§2#1## 2. Ad prop. XII. Ἄλλως τὸ ιβ΄. Αὕτη δέ ἐστιν ἡ σαφεστέρα ἔκθεσις.
## 2. Ad prop. XII. Ἄλλως τὸ ιβ΄. 而这是更清晰的阐述。
ἔστω ἐν κόσμῳ ὁρίζων ὁ ΑΒΓ∠, καὶ θερινὸς μὲν τροπικὸς ἔστω ὁ Α∠, χειμερινὸς δὲ τροπικὸς ὁ ΒΓ, ζῳδιακοῦ δὲ ἡμικύκλιον τὸ μετὰ τὸν Καρκίνον ἔστω ὑπὲρ γῆν τὸ ΑΓ καὶ ἔστω ἀνατολικὰ μὲν μέρη τὰ ∠, Γ, δυτικὰ δὲ τὰ Α, Β, ἰσημερινὸς δὲ κύκλος ἔστω ὁ ΕΖ, καὶ διῃρήσθω τὸ ΑΓ ἡμικύκλιον εἰς τὰ ἐν αὐτῷ ζῴδια κατὰ τὰ Η, Θ, Λ, Μ σημεῖα, καὶ γεγράφθωσαν παράλληλοι κύκλοι οἱ ΝΗΞ, ΟΘΠ, ΡΛΣ, ΤΜΥ, καθʼ ὧν φέρεται τὰ Η, Θ, Λ, Μ σημεῖα·
设宇宙中的地平线为 ΑΒΓ∠，夏至圈为 Α∠，冬至圈为 ΒΓ，并设黄道十二宫在巨蟹座之后且在地面之上的半圆为 ΑΓ，且设东部为 ∠、Γ，西部为 Α、Β，赤道圆为 ΕΖ，且设半圆 ΑΓ 在点 Η、Θ、Λ、Ｍ处按照其上的黄道星座进行划分，并设通过点 Η、Θ、Λ、Ｍ的平行圆（即点 Η、Θ、Λ、Ｍ沿其运行的圆） ΝΗΞ、ΟΘΠ、ΡΛΣ、ＴＭΥ 已被画出。
λέγω, ὅτι ἐν πλείστῳ μὲν χρόνῳ δύνουσιν αἰ ΑΗ, ΜΓ περιφέρειαι, ἐν ἐλάσσονι δὲ αἰ ΗΘ, ΛΜ, ἐν ἐλαχίστῳ δὲ αἰ ΘΚ, ΛΚ, ἐν ἴσῳ δὲ χρόνῳ αἱ ἴσον ἀπέχουσαι τοῦ ἰσημερινοῦ.
我宣称：弧 ΑΗ、ＭΓ 在最长的时间内落下，而 [弧] ΗΘ、ΛＭ在较短的时间内 [落下]，[弧] ΘΚ、ΛΚ 在最短的时间内 [落下]，且与赤道等距的 [弧] 在相等的时间内 [落下]。
ἔστω μέγιστος τῶν ἀεὶ φανερῶν ὁ τυ Φ, καὶ γεγράφθωσαν διὰ τῶν Η, Θ μέγιστοι κύκλοι οἱ υ ΗΩΧ, ΦΘΨ ἐφαπτόμενοι τοῦ τυ Φ κύκλου, ὥστε ἀσύμπτωτα εἶναι τὰ ἀπὸ τῶν υ, Φ ἡμικύκλια ὡς ἐπὶ τὰ ΗΧ, ΘΨ μέρη τῷ ἀπὸ τοῦ τ ἡμικυκλίῳ ὡς ἐπὶ τὰ τ, Α μέρη·
设常显圈（恒显圈中最大者）为 τυ Φ，并设通过 Η、Θ 的大圆 υ ΗΩΧ、ΦΘΨ 已被画出且切于圆 τυ Φ，从而使得从 υ、Φ 向着 ΗΧ、ΘΨ 方向的半圆，与从 τ 向着 τ、Α 方向的半圆不相交（平行）。
ὁμοία ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν ΗΝ περιφέρεια ἑκατέρᾳ τῶν ΩΟ, ΧΕ, ἡ δὲ ΘΩ τῇ ΨΧ·
因此，弧 ΗΝ 与 ΩΟ、ΧＥ中的每一个都相似，而 ΘΩ 与 ΨΧ 相似。
ἐν ἴσῳ ἄρα χρόνῳ τὸ Η τὴν ΗΝ περιφέρειαν διαπορεύεται καὶ τὸ Ω τὴν ΩΟ. ἀλλʼ ὁ χρόνος, ἐν ᾧ τὸ τὴν ΗΝ περιφέρειαν διαπορεύεται, ὁ χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ δύνει ἡ ΗΑ περιφέρεια· καὶ ὁ χρόνος ἄρα, ἐν ᾧ τὸ Ω τὴν ΩΟ διαπορεύεται, ὁ αὐτός ἐστι τῷ χρόνῳ, ἐν ᾧ δύνει ἡ ΗΑ περιφέρεια.
因此，在相等的时间内，[点] Η 运行过弧 ΗΝ，且 [点] Ω [运行过弧] ΩΟ。 而 [点] 运行过弧 ΗΝ 的时间，即是弧 ΗΑ 落下的时间；因此，Ω 运行过 ΩΟ 的时间，与弧 ΗΑ 落下的时间相同。
πάλιν ἐπεὶ ὁ χρόνος, ἐν ᾧ τὸ Θ τὴν ΘΟ διαπορεύεται, ὁ χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ δύνει ἡ ΘΑ περιφέρεια, ὧν ἀφαιρεῖται ὁ χρόνος, ἐν ᾧ τὸ Ω τὴν ΩΟ διαπορεύεται, ὁ αὐτὸς ὢν τῷ χρόνῳ, ἐν ᾧ δύνει ἡ ΗΑ περιφέρεια, λοιπὸς ἄρα ὁ χρόνος, ἐν τὸ Θ τὴν ΘΩ διαπορεύεται, ὁ αὐτός ἐστι τῷ χρόνῳ, ἐν ᾧ δύνει ἡ ΗΘ περιφέρεια·
再次，因为 Θ 运行过 ΘΟ 的时间，是弧 ΘΑ 落下的时间，从这些时间中减去 Ω 运行过 ΩΟ 的时间（该时间与弧 ΗΑ 落下的时间相同），因此剩余的时间，即 Θ 运行过 ΘΩ 的时间，与弧 ΗΘ 落下的时间相同。
ὁμοία δέ ἐστιν ἡ μὲν ΟΩ τῇ ΕΧ, ἡ δὲ ΩΘ τῇ ΧΨ· καὶ ὁ χρόνος ἄρα, ἐν ᾧ τὸ Χ τὴν ΧΕ διαπορεύεται, ὁ χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ δύνει ἡ ΗΑ περιφέρεια· ὁ δὲ χρόνος, ἐν ᾧ τὸ Ψ τὴν ΨΧ διαπορεύεται, ὁ χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ δύνει ἡ ΘΗ περιφέρεια.
且弧 ΟΩ 与 ΕΧ 相似，而 ΩΘ 与 ΧΨ 相似；因此， Χ 运行过 ΧΕ 的时间，亦是弧 ΗΑ 落下的时间；而 Ψ 运行过 ΨΧ 的时间，是弧 ΘΗ 落下的时间。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁ χρόνος, ἐν ᾧ τὸ Κ τὴν ΚΨ διαπορεύεται, ὁ χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ δύνει ἡ ΚΘ περιφέρεια.
因此，由于同样的原因，Κ 运行过 ΚΨ 的时间，亦是弧 ΚΘ 落下的时间。