§2.1.12Εἰ δὲ τὸ αὐτό ἐστιν ἐρώτημα συλλογιστικὸν καὶ πρότασις ἀντιφάσεως, προτάσεις δὲ καθ᾿ ἑκάστην· ἐπιστήμην ἐξ ὧν ὁ συλλογισμὸς ὁ καθʼ ἑκάστην, εἴη ἄν τι ἐρώτημα ἐπιστημονικόν, ἐξ ὧν ὁ καθʼ ἑκάστην οἰκεῖος γίνεται συλλογισμός.
만약 추론적인 질문과 모순의 한 명제가 동일하고, 각 학문에서의 명제들이란 각 학문에 특유한 추론이 그것들로부터 구성되는 출발점이라면, 각 학문에 고유한 추론이 성립하게 되는 어떤 학술적인 질문이 존재할 것이다.
δῆλον ἄρα ὅτι οὐ πᾶν ἐρώτημα γεωμετρικὸν ἂν εἴη οὐδʼ ἰατρικόν, ὁμοίως δὲ καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων·
그러므로 모든 질문이 기하학적인 질문 이거나 의학적인 질문은 아니며, 다른 학문들에 대해서도 마찬가지라는 것은 분명하다.
ἀλλʼ ἐξ ὧν δείκνυταί τι περὶ ὧν ἡ γεωμετρία ἐστίν, ἢ ἃ ἐκ τῶν αὐτῶν δείκνυται τῇ γεωμετρίᾳ, ὥσπερ τὰ ὀπτικά.
오히려 기하학이 관여하는 대상에 관해 어떤 증명이 이루어지는 것들이나, 혹은 기하학과 동일한 원리들로부터 증명되는 것들(예컨대 광학 같은 것)이 기하학적 질문이다.
ὁμοίως δὲ καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων.
다른 학문들에 대해서도 마찬가지이다.
καὶ περὶ μὲν τούτων καὶ λόγον ὑφεκτέον ἐκ τῶν γεωμετρικῶν ἀρχῶν καὶ συμπερασμάτων, περὶ δὲ τῶν ἀρχῶν λόγον οὐχ ὑφεκτέον τῷ γεωμέτρῃ ᾗ γεωμέτρης·
그리고 전자의 기하학적인 것들에 대해서는 기하학적 원리와 결론들로부터 그 근거를 제시해야 하지만, 원리 자체에 대해서는 기하학자가 기하학자인 한 근거를 제시할 필요가 없다.
ὁμοίως δὲ καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων ἐπιστημῶν.
다른 학문들에 대해서도 마찬가지이다.
οὔτε πᾶν ἄρα ἕκαστον ἐπιστήμονα ἐρώτημα ἐρωτητέον, οὔθʼ ἅπαν τὸ ἐρωτώμενον ἀποκριτέον περὶ ἑκάστου, ἀλλὰ τὰ κατὰ τὴν ἐπιστήμην διορισθέντα.
그러므로 개별 전문가에게 모든 질문을 던져서도 안 되고, 질문을 받은 개별 전문가가 모든 것에 답해야 하는 것도 아니며, 오직 그 학문에서 규정된 바에 따라서만 대답해야 한다.
εἰ δὲ διαλέξεται γεωμέτρῃ ᾗ γεωμέτρης οὕτως, φανερὸν ὅτι καὶ καλῶς, ἐὰν ἐκ τούτων τι δεικνύῃ· εἰ δὲ μή, οὐ καλῶς.
만약 어떤 사람이 기하학자와 기하학자인 한에서 이와 같이 토론한다면, 만약 그가 이러한 원리들로부터 무언가를 증명한다면 훌륭하게 토론하는 것이지만, 그렇지 않다면 훌륭하지 못함이 분명하다.
δῆλον δʼ ὅτι οὐδʼ ἐλέγχει γεωμέτρην ἀλλʼ ἢ κατὰ συμβεβηκός·
또한 기하학자를 논박하는 것도 부수적인 경우를 제외하면 불가능하다는 것이 분명하다.
ὥστʼ οὐκ ὰν εἴη ἐν ἀγεωμετρήτοις περὶ γεωμετρίας διαλεκτέον·
따라서 기하학을 모르는 사람들 사이에서 기하학에 관해 토론해서는 안 된다.
λήσει γὰρ ὁ φαύλως διαλεγόμενος.
왜냐하면 잘못된 토론을 하는 자가 알지 못하는 사이에 끼어들 것이기 때문이다.
ὁμοίως δὲ καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων ἔχει ἐπιστημῶν.
다른 학문들에 대해서도 마찬가지이다.
Ἐπεὶ δʼ ἔστι γεωμετρικὰ ἐρωτήματα, ἆῤ ἔστι καὶs ἀγειωμέτρητα;
그렇다면 기하학적인 질문이 존재하듯이, 비기하학적인 질문도 존재하는가?
καὶ παῤ ἑκάστην ἐπιστήμην τὰ κατὰ τὴν ἄγνοιαν τὴν ποίαν γεωμετρικά ἐστιν;
그리고 각 학문에서 어떤 종류의 무지에 따른 질문이 기하학적인 질문인가?
καὶ πότερον ὁ κατὰ τὴν ἄγνοιαν συλλογισμὸς ὁ ἐκ τῶν ἀντικειμμένων συλλογισμός, ἢ ὁ παραλογισμός, κατὰ γεωμετρίαν δέ, ἢ ὁ ἐξ ἄλλης τέχνης, οἷον τὸ μουσικόν ἐστιν ἐρώτημα ἀγεωμέτρητον περὶ γεωμετρίας, τὸ δὲ τὰς παραλλήλους συμπίπτειν οἴεσθαι γεωμετρικόν πως καὶ ἀγεωμέτρητον ἄλλον τρόπον;
또한 무지에 따른 추론은 대립하는 것들로부터의 추론인가, 아니면 오류추리인가? 하지만 그것은 기하학에 따른 오류추리인가, 아니면 다른 기술에서 비롯된 것인가? 예컨대 음악에 관한 질문은 기하학에 대해서는 비기하학적인 질문이지만, 평행선이 만난다고 생각하는 것은 어떤 의미에서는 기하학적이고 다른 의미에서는 비기하학적인가?
διττὸν γὰρ τοῦτο, ὥστπερ τὸ ἄρρυθμον, καὶ τὸ μὲν ἕτερον ἀγεωμέτρητον τῷ μὴ ἔχειν, τὸ δʼ ἕτερον τῷ φαύλως ἔχειν·
왜냐하면 이 비기하학적이라는 말은 마치 조율이 안 된(무리듬의)이라는 말처럼 두 가지 방식으로 사용되기 때문이다. 하나는 그것을 전혀 갖지 않는다는 점에서 비기하학적이고, 다른 하나는 그것을 잘못 가지고 있다는 점에서 비기하학적이다.
καὶ ἡ ἄγνοια αὕτη καὶ ἡ ἐκ τῶν τοιούτων ἀρχῶν ἐναντία.
그리고 이 후자의 무지와 그러한 원리로부터 출발하는 추론은 진리에 반대되는 것이다.
ἐν δὲ τοῖς μαθήμασιν οὐκ ἔστιν ὁμοίως ὁ παραλογισμός, ὅτι τὸ μέσον ἐστὶν ἀεὶ τὸ διττόν·
그러나 수학에서는 오류추리가 같은 방식으로 일어나지 않는데, 매개자가 언제나 이중의 의미를 지니기 때문이다.
κατά τε γὰρ τούτου παντός, καὶ τοῦτο πάλιν κατʼ ἄλλου λέγεται παντός (τὸ δὲ κατηγορούμενον οὐ λέγεται πᾶν), ταῦτα δʼ ἔστιν οἷον ὁρᾶν τῇ νοήσει, ἐν δὲ τοῖς λόγοις λανθάνει.
즉, 술어가 이 매개자 전체에 대해 일컬어지고, 이 매개자가 다시 다른 극의 전체에 대해 일컬어지기 때문이다(다만 술어가 전체에 대해 일컬어지지 않는 것은 아니다). 이 일은 지성으로 알아볼 수 있지만, 말로 하는 토론에서는 간과되기 쉽다.
ἆρα πᾶς κύκλος σχῆμα; ἂν δὲ γράφῃ, δῆλον.
예컨대 "모든 원은 도형인가?"라고 물을 때, 이를 그려보면 분명하다.
τί δέ; τὰ ἔπη κύκλος; φανερὸν ὅτι οὐκ ἔστιν.
하지만 "서사시는 원인가?"라고 한다면, 그렇지 않다는 것은 분명하다.
Οὐ δεῖ δʼ ἔνστασιν εἰς αὐτὸ φέρειν, ἂν ᾖ ἡ πρότασις ἐπακτική.
또한 제시된 명제가 귀납적인 경우라면, 그것에 대해 이의를 제기해서는 안 된다.
ὥσπερ γὰρ οὐδὲ πρότασίς ἐστιν ἣ μὴ ἔστιν ἐπὶ πλειόνων (οὐ γὰρ ἔσται ἐπὶ πάντων, ἐκ τῶν καθόλου δʼ ὁ συλλσγισμός), δῆλον ὅτι οὐδʼ ἔνστασις.
왜냐하면 여러 것에 적용되지 않는 것은 명제가 아니듯이(그것은 전체에 적용되지 않으며, 추론은 보편적인 것으로부터 나오기 때문이다), 이의 역시 그러지 않다는 것은 분명하기 때문이다.
αἱ αὐταὶ γὰρ προτάσεις καὶ ἐνστάσεις·
명제와 이의는 같은 것이기 때문이다.
ἣν γὰρ φέρει ἔνστασιν, αὕτη γένοιτʼ ἂν πρότασις ἢ ἀποδεικτικὴ ἢ διαλεκτική.
왜냐하면 그가 제기하는 이의 자체가 증명적이거나 변증술적인 명제가 될 수 있기 때문이다.
Συμβαίνει δʼ ἐνίους ἀσυλλογίστως λέγειν διὰ τὸ λαμβάνειν ἀμφοτέροις τὰ ἑπόμενα, οἷον καὶ ὁ Καινεὺς ποιεῖ, ὅτι τὸ πῦρ ἐν τῇ πολλαπλασίᾳ ἀναλογίᾳ·
그런데 어떤 이들이 추론이 되지 않는 방식으로 말하는 것은 양자 모두에 따르는 것을 전제로 삼기 때문이다. 예컨대 카이네우스가 행하는 것처럼, 불은 기하급수적 비례 속에 존재한다는 주장과 같다.
καὶ γὰρ τὸ πῦρ ταχὺ γεννᾶται, ὥς φησι, καὶ αὕτη ἡ ἀναλογία.
왜냐하면 불은 빠르게 생성되며, 이 비례 또한 그러하기 때문이라고 그는 말한다.
οὕτω δʼ οὐκ ἔστι συλλογισμός·
그러나 이러한 방식으로는 추론이 성립하지 않는다.
ἀλλʼ εἰ τῇ ταχίστῃ ἀναλογίᾳ ἕπεται ἡ πολλαπλάσιος καὶ τῷ πυρὶ ἡ ταχίστη ἐν τῇ κινήσει ἀναλογία.
오히려 가장 빠른 비례에 기하급수적 비례가 수반하고, 불에 운동에서의 가장 빠른 비례가 수반해야만 추론이 성립한다.
ἐνίοτε μὲν οὖν οὐκ ἐνδέχεται συλλογίσασθαι ἐκ τῶν εἰλημμένων, ὁτὲ δʼ ἐνδέχεται, ἀλλʼ οὐχ ὁρᾶται.
따라서 어떤 때에는 전제된 것들로부터 추론하는 것이 불가능하지만, 어떤 때에는 가능함에도 불구하고 그것이 보이지 않는 것이다.
Εἰ δʼ ἦν ἀδύνατον ἐκ ψεύδους ἀληθὲς δεῖξαι, ῥᾴδιον ἂν ἦν τὸ ἀναλύειν·
만약 거짓으로부터 참을 증명하는 것이 불가능했다면, 분석하는 일은 쉬웠을 것이다.
ἀντέστρεφε γὰρ ἂν ἐξ ἀνάγκης.
왜냐하면 전제와 결론이 필연적으로 역전가능했을 것이기 때문이다.
ἔστω γὰρ τὸ Α ὄντούτου δʼ ὄντος ταδὶ ἔστιν, ἃ οἶδα ὅτι ἔστιν, οἷον τὸ Β. ἐκ τούτων ἄρα δείξω ὅτι ἔστιν ἐκεῖνο.
예컨대 A가 존재하고, 이것이 존재할 때 내가 존재한다고 알고 있는 이것들, 예컨대 B가 존재한다고 하자. 그렇다면 이것들로부터 저 A가 존재함을 증명할 것이다.
ἀντιστρέφει δὲ μᾶλλον τὰ ἐν τοῖς μαθήμασιν, ὅτι οὐδὲν συμβεβηκὸς λαμβάνουσιν (ἀλλὰ καὶ τούτῳ διαφέρουσι τῶν ἐν τοῖς διαλόγοις) ἀλλ᾿ ὁρισμούς.
그리고 수학에서는 역전이 더 잘 일어나는데, 수학에서는 부수적인 것을 취하지 않고(이 점에서 대화에서의 토론과 다르다) 오직 정의만을 취하기 때문이다.
Πὔξεται δʼ οὐ διὰ τῶν μέσων, ἀλλὰ τῷ προσλαμβάνειν, οἷον τὸ Α τοῦ Β, τοῦτο δὲ τοῦ Γ, πάλιν τοῦτο τοῦ Δ, καὶ τοῦτʼ εἰς ἄπειρον·
추론은 매개자들을 통해서가 아니라 덧붙임으로써 확장된다.
καὶ εἰς τὸ πλάγιον, οἷον τὸ Α καὶ κατὰ τοῦ Γ καὶ κατὰ τοῦ Ε, οἷον ἔστιν ἀριθμὸς ποσὸς ἢ καὶ ἄπειρος τοῦτο ἐφʼ ᾧ Α, ὁ περιττὸς ἀριθμὸς ποσὸς ἐφʼ οὗ Β, ἀριθμὸς περιττὸς ἐφʼ οὗ Γ·
예컨대 A가 B에 대해, 이것이 C에 대해, 다시 이것이 D에 대해라는 식으로 무한히 나아가는 식이다. 또한 옆으로 확장되는 경우도 있는데, 예컨대 A가 C에 대해서도 일컬어지고 E에 대해서도 일컬어지는 식이다. 예컨대 유한하거나 무한한 수량으로서의 수를 A, 홀수로서의 수량으로서의 수를 B, 홀수를 C라 하면, A는 C에 대해 일컬어진다.
ἔστιν ἄρα τὸ Α κατὰ τοῦ Γ. καὶ ἔστιν ὁ ἄρτιος ποσὸς ἀριθμὸς ἐφʼ οὗ Δ, ὁ ἄρτιος ἀριθμὸς ἐφʼ οὗ Ε· ἔστιν ἄρα τὸ Α κατὰ τοῦ Ε.
또한 짝수로서의 수량으로서의 수를 D, 짝수를 E라 하면, A는 E에 대해 일컬어진다.