§2.1.20Ὅτι μὲν οὖν τὰ μεταξὺ οὐκ ἐνδέχεται ἄπειρα εἶναι, εἰ ἐπὶ τὸ κάτω καὶ τὸ ἄνω ἵστανται αἱ κατηγορίαι, δῆλον.
그러므로 만약 술정들이 아래 방향과 위 방향에서 멈춘다면, 매개개념들이 무한히 존재하는 것이 불가능하다는 점은 분명하다.
λέγω δʼ ἄνω μὲν τὴν ἐπὶ τὸ καθόλου μᾶλλον, κάτω δὲ τὴν ἐπὶ τὸ κατὰ μέρος.
내가 위 방향이라고 말하는 것은 더 보편적인 것을 향하는 것이고, 아래 방향이라고 말하는 것은 개별적인 것을 향하는 것이다.
εἰ γὰρ τοῦ Α κατηγορουμένου κατὰ τοῦ Ζ ἄπειρα τὰ μεταξύ, ἐφʼ ὧν Β, δῆλον ὅτι ἐνδέχοιτ᾿ ἂν ὥστε καὶ ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὸ κάτω ἕτερον ἑτέρου κατηγορεῖσθαι εἰς ἄπειρον (πρὶν γὰρ ἐπὶ τὸ Ζ ἐλθεῖν, ἄπειρα τὰ μεταξύ) καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ ἐπὶ τὸ ἄνω ἄπειρα, πρὶν ἐπὶ τὸ Α ἐλθεῖν.
왜냐하면 만약 A가 Z에 대해 서술될 때 매개개념들(이것들을 B라 하자)이 무한하다면, A로부터 아래 방향으로 하나가 다른 하나에 대해 무한히 서술되는 것이 가능할 것임이 분명하기 때문이고(Z에 이르기 전에 매개개념들이 무한하기 때문이다), Z로부터 위 방향으로도, A에 이르기 전에 매개개념들이 무한할 것이기 때문이다.
ὥστʼ εἰ ταῦτα ἀδύνατα, καὶ τοῦ Α καὶ Ζ ἀδύνατον ἄπειρα εἶναι μεταξύ.
따라서 이것들이 불가능하다면, A와 Z 사이에 매개개념들이 무한히 존재하는 것도 불가능하다.
οὐδὲ γὰρ εἴ τις λέγοι ὅτι τὰ μέν ἐστι τῶν Α Β Ζ ἐχόμενα ἀλλήλων ὥστε μὴ εἶναι μεταξύ, τὰ δʼ οὐκ ἔστι λαβεῖν, οὐδὲν διαφέρει.
왜냐하면 어떤 사람이, A, B, Z 중 어떤 것들은 서로 인접해 있어서 그 사이에 매개개념이 없지만, 어떤 것들은 그렇게 잡을 수 없다고 말하더라도, 아무런 차이가 없기 때문이다.
ὃ γὰρ ἂν λάβω τῶν Β, ἔσται πρὸς τὸ Α ἢ πρὸς τὸ Ζ ἢ ἄπειρα τὰ μεταξὺ ἢ οὔ.
왜냐하면 B들 중 어느 것을 잡더라도, 그것과 A 사이 또는 그것과 Z 사이의 매개개념들이 무한하거나 그렇지 않을 것이기 때문이다.
ἀφʼ οὗ δὴ πρῶτον ἄπειρα, εἴτʼ εὐθὺς εἴτε μὴ εὐθύς, οὐδὲν διαφέρει·
그리고 그것으로부터 처음으로 무한하게 되는 지점이, 즉시이든 즉시가 아니든 아무런 차이가 없다.
τὰ γὰρ μετὰ ταῦτα ἄπειρά ἐστιν.
왜냐하면 그것들 뒤에 있는 것들은 무한하기 때문이다.
§2.1.21Φανερὸν δὲ καὶ ἐπὶ τῆς στερητικῆς ἀποδείξεως ὅτι στήσεται, εἴπερ ἐπὶ τῆς κατηγορικῆς ἵσταται ἐπʼ ἀμφότερα.
또한 만약 긍정적 증명에 있어서 양방향으로 멈춘다면, 부정적 증명에 있어서도 멈출 것임이 분명하다.
ἔστω γὰρ μὴ ἐνδεχόμενον μήτε ἐπὶ τὸ ἄνω ἀπὸ τοῦ ὑστάτου εἰς ἄπειρον ἰέναι (λέγω δʼ ὕστατον ὃ αὐτὸ μὲν ἄλλῳ μηδενὶ ὑπάρχει, ἐκείνῳ δὲ ἄλλο, οἷον τὸ Ζ) μήτε ἀπὸ τοῦ πρώτου ἐπὶ τὸ ὕστατον (λέγω δὲ πρῶτον ὃ αὐτὸ μὲν κατʼ ἄλλου, κατʼ ἐκείνου δὲ μηδὲν ἄλλο).
마지막 것(내가 마지막 것이라고 말하는 것은 그것 자체는 다른 아무것에도 속하지 않지만 그것에는 다른 것이 속하는 것, 예컨대 Z이다)으로부터 위 방향으로 무한히 나아가는 것도, 첫째 것(내가 첫째 것이라고 말하는 것은 그것 자체는 다른 것에 대해 서술되지만 그것에 대해서는 다른 아무것도 서술되지 않는 것이다)으로부터 마지막 것에 이르기까지 무한히 나아가는 것도 불가능하다고 가정하자.
εἰ δὴ ταῦτʼ ἔστι, καὶ ἐπὶ τῆς ἀποφάσεως στήσεται.
만약 이것들이 그렇다면, 부정에 있어서도 멈출 것이다.
τριχῶς γὰρ δείκνυται μὴ ὑπάρχον·
왜냐하면 속하지 않는다는 것은 세 가지 방식으로 증명되기 때문이다.
ἢ γὰρ μὲν τὸ Γ, τὸ Β ὑπάρχει παντί, ᾧ δὲ τὸ Β, οὐδενὶ τὸ Α. τοῦ μὲν τοίνυν Β Γ, καὶ ἀεὶ τοῦ ἑτέρου διαστήματος, ἀνάγκη βαδίζειν εἰς ἄμεσα·
즉, 한편으로 Γ 전체에 B가 속하고, B가 속하는 것의 어느 것에도 A가 속하지 않는 경우이다(첫 번째 방식). 따라서 B-Γ에 대하여, 그리고 언제나 다른 쪽 간격에 대하여, 무매개적인 간격들로 나아가는 것이 필연적이다.
κατηγορικόν γὰρ τοῦτο τὸ διάστημα.
왜냐하면 이 간격은 긍정적인 것이기 때문이다.
τὸ δʼ ἕτερον δῆλον ὅτι εἰ ἄλλῳ οὐχ ὑπάρχει προτέρῳ, οἷον· τῷ Δ, τοῦτο δεήσει τῷ Β παντὶ ὑπάρχειν.
그러나 다른 쪽 간격은 분명히, 만약 A가 다른 어떤 앞선 것, 예컨대 Δ에 속하지 않는다면, 이 Δ가 B 전체에 속해야만 할 것이다.
καὶ εἰ πάλιν ἄλλῳ τοῦ Δ προτέρῳ οὐχ ὑπάρχει, ἐκεῖνο δεήσει τῷ Δ παντὶ ὑπάρχειν.
그리고 만약 다시 Δ보다 앞선 다른 것에 속하지 않는다면, 그것이 Δ 전체에 속해야만 할 것이다.
ὥστʼ ἐπεὶ ἡ ἐπὶ τὸ ἄνω ἵσταται ὁδός, καὶ ἡ ἐπὶ τὸ Α στήσεται, καὶ ἔσται τι πρῶτον ᾧ οὐχ ὑπάρχει.
따라서 위 방향으로의 경로가 멈추므로, A를 향한 경로 역시 멈출 것이며, 그것에 속하지 않는 어떤 첫째 것이 존재할 것이다.
Πάλιν εἰ τὸ μὲν Β παντὶ τῷ Α, τῷ δὲ Γ μηδενί, τὸ τῶι Γ οὐδενὶ ὑπάρχει.
다시, 만약 B가 A 전체에 속하고 Γ의 어느 것에도 속하지 않는다면, A는 Γ의 어느 것에도 속하지 않는다(두 번째 방식).
πάλιν τοῦτο εἰ δεῖ δεῖξαι, δῆλον ὅτι ἢ διὰ τοῦ ἄνω τρόπου δειχθήσεται ἢ διὰ τούτου ἢ τοῦ τρίτου.
이것을 다시 증명해야 한다면, 분명히 위에서 언급한 방식에 의하거나, 이 방식 또는 제3의 방식에 의해 증명될 것이다.
ὁ μὲν οὖν πρῶτος εἴρηται, ὁ δὲ δεύτερος δειχθήσεται.
첫 번째 방식은 이미 언급되었고, 두 번째 방식이 이제 증명될 것이다.
οὕτω δʼ ἂν δεικνύοι, οἶον τὸ Δ τῷ μὲν Β παντὶ ὑπάρχει, τῷ δὲ Γ οὐδενί, εἰ ἀνάγκη ὑπάρχειν τι τῷ Β. καὶ πάλιν εἰ τοῦτο τῷ Γ μὴ ὑπάρξει, ἄλλο τῷ Δ ὑπάρχει, ὃ τῷ Γ οὐχ ὑπάρχει.
그것은 다음과 같이 증명될 것이다. 예컨대 B에 무언가가 속하는 것이 필연적이라면, Δ가 B 전체에 속하고 Γ의 어느 것에도 속하지 않는 것처럼 말이다. 그리고 다시 이것이 Γ에 속하지 않는다면, 다른 것이 Δ에 속할 것이고, 그것은 Γ에 속하지 않는다.
οὐκοῦν ἐπεὶ τὸ ὑπάρχειν ἀεὶ τῷ ἀνωτέρω ἵσταται, στήσεται καὶ τὸ μὴ ὑπάρχειν.
그러므로 속한다는 것은 언제나 더 위쪽의 것에서 멈추므로, 속하지 않는다는 것 역시 멈출 것이다.
Ὁ δὲ τρίτος τρόπος ἦν·
제3의 방식은 다음과 같았다.
εἰ τὸ μὲν τῷ Β παντὶ ὑπάρχει, τὸ δὲ Γ μὴ ὑπάρχει, οὐ παντὶ ὑπάρχει τὸ Γ ᾧ τὸ Α. πάλιν δὲ τοῦτο ἢ διὰ τῶν ἄνω εἰρημένων ἢ ὁμοίως δειχθήσεται.
만약 A가 B 전체에 속하고 Γ가 속하지 않는다면, A가 속하는 모든 것에 Γ가 속하는 것은 아니다. 이것을 다시 증명해야 한다면, 위에서 언급된 방식들을 통하거나 유사한 방식으로 증명될 것이다.
ἐκείνως μὲν δὴ ἵσταται, εἰ δʼ οὕτω, πάλιν λήψεται τὸ Β τῷ Ε ὑπάρχειν, ᾧ τὸ Γ μὴ παντὶ ὑπάρχει.
전자의 방식에서는 물론 멈춘다. 하지만 이 방식이라면, B가 E에 속하고, 이 E에 Γ가 모두 속하는 것은 아니라고 다시 취해질 것이다.
καὶ τοῦτο πάλιν ὁμοίως.
그리고 이것 역시 마찬가지다.
ἐπεὶ δʼ ὑπόκειται ἵστασθαι καὶ ἐπὶ τὸ κάτω, δῆλον ὅτι στήσεται καὶ τὸ Γ οὐχ ὑπάρχον.
그런데 아래 방향으로도 멈춘다고 가정되어 있으므로, Γ가 속하지 않는다는 것 역시 멈출 것임이 분명하다.
Φανερὸν δʼ ὅτι καὶ ἐὰν μὴ μιᾷ ὁδῷ δεικνύηται ἀλλὰ πάσαις, ὁτὲ μὲν ἐκ τοῦ πρώτου σχήματος, ὁτὲ δὲ ἐκ τοῦ δευτέρου ἢ τρίτου, ὅτι καὶ οὕτω στήσεται·
또한 단 하나의 경로에 의해서가 아니라 모든 경로에 의해 증명되더라도, 때로는 제1격으로부터, 때로는 제2격이나 제3격으로부터 증명되더라도, 이와 같이 역시 멈출 것임이 분명하다.
πεπερασμέναι γάρ εἰσιν αἱ ὁδοί, τὰ δὲ πεπερασμένα πεπερασμενάκις ἀνάγκη πεπεράνθαι πάντα.
왜냐하면 그 경로들은 유한하며, 유한한 것들이 유한한 횟수만큼 행해진다면 그것들 모두는 필연적으로 한정되어 있기 때문이다.
Ὅτι μὲν οὖν ἐπὶ τῆς στερήσεως, εἴπερ καὶ ἐπὶ τοῦ ὑπάρχειν, ἵσταται, δῆλον.
그러므로 만약 속함에 있어서 멈춘다면, 결여에 있어서도 멈출 것임이 분명하다.
ὅτι δʼ ἐπʼ ἐκείνων, λογικῶς μὲν θεωροῦσιν ὧδε φανερόν.
그러나 그것들에 있어서 멈춘다는 것은, 논리적으로 고찰하는 자들에게 다음과 같이 분명하다.