§1.2.2#1Ἔστι μὲν οὖν οὕτως ἔχειν ὥστʼ ἀληθεῖς εἶναι τὰς προτάσεις διʼ ὧν ὁ συλλογισμός, ἔστι δʼ ὥστε ψευδεῖς, ἔστι δ᾿ ὥστε τὴν μὲν ἀληθῇ τὴν δὲ ψευδῆ.
그렇다면 삼단논법이 성립하는 전제들은 참일 수도 있고, 거짓일 수도 있으며, 하나는 참이고 다른 하나는 거짓일 수도 있다.
τὸ δὲ συμπέρασμα ἢ ἀληθὲς ἢ ψεῦδος ἐξ ἀνάγκης.
그러나 결론은 필연적으로 참이거나 거짓이다.
ἐξ ἀληθῶν μὲν οὖν οὐκ ἔστι ψεῦδος συλλογίσασθαι, ἐκ ψευδῶν δʼ ἔστιν ἀληθές, πλὴν οὐ διότι ἀλλʼ ὅτι·
참인 전제들로부터는 거짓인 결론을 추론할 수 없지만, 거짓인 전제들로부터는 참인 결론을 추론할 수 있다.
τοῦ γὰρ διότι οὐκ ἔστιν.
다만 '왜 그런지'가 아니라 '그렇다'는 점에 대해서만 그러하다.
ἐκ ψευδῶν συλλογισμός·
왜냐하면 거짓인 전제들로부터는 '왜 그런지'에 대한 삼단논법이 성립하지 않기 때문이다.
διʼ ἣν δʼ αἰτίαν, ἐν τοῖς ἑπομένοις λεχθήσεται.
그 원인에 대해서는 다음에서 논할 것이다.
Πρῶτον μὲν οὖν ὅτι ἐξ ἀληθῶν οὐχ οἷόν τε ψεῦδος συλλογίσασθαι, ἐντεῦθεν δῆλον.
먼저, 참인 전제들로부터는 거짓인 결론을 추론하는 것이 불가능하다는 점은 다음을 통해 분명하다.
εἰ γὰρ τοῦ Α ὄντος ἀνάγκη τὸ Β εἶναι, τοῦ Β μὴ ὄντος ἀνάγκη τὸ μὴ εἶναι.
만약 A가 존재할 때 필연적으로 B가 존재해야 한다면, B가 존재하지 않을 때는 필연적으로 A도 존재하지 않아야 하기 때문이다.
εἰ οὖν ἀληθές ἐστι τὸ Α, ἀνάγκη τὸ Β ἀληθὲς εἶναι, ἢ συμβήσεται τὸ αὐτὸ ἅμα εἶναί τε καὶ οὐκ εἶναι· τοῦτο δʼ ἀδύνατον.
따라서 만약 A가 참이라면, B도 필연적으로 참이어야 하며, 그렇지 않으면 동일한 것이 동시에 존재하면서 존재하지 않게 될 터인데, 이는 불가능하다.
μὴ ὅτι δὲ κεῖται τὸ εἷς ὅρος, ὑποληφθήτω ἐνδέχεσθαι ἑνός τινος ὄντος ἐξ ἀνάγκης τι συμβαίνειν·
단 하나의 항이 설정되어 있다고 해서, 어떤 하나의 단일한 것이 존재함으로써 필연적으로 어떤 결과가 일어날 수 있다고 생각해서는 안 된다.
οὐ γὰρ οἷόν τε·
그것은 불가능하기 때문이다.
τὸ μὲν γὰρ συμβαῖνον ἐξ ἀνάγκης τὸ συμπέρασμά ἐστι, διʼ ὧν δὲ τοῦτο γίνεται ἐλαχίστων, τρεῖς ὅροι, δύο δὲ διαστήματα καὶ προτάσεις.
왜냐하면 필연적으로 일어나는 것은 결론인데, 이것이 성립하기 위해 필요한 가장 적은 것은 세 개의 항과, 두 개의 간격 즉 전제들이기 때문이다.
εἰ οὖν ἀληθές, ᾧ τὸ Β ὑπάρχει, τὸ παντί, ᾧ δὲ τὸ Γ, τὸ Β, ᾧ τὸ Γ, ἀνάγκη τὸ Α ὑπάρχειν καὶ οὐχ οἷόν τε τοῦτο ψεῦδος εἶναι·
그러므로 만약 B가 속하는 모든 것에 A가 속하고, C가 속하는 것에 B가 속하는 것이 참이라면, C가 속하는 것에 A가 속하는 것이 필연적이며, 이것이 거짓일 수는 없다.
ἅμα γὰρ ὑπάρξει ταὐτὸ καὶ οὐχ ὑπάρξει.
왜냐하면 동시에 동일한 것이 속하면서 속하지 않게 될 것이기 때문이다.
τὸ οὖν Α ὥσπερ ἓν κεῖται, δύο προτάσεις συλληφθεῖσαι.
따라서 합쳐진 두 전제는 마치 하나의 것처럼 설정되는 것이다.
ὁμοίως δὲ καὶ ἐπὶ τῶνστερητικῶν ἔχει·
부정 삼단논법의 경우에도 마찬가지이다.
οὐ γὰρ ἔστιν ἐξ ἀληθῶν δεῖξαι ψεῦδος.
참인 전제들로부터 거짓을 증명할 수는 없기 때문이다.
Ἐκ ψευδῶν δʼ ἀληθὲς ἔστι συλλογίσασθαι καὶ ἀμφοτέρων τῶν προτάσεων ψευδῶν·
반면, 거짓인 전제들로부터도 참인 결론을 추론할 수 있는데, 두 전제가 모두 거짓인 경우와 하나만 거짓인 경우 모두 가능하다.
οὐσῶν καὶ τῆς μιᾶς, ταύτης δʼ οὐχ ὁποτέρας ἔτυχεν ἀλλὰ τῆς δευτέρας, ἐάνπερ ὅλην λαμβάνῃ ψευδῆ·
다만 하나만 거짓인 경우에는 아무거나 거짓인 경우가 아니라 첫 번째 전제가 거짓이되 그것이 '전적으로 거짓'인 경우이다.
μὴ ὅλης δὲ λαμβανομένης ἔστιν ὁποτερασοῦν.
만약 전적으로 거짓인 것이 아니라면 어느 쪽이든 가능하다.
ἔστω γὰρ τὸ Α ὅλῳ τῷ Γ ὑπάρχον, τῷ δὲ Β μηδενί, μηδὲ τὸ Β τῷ Γ. ἐνδέχεται δὲ τοῦτο, οἷον λίθῳ οὐδενὶ ζῷον, οὐδὲ λίθος οὐδενὶ ἀνθρώπῳ.
예컨대 A가 C 전체에 속하고 B에는 전혀 속하지 않으며, B도 C에 전혀 속하지 않는다고 하자. 이것은 가능한데, 예컨대 어떤 돌에도 동물은 속하지 않고, 돌도 어떤 사람에게도 속하지 않는 것과 같다.
ἐὰν οὖν ληφθῇ τὸ Α παντὶ τῷ Β καὶ τὸ Β παντὶ τῷ Γ, τὸ Α παντὶ τῷ Γ ὑπάρξει, ὥστʼ ἐξ ἀμφοῖν ψευδῶν ἀληθὲς τὸ συμπέρασμα·
그렇다면 만약 A가 모든 B에 속하고 B가 모든 C에 속한다고 가정한다면, A는 모든 C에 속할 터이므로, 두 전제가 모두 거짓임에도 불구하고 결론은 참이 된다.
πᾶς γὰρ ἄνθρωπος ζῷον.
왜냐하면 모든 사람은 동물이기 때문이다.
ὡσαύτως δὲ καὶ τὸ στερητικόν.
부정 삼단논법의 경우에도 마찬가지이다.
ἔστι γὰρ τῷ Γ μήτε τὸ α ὑπάρχειν μηδενὶ μήτε τὸ Β, τὸ μέντοι Α τῷ Β παντί, οἷον ἐὰν τῶν αὐτῶν ὅρων ληφθέντων μέσον τεθῇ ὁ ἄνθρωπος·
왜냐하면 C에는 A도 B도 전혀 속하지 않지만, A는 모든 B에 속하는 것이 가능하기 때문이다. 예컨대 동일한 항들이 취해진 상태에서 매개개념으로 사람이 놓이는 경우가 그러하다.
λίθῳ γὰρ οὔτε ζῷον οὔτε ἄνθρωπος οὐδενὶ ὑπάρχει, ἀνθρώπῳ δὲ παντὶ ζῷον.
왜냐하면 돌에는 동물도 사람도 전혀 속하지 않지만, 모든 사람에게 동물은 속하기 때문이다.
ὥστʼ ἐὰν ᾧ μὲν ὑπάρχει, λάβῃ μηδενὶ ὑπάρχειν, ᾧ δὲ μὴ ὑπάρχει, παντὶ ὑπάρχειν, ἐκ ψευδῶν ἀμφοῖν ἀληθὲς ἔσται τὸ συμπέρασμα.
따라서 만약 속하는 것을 전혀 속하지 않는다고 가정하고, 속하지 않는 것을 모든 것에 속한다고 가정한다면, 두 전제가 모두 거짓인 것으로부터 참인 결론이 얻어질 것이다.
ὁμοίως δὲ δειχθήσεται καὶ ἐὰν ἐπί τι ψευδὴς ἐκατέρα ληφθῇ.
각각이 부분적으로 거짓인 경우에도 마찬가지로 증명될 것이다.
Ἐὰν δʼ ἡ ἑτέρα τεθῇ ψευδής, τῆς μὲν πρώτης ὅλης ψευδοῦς οὔσης, οἷον τῆς Β, οὐκ ἔσται τὸ συμπέρασμα ἀληθές, τῆς δὲ Β Γ ἔσται.
그러나 한 전제만 거짓으로 설정되는 경우, 첫 번째 전제(예컨대 전제 B)가 전적으로 거짓일 때는 결론이 참이 되지 않겠지만, 전제 BC가 거짓일 때는 참이 될 것이다.
λέγω δʼ ὅλην ψευδῆ τὴν ἐναντίαν, οἷον εἰ μηδενὶ ὑπάρχον παντὶ εἴληπται ἢ εἰ παντὶ μηδενὶ ὑπάρχειν.
내가 '전적으로 거짓'이라고 말하는 것은 반대되는 명제를 뜻하는데, 예컨대 전혀 속하지 않는 것을 모든 것에 속한다고 취하거나, 모든 것에 속하는 것을 전혀 속하지 않는다고 취하는 것이다.
ἔστω γὰρ τὸ τῷ Β μηδενὶ ὑπάρχον, τὸ δὲ Β τῷ Γ παντί.
예컨대 A가 B에 전혀 속하지 않고, B가 모든 C에 속한다고 하자.
ἂν δὴ τὴν μὲν Β Γ πρότασιν λάβω ἀληθῆ, τὴν δὲ τὸ Α Β ψευδῆ ὅλην, καὶ παντὶ ὑπάρχειν τῷ Β τὸ Α, ἀδύνατον τὸ συμπέρασμα ἀληθὲς εἶναι·
만약 전제 BC는 참으로 취하고, 전제 AB는 전적으로 거짓, 즉 A가 모든 B에 속한다고 취한다면, 결론이 참이 되는 것은 불가능하다.
οὐδενὶ γὰρ ὑπῆρχε τῶν Γ, εἴπερ ᾧ τὸ Β, μηδενὶ τὸ Α, τὸ δὲ Β παντὶ τῷ Γ. ὁμοίως δʼ οὐδʼ εἰ τὸ τῷ Β παντὶ ὑπάρχει καὶ τὸ Β τῷ Γ, ἐλήφθη δʼ ἡ μὲν τὸ Β Γ ἀληθὴς πρότασις, ἡ δὲ τὸ Α Β ψευδὴς ὅλη, καὶ μηδενὶ ᾧ τὸ Β, τὸ Α—τὸ συμπέρασμα ψεῦδος ἔσται·
왜냐하면 A는 어떤 C에도 속하지 않았기 때문인데, B가 속하는 어떤 것에도 A가 속하지 않고, B는 모든 C에 속하기 때문이다. 마찬가지로, 만약 A가 모든 B에 속하고 B가 모든 C에 속할 때, 전제 BC는 참으로 취하고 전제 AB는 전적으로 거짓, 즉 B가 속하는 어떤 것에도 A가 속하지 않는다고 취하더라도 결론은 거짓이 될 것이다. 왜냐하면 A는 모든 C에 속할 터인데, B가 속하는 모든 것에 A가 속하고, B는 모든 C에 속하기 때문이다.
παντὶ γὰρ ὑπάρξει τῷ Γ τὸ Α, εἴπερ ᾧ τὸ Β, παντὶ τὸ Α, τὸ δὲ Β παντὶ τῷ Γ. φανερὸν οὖν ὅτι τῆς πρώτης ὅλης λαμβανομένης ψευδοῦς, ἐάν τε καταφατικῆς ἐάν τε στερητικῆς, τῆς δʼ ἑτέρας ἀληθοῦς, οὐ γίνεται ἀληθὲς τὸ συμπέρασμα.
그러므로 긍정 삼단논법이든 부정 삼단논법이든, 첫 번째 전제가 전적으로 거짓으로 취해지고 다른 전제는 참일 때, 결론은 참이 되지 않음이 분명하다.