 놓이는 것이 터무니없다면, 앞서 말한 것들은 불가능하다.
Εἴτε γὰρ ἐφεξῆς αἱ στιγμαί εἰσι, τμηθήσεται ἡ γραμμὴ κατ’ οὐδετέραν τῶν στιγμῶν, ἀλλ’ ἀνὰ μέσον·
왜냐하면 만약 점들이 인접해 있다면, 선은 점들 중 어느 쪽에서도 분할되지 않고 그 중간에서 분할될 것이기 때문이다.
εἴθ’ ἅπτονται, γραμμὴ ἔσται τῆς μιᾶς στιγμῆς χώρα.
혹은 만약 그것들이 접촉한다면, 단 하나의 점의 자리가 선이 될 것이다.
Τοῦτο δ’ ἀδύνατον.
그러나 이것은 불가능하다.
§50Ἔτι διαιροῖτ’ ἂν ἅπαντα καὶ ἀναλύοιτο εἰς στιγμάς, καὶ ἡ στιγμὴ μέρος σώματος, εἴπερ τὸ μὲν σῶμα ἐξ ἐπιπέδων, τὸ δ' ἐπίπεδον ἐκ γραμμῶν, αἱ δὲ γραμμαὶ ἐκ στιγμῶν.
더욱이 모든 것이 분할되어 점들로 분해될 것이며, 점은 물체의 부분이 될 것이다. 만약 정말로 물체는 면들로, 면은 선들로, 선은 점들로 구성되어 있다면 말이다.
Εἰ δ’ ἐξ ὦν πρώτων ἐνυπαρχόντων ἕκαστά ἐστι, στοιχεῖά ἐστι ταῦτα, αἱ στιγμαὶ ἂν εἴησαν στοιχεῖα σωμάτων.
그리고 만약 각각의 것이 그것들을 구성하는 최초의 내재적 요소들로부터 이루어져 있다면, 이것들은 원소이므로, 점들이 물체의 원소일 것이다.
Ὥστε συνώνυμα στοιχεῖα οὐδέτερα τῷ εἴδει.
그 결과 그것들은 종류에 있어서 아무런 차이도 없는, 동명의 원소들이 될 것이다.
§51Φανερὸν οὖν ἐκ τῶν εἰρημένων ὅτι οὐκ ἔστι γραμμὴ ἐκ στιγμῶν.
따라서 앞서 말한 것들로부터 선이 점들로 구성되지 않음은 명백하다.
Ἀλλ' οὐδ’ ἀφαιρεθῆναι οἶόν τε στιγμὴν ἀπὸ γραμμῆς.
그러나 선으로부터 점을 빼내는 것 역시 불가능하다.
Εἰ γὰρ ἐνδέχεται ἀφαιρεθῆναι, καὶ προστεθῆναι δυνατόν·
왜냐하면 만약 빼내는 것이 가능하다면, 더하는 것도 가능하기 때문이다.
προστεθέντος δέ τινος τὸ προστεθὲν μεῖζον ἔσται τοῦ ἐξ ἀρχῆς, ἐὰν τοιοῦτον ᾖ τὸ προστιθέμενον ὥστε ἓν ὅλον ποιεῖν.
그런데 무언가가 더해졌을 때, 더해진 것은 만약 더해지는 것이 하나의 전체를 형성하는 성질의 것이라면 본래의 것보다 더 크게 될 것이다.