§9.prop.8ἐὰν ἀπὸ μονάδος ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον ὦσιν, ὁ μὲν τρίτος ἀπὸ τῆς μονάδος τετράγωνος ἔσται καὶ οἱ ἕνα διαλείποντες, ὁ δὲ τέταρτος κύβος καὶ οἱ δύο διαλείποντες πάντες, ὁ δὲ ἕβδομος κύβος ἅμα καὶ τετράγωνος καὶ οἱ πέντε διαλείποντες.
如果从单位开始任意多个数连续成比例，那么从单位起第三个数将是平方数，且每隔一个的数也是；第四个数将是立方数，且所有每隔两个的数也是；第七个数将同时是立方数和平方数，且所有每隔五个的数也是。
ἔστωσαν ἀπὸ μονάδος ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον οἱ Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ· λέγω, ὅτι ὁ μὲν τρίτος ἀπὸ τῆς μονάδος ὁ Β τετράγωνός ἐστι καὶ οἱ ἕνα διαλείποντες πάντες, ὁ δὲ τέταρτος ὁ Γ κύβος καὶ οἱ δύο διαλείποντες πάντες, ὁ δὲ ἕβδομος ὁ Ζ κύβος ἅμα καὶ τετράγωνος καὶ οἱ πέντε διαλείποντες πάντες.
设从单位开始连续成比例的任意多个数为 Α、Β、Γ、Δ、Ε、Ζ；我声称，从单位起第三个数 Β 是平方数，且所有每隔一个的数也是，第四个数 Γ 是立方数，且所有每隔两个的数也是，第七个数 Ζ 将同时是立方数和平方数，且所有每隔五个的数也是。
ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ μονὰς πρὸς τὸν Α, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Β, ἰσάκις ἄρα ἡ μονὰς τὸν Α ἀριθμὸν μετρεῖ καὶ ὁ Α τὸν Β. ἡ δὲ μονὰς τὸν Α ἀριθμὸν μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν αὐτῷ μονάδας·
因为由于单位对 Α 就像 Α 对 Β，因此单位度量数 Α 的次数与 Α 度量 Β 的次数相同。
καὶ ὁ Α ἄρα τὸν Β μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Α μονάδας.
但是，单位按照 Α 中的单位数度量数 Α；因此 Α 也按照 Α 中的单位数度量 Β。
ὁ Α ἄρα ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν· τετράγωνος ἄρα ἐστὶν ὁ Β. καὶ ἐπεὶ οἱ Β, Γ, Δ ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν, ὁ δὲ Β τετράγωνός ἐστιν, καὶ ὁ Δ ἄρα τετράγωνός ἐστιν.
因此 Α 乘以自身得到了 Β；所以 Β 是平方数。 又由于 Β、Γ、Δ 连续成比例，且 Β 是平方数，所以 Δ 也是平方数。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁ Ζ τετράγωνός ἐστιν.
因为同样的原因，Ζ 也是平方数。
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ οἱ ἕνα διαλείποντες πάντες τετράγωνοί εἰσιν.
同样地，我们将证明，所有每隔一个的数也都是平方数。
λέγω δή, ὅτι καὶ ὁ τέταρτος ἀπὸ τῆς μονάδος ὁ Γ κύβος ἐστὶ καὶ οἱ δύο διαλείποντες πάντες.
因此我声称，从单位起第四个数 Γ 也是立方数，且所有每隔两个的数也是。
ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ μονὰς πρὸς τὸν Α, οὕτως ὁ Β πρὸς τὸν Γ, ἰσάκις ἄρα ἡ μονὰς τὸν Α ἀριθμὸν μετρεῖ καὶ ὁ Β τὸν Γ. ἡ δὲ μονὰς τὸν Α ἀριθμὸν μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Α μονάδας·
因为由于单位对 Α 就像 Β 对 Γ，因此单位度量数 Α 的次数与 Β 度量 Γ 的次数相同。
καὶ ὁ Β ἄρα τὸν Γ μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Α μονάδας·
但是，单位按照 Α 中的单位数度量数 Α；因此 Β 也按照 Α 中的单位数度量 Γ。
ὁ Α ἄρα τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν.
因此 Α 乘以 Β 得到了 Γ。
ἐπεὶ οὖν ὁ Α ἑαυτὸν μὲν πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν, τὸν δὲ Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν, κύβος ἄρα ἐστὶν ὁ Γ. καὶ ἐπεὶ οἱ Γ, Δ, Ε, Ζ ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν, ὁ δὲ Γ κύβος ἐστίν, καὶ ὁ Ζ ἄρα κύβος ἐστίν.
因此，由于 Α 乘以自身得到了 Β，而乘以 Β 得到了 Γ，所以 Γ 是立方数。 又由于 Γ、Δ、Ε、Ζ 连续成比例，且 Γ 是立方数，所以 Ζ 也是立方数。
ἐδείχθη δὲ καὶ τετράγωνος· ὁ ἄρα ἕβδομος ἀπὸ τῆς μονάδος κύβος τέ ἐστι καὶ τετράγωνος.
而它也被证明是平方数；因此从单位起第七个数既是立方数又是平方数。
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ οἱ πέντε διαλείποντες πάντες κύβοι τέ εἰσι καὶ τετράγωνοι· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
同样地，我们将证明，所有每隔五个的数也都是立方数和平方数；这即是所要求证的。
§9.prop.9ἐὰν ἀπὸ μονάδος ὁποσοιοῦν ἑξῆς κατὰ τὸ συνεχὲς ἀριθμοὶ ἀνάλογον ὦσιν, ὁ δὲ μετὰ τὴν μονάδα τετράγωνος ᾖ, καὶ οἱ λοιποὶ πάντες τετράγωνοι ἔσονται.
如果从单位开始任意多个数连续成比例，且单位后面的数是平方数，那么其余所有的数也将是平方数。
καὶ ἐὰν ὁ μετὰ τὴν μονάδα κύβος ᾖ, καὶ οἱ λοιποὶ πάντες κύβοι ἔσονται.
如果单位后面的数是立方数，那么其余所有的数也将是立方数。
ἔστωσαν ἀπὸ μονάδος ἑξῆς ἀνάλογον ὁσοιδηποτοῦν ἀριθμοὶ οἱ Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ, ὁ δὲ μετὰ τὴν μονάδα ὁ Α τετράγωνος ἔστω· λέγω, ὅτι καὶ οἱ λοιποὶ πάντες τετράγωνοι ἔσονται.
设从单位开始连续成比例的任意多个数为 Α、Β、Γ、Δ、Ε、Ζ，且单位后面的数 Α 是平方数；我声称，其余所有的数也将是平方数。
ὅτι μὲν οὖν ὁ τρίτος ἀπὸ τῆς μονάδος ὁ Β τετράγωνός ἐστι καὶ οἱ ἕνα διαλείποντες πάντες, δέδεικται· λέγω, ὅτι καὶ οἱ λοιποὶ πάντες τετράγωνοί εἰσιν.
现在，从单位起第三个数 Β 是平方数，且所有每隔一个的数也是，这已经证明了；我声称，其余所有的数也都是平方数。
ἐπεὶ γὰρ οἱ Α, Β, Γ ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν, καί ἐστιν ὁ Α τετράγωνος, καὶ ὁ Γ τετράγωνός ἐστιν.
因为由于 Α、Β、Γ 连续成比例，且 Α 是平方数，所以 Γ 也是平方数。
πάλιν, ἐπεὶ οἱ β, Γ, Δ ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν, καί ἐστιν ὁ Β τετράγωνος, καὶ ὁ Δ τετράγωνός ἐστιν.
再次，由于 Β、 Γ、Δ 连续成比例，且 Β 是平方数，所以 Δ 也是平方数。
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ οἱ λοιποὶ πάντες τετράγωνοί εἰσιν.
同样地，我们将证明，其余所有的数也都是平方数。
ἀλλὰ δὴ ἔστω ὁ Α κύβος· λέγω, ὅτι καὶ οἱ λοιποὶ πάντες κύβοι εἰσίν.
但现在设 Α 是立方数；我声称，其余所有的数也都是立方数。
ὅτι μὲν οὖν ὁ τέταρτος ἀπὸ τῆς μονάδος ὁ Γ κύβος ἐστὶ καὶ οἱ δύο διαλείποντες πάντες, δέδεικται· λέγω, ὅτι καὶ οἱ λοιποὶ πάντες κύβοι εἰσίν.
现在，从单位起第四个数 Γ 是立方数，且所有每隔两个的数也是，这已经证明了；我声称，其余所有的数也都是立方数。
ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ μονὰς πρὸς τὸν Α, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Β, ἰσάκις ἄρα ἡ μονὰς τὸν Α μετρεῖ καὶ ὁ Α τὸν Β. ἡ δὲ μονὰς τὸν Α μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν αὐτῷ μονάδας·
因为由于单位对 Α 就像 Α 对 Β，因此单位度量 Α 的次数与 Α 度量 Β 的次数相同。
καὶ ὁ Α ἄρα τὸν Β μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν αὑτῷ μονάδας· ὁ Α ἄρα ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν.
但是，单位按照自身中的单位数度量 Α；因此 Α 也按照自身中的单位数度量 Β；因此 Α 乘以自身得到了 Β。
καί ἐστιν ὁ Α κύβος.
且 Α 是立方数。
ἐὰν δὲ κύβος ἀριθμὸς ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας ποιῇ τινα, ὁ γενόμενος κύβος ἐστίν· καὶ ὁ Β ἄρα κύβος ἐστίν.
如果一个立方数乘以自身得到某个数，那么所产生的数将是立方数；因此 Β 也是立方数。
καὶ ἐπεὶ τέσσαρες ἀριθμοὶ οἱ Α, Β, Γ, Δ ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν, καί ἐστιν ὁ Α κύβος, καὶ ὁ Δ ἄρα κύβος ἐστίν.
又由于四个数 Α、Β、Γ、Δ 连续成比例，且 Α 是立方数，所以 Δ 也是立方数。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁ Ε κύβος ἐστίν, καὶ ὁμοίως οἱ λοιποὶ πάντες κύβοι εἰσίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
因为同样的原因，Ε 也是立方数，同样地，其余所有的数也都是立方数；这即是所要求证的。