§pr## ΕΥΚΛΕΙΔΟΥ
Κατατομὴ κανόνος. Εἰ ἡσυχία εἴη καὶ ἀκινησία, σιωπὴ ἂν εἴη· σιωπῆς δὲ οὔσης καὶ μηδενὸς κινουμένου οὐδὲν ἂν ἀκούοιτο·
## 欧几里得弦律分割如果存在静止和不动，就会有静默；如果有静默且没有任何东西运动，就什么也听不到。
εἰ ἄρα μέλλει τι ἀκουσθήσεσθαι, πληγὴν καὶ κίνησιν πρότερον δεῖ γενέσθαι.
因此，如果有什么东西要被听到，首先必须有冲击和运动。
ὥστε ἐπειδὴ πάντες οἱ φθόγγοι γίνονται πληγῆς τινος γινομένης, πληγὴν δὲ ἀμήχανον γενέσθαι μὴ οὐχὶ κινήσεως πρότερον γενομένης, — τῶν δὲ κινήσεων αἱ μὲν πυκνότεραί εἰσιν, αἱ δὲ ἀραιότεραι, καὶ αἱ μὲν πυκνότεραι ὀξυτέρους ποιοῦσι τοὺς φθόγγους, αἱ δὲ ἀραιότεραι βαρυτέρους, — ἀναγκαῖον τοὺς μὲν ὀξυτέρους εἶναι, ἐπείπερ ἐκ πυκνοτέρων καὶ πλειόνων σύγκεινται κινήσεων, τοὺς δὲ βαρυτέρους ἐπείπερ ἐξ ἀραιοτέρων καὶ ἐλασσόνων σύγκεινται κινήσεων.
所以，既然所有的声音都是在某种冲击发生时产生的，而没有事先的运动，冲击是不可能发生的——而在运动中，有些更密，有些更疏，更密的运动使声音更尖锐，更疏的运动使声音更低沉——因此，高音既然是由更密且更多的运动组成的，其如此是必然的，而低音既然是由更疏且更少的运动组成的，其如此也是必然的。
ὥστε τοὺς μὲν ὀξυτέρους τοῦ δέοντος ἀνιεμένους ἀφαιρέσει κινήσεως τυγχάνειν τοῦ δέοντος, τοὺς δὲ βαρυτέρους ἐπιτεινομένους προσθέσει κινήσεως τυγχάνειν τοῦ δέοντος.
所以，高过所需要的声音，通过减去运动而放松，就会达到所需要的程度；而低过所需要的声音，通过增加运动而紧张，就会达到所需要的程度。
διόπερ ἐκ μορίων τοὺς φθόγγους συγκεῖσθαι φατέον, ἐπειδὴ προσθέσει καὶ ἀφαιρέσει τυγχάνουσι τοῦ δέοντος.
因此，必须说声音是由部分组成的，因为它们通过增加和减少而达到所需要的程度。
πάντα δὲ τὰ ἐκ μορίων συγκείμενα ἀριθμοῦ λόγῳ λέγεται πρὸς ἄλληλα, ὥστε καὶ τοὺς φθόγγους ἀναγκαῖον ἐν ἀριθμοῦ λόγῳ λέγεσθαι πρὸς ἀλλήλους·
而所有由部分组成的东西，在彼此的关系中都是以数之比来表述的，因此，声音也必然在彼此的关系中以数之比来表述。
τῶν δὲ ἀριθμῶν οἱ μὲν (p. 24 Meib) ἐν πολλαπλασίῳ λόγῳ λέγονται, οἱ δὲ ἐν ἐπιμορίῳ, οἱ δὲ ἐν ἐπιμερεῖ, ὥστε καὶ τοὺς φθόγγους ἀναγκαῖον ἐν τοῖς τοιούτοις λόγοις λέγεσθαι πρὸς ἀλλήλους.
在数之中，有些是以倍比表述的，有些是以超一分比表述的，有些是以超多部分比表述的，因此，声音也必然在这样的比例中彼此表述。
τούτων δὲ οἱ μὲν πολλαπλάσιοι καὶ ἐπιμόριοι ἑνὶ ὀνόματι λέγονται πρὸς ἀλλήλους.
而在这些比例中，倍比和超一分比可以用一个名称来彼此表述。
Γινώσκομεν δὲ καὶ τῶν φθόγγων τοὺς μὲν συμφώνους ὄντας, τοὺς δὲ διαφώνους, καὶ τοὺς μὲν συμφώνους μίαν κρᾶσιν τὴν ἐξ ἀμφοῖν ποιοῦντας, τοὺς δὲ διαφώνους οὔ.
我们也知道，在声音中，有些是协和的，有些是失谐的，协和的声音由两者产生出单一的混合，而失谐的声音则不然。
τούτων οὕτως ἐχόντων εἰκὸς τοὺς συμφώνους φθόγγους, ἐπειδὴ μίαν τὴν ἐξ ἀμφοῖν ποιοῦνται κρᾶσιν τῆς φωνῆς, εἶναι τῶν ἐν ἑνὶ ὀνόματι πρὸς ἀλλήλους λεγομένων ἀριθμῶν, ἤτοι πολλαπλασίους ὄντας ἢ ἐπιμορίους.
既然如此，协和的声音因为由两者产生出单一的声音混合，很自然地就属于那些可以用一个名称彼此表述的数，即要么是倍比，要么是超一分比。
§1Ἐὰν διάστημα πολλαπλάσιον δὶς συντεθὲν ποιῇ τι διάστημα, καὶ αὐτὸ πολλαπλάσιον ἔσται.
如果一个倍比音程叠加两次产生某个音程，它本身也将是倍比的。
Ἔστω διάστημα τὸ βγ, καὶ ἔστω πολλαπλάσιος ὁ β τοῦ γ, καὶ γεγενήσθω ὡς ὁ γ πρὸς τὸν β ὁ β πρὸς τὸν δ.
设音程为βγ，且设β是γ的倍数，并设如γ 对β，β对δ。
φημὶ δὴ τὸν δ τοῦ γ πολλαπλάσιον εἶναι.
我声明，δ是γ的倍数。
ἐπεὶ γὰρ ὁ β τοῦ πολλαπλάσιός ἐστι, μετρεῖ ἄρα ὁ τὸν β.
因为既然β是［γ］的倍数，［γ］就整除β。
ἦν δὲ καὶ ὡς ὁ (p. 25) πρὸς (η) (δ) (β) τὸν β ὁ β πρὸς τὸν δ, ὥστε μετρεῖ ὁ γ καὶ τὸν δ.
但由于γ对β如β对δ，所以γ 也整除δ。
πολλαπλάσιος ἄρα ἐστὶν ὁ δ τοῦ γ.
因此，δ是γ的倍数。
§2Ἐὰν διάστημα δὶς συντεθὲν τὸ ὅλον ποιῇ πολλαπλάσιον, καὶ αὐτὸ ἔσται πολλαπλάσιον.
如果一个音程叠加两次，其整体产生倍比，它本身也将是倍比的。
γ β δ σ ιβ κδ
Ἔστω διάστημα τὸ βγ καὶ γεγενήσθω ὡς ὁ πρὸς τὸν β οὕτως ὁ β πρὸς τὸν δ, καὶ ἔστω ὁ δ τοῦ γ πολλαπλάσιος.
γ β δ σ ιβ κδ 设音程为βγ，并设如［γ］对β，β对δ，且设δ是γ的倍数。
φημὶ καὶ τὸν β τοῦ εἶναι πολλαπλάσιον.
我声明，β也是［γ］的倍数。
ἐπεὶ γὰρ ὁ δ τοῦ πολλαπλάσιός ἐστι, μετρεῖ ἄρα ὁ τὸν δ.
因为既然δ是［γ］的倍数，［γ］就整除δ。
ἐμάθομεν δὲ ὅτι, ἐὰν ὦσιν ἀριθμοὶ ἀνάλογον ὁποσοιοῦν, ὁ δὲ πρῶτος τὸν ἔσχατον μετρῇ, καὶ τοὺς μεταξὺ μετρήσει.
我们已经学过，如果有任意数量的成比例的数，且第一个数整除最后一个数，它也整除它们之间的数。
μετρεῖ ἄρα ὁ γ τὸν β, πολλαπλάσιος ἄρα ὁ β τοῦ γ.
因此γ整除β，所以β是γ的倍数。
§3Ἐπιμορίου διαστήματος οὐδεὶς μέσος, οὔτε εἷς οὔτε πλείους ἀνάλογον ἐμπεσεῖται ἀριθμός. (p. 26. )
Ἔστω γὰρ ἐπιμόριον διάστημα τὸ βγ·
在超一分音程之间，没有任何比例中项数（无论是一个还是多个）能插入其间。
ἐλάχιστοι δὲ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ τοῖς βγ ἔστωσαν οἱ δζ θ.
因为设超一分音程为βγ，且设在与βγ相同比例中最小的数为δζ和θ。
οὗτοι οὖν ὑπὸ μονάδος μόνης μετροῦνται κοινοῦ μέτρου.
因此，这些数仅由作为公共度量单位的“一”来整除。
ἄφελε ἶσον τῷ θ τὸν ηζ.
减去与θ相等的ηζ。
καὶ ἐπεὶ ἐπιμόριός ἐστιν ὁ δζ τοῦ θ, ἡ ὑπεροχὴ ὁ δη κοινὸν μέτρον τοῦ τε δζ καὶ τοῦ θ ἐστι·
由于δζ是θ的超一分，其差额δη便是δζ 与θ的公共度量。
μονὰς ἄρα ὁ δη·
因此δη是“一”。
οὐκ ἄρα ἐμπεσεῖται εἰς τοὺς δζ θ μέσος οὐδείς.
所以，在δζ与θ之间不能插入任何中项。
ἔσται γὰρ ὁ ἐμπίπτων τοῦ δζ ἐλάττων, τοῦ δὲ θ μείζων, ὥστε τὴν μονάδα διαιρεῖσθαι, ὅπερ ἀδύνατον.
因为插入的数将小于δζ而大于θ，从而导致“一”被分割，而这是不可能的。
οὐκ ἄρα ἐμπεσεῖται εἰς τοὺς δζ θ τις.
因此，在δζ和θ之间不能插入任何数。
ὅσοι δὲ εἰς τοὺς ἐλαχίστους μέσοι ἀνάλογον ἐμπίπτουσι, τοσοῦτοι καὶ εἰς τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντας ἀνάλογον μπεσοῦνται.
而在最小数之间能插入多少比例中项，在具有相同比例的数之间就能插入多少。
οὐδεὶς δὲ εἰς τοὺς δζ θ ἐμπεσεῖται, οὐδὲ εἰς τοὺς β ἐμπεσεῖται.
既然在δζ和θ之间不能插入任何数，在β［与γ］之间也不能插入任何数。