§9.prop.4ἐὰν κύβος ἀριθμὸς κύβον ἀριθμὸν πολλαπλασιάσας ποιῇ τινα, ὁ γενόμενος κύβος ἔσται.
如果一个立方数乘以一个立方数得到某个数，那么所产生的数将是立方数。
κύβος γὰρ ἀριθμὸς ὁ Α κύβον ἀριθμὸν τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ ποιείτω· λέγω, ὅτι ὁ Γ κύβος ἐστίν.
因为设立方数 Α 乘以立方数 Β 得到 Γ；我声称，Γ 是立方数。
ὁ γὰρ Α ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Δ ποιείτω· ὁ Δ ἄρα κύβος ἐστίν.
因为设 Α 乘以自身得到 Δ；因此 Δ 是立方数。
καὶ ἐπεὶ ὁ Α ἑαυτὸν μὲν πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν, τὸν δὲ Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Δ πρὸς τὸν Γ. καὶ ἐπεὶ οἱ Α, Β κύβοι εἰσίν, ὅμοιοι στερεοί εἰσιν οἱ Α, Β. τῶν Α, Β ἄρα δύο μέσοι ἀνάλογον ἐμπίπτουσιν ἀριθμοί· ὥστε καὶ τῶν Δ, Γ δύο μέσοι ἀνάλογον ἐμπεσοῦνται ἀριθμοί.
由于 Α 乘以自身得到了 Δ，而乘以 Β 得到了 Γ，所以，Α 对 Β 就像 Δ 对 Γ。 又由于 Α、Β 是立方数，所以 Α、Β 是相似的立体数。 因此在 Α、Β 之间有两个连续成比例的数插入；所以，在 Δ、Γ 之间也将有两个连续成比例的数插入。
καί ἐστι κύβος ὁ Δ· κύβος ἄρα καὶ ὁ Γ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
而 Δ 是立方数；因此 Γ 也是立方数；这即是所要求证的。
§9.prop.5ἐὰν κύβος ἀριθμὸς ἀριθμόν τινα πολλαπλασιάσας κύβον ποιῇ, καὶ ὁ πολλαπλασιασθεὶς κύβος ἔσται.
如果一个立方数乘以某个数得到立方数，那么被乘的数也将是立方数。
κύβος γὰρ ἀριθμὸς ὁ Α ἀριθμόν τινα τὸν Β πολλαπλασιάσας κύβον τὸν Γ ποιείτω· λέγω, ὅτι ὁ Β κύβος ἐστίν.
因为设立方数 Α 乘以某个数 Β 得到立方数 Γ；我声称，Β 是立方数。
ὁ γὰρ Α ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Δ ποιείτω· κύβος ἄρα ἐστίν ὁ Δ. καὶ ἐπεὶ ὁ Α ἑαυτὸν μὲν πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν, τὸν δὲ Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, ὁ Δ πρὸς τὸν Γ. καὶ ἐπεὶ οἱ Δ, Γ κύβοι εἰσίν, ὅμοιοι στερεοί εἰσιν.
因为设 Α 乘以自身得到 Δ；因此 Δ 是立方数。 由于 Α 乘以自身得到了 Δ，而乘以 Β 得到了 Γ，所以， Α 对 Β 就像 Δ 对 Γ。 又由于 Δ、Γ 是立方数，所以它们是相似的立体数。
τῶν Δ, Γ ἄρα δύο μέσοι ἀνάλογον ἐμπίπτουσιν ἀριθμοί.
因此在 Δ、Γ 之间有两个连续成比例的数插入。
καί ἐστιν ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Γ, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Β· καὶ τῶν α, Β ἄρα δύο μέσοι ἀνάλογον ἐμπίπτουσιν ἀριθμοί.
且 Δ 对 Γ 就像 Α 对 Β；因此在 Α、Β 之间也有两个连续成比例的数插入。
καί ἐστι κύβος ὁ Α· κύβος ἄρα ἐστὶ καὶ ὁ Β· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
而 Α 是立方数；因此 Β 也是立方数；这即是所要求证的。
§9.prop.6ἐὰν ἀριθμὸς ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας κύβον ποιῇ, καὶ αὐτὸς κύβος ἔσται.
如果一个数乘以自身得到立方数，那么它自身也将是立方数。
ἀριθμὸς γὰρ ὁ Α ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας κύβον τὸν Β ποιείτω· λέγω, ὅτι καὶ ὁ Α κύβος ἐστίν.
因为设数 Α 乘以自身得到立方数 Β；我声称，Α 也将是立方数。
ʽὁ γὰρ Α τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ ποιείτω.
因为设 Α 乘以 Β 得到 Γ。
ἐπεὶ οὖν ὁ Α ἑαυτὸν μὲν πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν, τὸν δὲ Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν, ὁ Γ ἄρα κύβος ἐστίν.
因此，由于 Α 乘以自身得到了 Β，而乘以 Β 得到了 Γ，所以，Γ 是立方数。
καὶ ἐπεὶ ὁ Α ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν, ὁ Α ἄρα τὸν Β μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν αὑτῷ μονάδας.
由于 Α 乘以自身得到了 Β，因此 Α 按照自身中的单位数度量 Β。
μετρεῖ δὲ καὶ ἡ μονὰς τὸν Α κατὰ τὰς ἐν αὐτῷ μονάδας.
但是，单位也按照 Α 中的单位数度量 Α。
ἔστιν ἄρα ὡς ἡ μονὰς πρὸς τὸν Α, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Β. καὶ ἐπεὶ ὁ Α τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν, ὁ Β ἄρα τὸν Γ μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Α μονάδας.
所以，单位对 Α 就像 Α 对 Β。 又由于 Α 乘以 Β 得到了 Γ，因此 Β 按照 Α 中的单位数度量 Γ。
μετρεῖ δὲ καὶ ἡ μονὰς τὸν Α κατὰ τὰς ἐν αὐτῷ μονάδας.
但是，单位也按照 Α 中的单位数度量 Α。
ἔστιν ἄρα ὡς ἡ μονὰς πρὸς τὸν Α, οὕτως ὁ Β πρὸς τὸν Γ. ἀλλʼ ὡς ἡ μονὰς πρὸς τὸν Α, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Β·
所以，单位对 Α 就像 Β 对 Γ。 但单位对 Α 就像 Α 对 Β；因此，Α 对 Β 就像 Β 对 Γ。
καὶ ὡς ἄρα ὁ Α πρὸς τὸν Β, ὁ Β πρὸς τὸν Γ. καὶ ἐπεὶ οἱ Β, Γ κύβοι εἰσίν, ὅμοιοι στερεοί εἰσιν.
又由于 Β、Γ 是立方数，所以它们是相似的立体数。
τῶν Β, Γ ἄρα δύο μέσοι ἀνάλογόν εἰσιν ἀριθμοί.
因此在 Β、Γ 之间有两个连续成比例的数存在。
καί ἐστιν ὡς ὁ Β πρὸς τὸν Γ, ὁ Α πρὸς τὸν Β. καὶ τῶν Α, Β ἄρα δύο μέσοι ἀνάλογόν εἰσιν ἀριθμοί.
且 Β 对 Γ 就像 Α 对 Β。 因此在 Α、Β 之间也有两个连续成比例的数存在。
καί ἐστι κύβος ὁ Β· κύβος ἄρα ἐστὶ καὶ ὁ Α· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
而 Β 是立方数；因此 Α 也是立方数；这即是所要求证的。
§9.prop.7ἐὰν σύνθετος ἀριθμὸς ἀριθμόν τινα πολλαπλασιάσας ποιῇ τινα, ὁ γενόμενος στερεὸς ἔσται.
如果一个合数乘以某个数得到某个数，那么所产生的数将是立体数。
σύνθετος γὰρ ἀριθμὸς ὁ Α ἀριθμόν τινα τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ ποιείτω· λέγω, ὅτι ὁ Γ στερεός ἐστιν.
因为设合数 Α 乘以某个数 Β 得到 Γ；我声称，Γ 是立体数。
ἐπεὶ γὰρ ὁ Α σύνθετός ἐστιν, ὑπὸ ἀριθμοῦ τινος μετρηθήσεται.
因为由于 Α 是合数，它将被某个数度量。
μετρείσθω ὑπὸ τοῦ Δ, καὶ ὁσάκις ὁ Δ τὸν Α μετρεῖ, τοσαῦται μονάδες ἔστωσαν ἐν τῷ Ε. ἐπεὶ οὖν ὁ Δ τὸν Α μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Ε μονάδας, ὁ Ε ἄρα τὸν Δ πολλαπλασιάσας τὸν Α πεποίηκεν.
设它被 Δ 度量，且 Δ 度量 Α 的次数与 Ε 中的单位数相同。 因此，由于 Δ 按照 Ε 中的单位数度量 Α，所以 Ε 乘以 Δ 得到了 Α。
καὶ ἐπεὶ ὁ Α τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν, ὁ δὲ Α ἐστιν ὁ ἐκ τῶν Δ, Ε, ὁ ἄρα ἐκ τῶν Δ, Ε τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν.
又由于 Α 乘以 Β 得到了 Γ，而 Α 是由 Δ、Ε 相乘所得的数，所以，由 Δ、Ε 相乘所得的数乘以 Β 得到了 Γ。
ὁ Γ ἄρα στερεός ἐστιν, πλευραὶ δὲ αὐτοῦ εἰσιν οἱ Δ, Ε, Β· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
因此 Γ 是立体数，且它的边是 Δ、Ε、Β；这即是所要求证的。