§9.prop.8ἐὰν ἀπὸ μονάδος ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον ὦσιν, ὁ μὲν τρίτος ἀπὸ τῆς μονάδος τετράγωνος ἔσται καὶ οἱ ἕνα διαλείποντες, ὁ δὲ τέταρτος κύβος καὶ οἱ δύο διαλείποντες πάντες, ὁ δὲ ἕβδομος κύβος ἅμα καὶ τετράγωνος καὶ οἱ πέντε διαλείποντες.
만일 단위로부터 임의의 개수의 수들이 계속하여 비례하면, 단위로부터 세 번째 수는 제곱수이며 하나씩 거르는 수들도 모두 그러하고, 네 번째 수는 세제곱수이며 두씩 거르는 모든 수들도 그러하고, 일곱 번째 수는 세제곱수인 동시에 제곱수이며 다섯씩 거르는 수들도 모두 그러할 것이다.
ἔστωσαν ἀπὸ μονάδος ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον οἱ Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ·
단위로부터 계속하여 비례하는 임의의 개수의 수들을 Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ라고 하자.
λέγω, ὅτι ὁ μὲν τρίτος ἀπὸ τῆς μονάδος ὁ Β τετράγωνός ἐστι καὶ οἱ ἕνα διαλείποντες πάντες, ὁ δὲ τέταρτος ὁ Γ κύβος καὶ οἱ δύο διαλείποντες πάντες, ὁ δὲ ἕβδομος ὁ Ζ κύβος ἅμα καὶ τετράγωνος καὶ οἱ πέντε διαλείποντες πάντες.
나는 단위로부터 세 번째 수인 Β는 제곱수이며 하나씩 거르는 모든 수들도 그러하고, 네 번째 수인 Γ는 세제곱수이며 두씩 거르는 모든 수들도 그러하고, 일곱 번째 수인 Ζ는 세제곱수인 동시에 제곱수이며 다섯씩 거르는 모든 수들도 그러하다고 주장한다.
ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ μονὰς πρὸς τὸν Α, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Β, ἰσάκις ἄρα ἡ μονὰς τὸν Α ἀριθμὸν μετρεῖ καὶ ὁ Α τὸν Β. ἡ δὲ μονὰς τὸν Α ἀριθμὸν μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν αὐτῷ μονάδας·
왜냐하면 단위의 Α에 대한 비는 Α의 Β에 대한 비와 같으므로, 그러므로 단위가 수 Α를 측정하는 횟수와 Α가 Β를 측정하는 횟수는 같다. 그런데 단위는 수 Α를 자신 안에 있는 단위들의 수만큼 측정한다.
καὶ ὁ Α ἄρα τὸν Β μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Α μονάδας.
그러므로 Α도 Β를 Α 안에 있는 단위들의 수만큼 측정한다.
ὁ Α ἄρα ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν·
그러므로 Α는 자신을 곱하여 Β를 만든 것이다.
τετράγωνος ἄρα ἐστὶν ὁ Β. καὶ ἐπεὶ οἱ Β, Γ, Δ ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν, ὁ δὲ Β τετράγωνός ἐστιν, καὶ ὁ Δ ἄρα τετράγωνός ἐστιν.
그러므로 Β는 제곱수이다. 그리고 Β, Γ, Δ는 계속하여 비례하고 Β는 제곱수이므로, 그러므로 Δ도 제곱수이다.
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁ Ζ τετράγωνός ἐστιν.
같은 이유로 Ζ도 제곱수이다.
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ οἱ ἕνα διαλείποντες πάντες τετράγωνοί εἰσιν.
마찬가지로 하나씩 거르는 모든 수들도 제곱수임을 보일 수 있다.
λέγω δή, ὅτι καὶ ὁ τέταρτος ἀπὸ τῆς μονάδος ὁ Γ κύβος ἐστὶ καὶ οἱ δύο διαλείποντες πάντες.
이제 나는 단위로부터 네 번째 수인 Γ도 세제곱수이며 두씩 거르는 모든 수들도 그러하다고 주장한다.
ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ μονὰς πρὸς τὸν Α, οὕτως ὁ Β πρὸς τὸν Γ, ἰσάκις ἄρα ἡ μονὰς τὸν Α ἀριθμὸν μετρεῖ καὶ ὁ Β τὸν Γ. ἡ δὲ μονὰς τὸν Α ἀριθμὸν μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Α μονάδας·
왜냐하면 단위의 Α에 대한 비는 Β의 Γ에 대한 비와 같으므로, 그러므로 단위가 수 Α를 측정하는 횟수와 Β가 Γ를 측정하는 횟수는 같다. 그런데 단위는 수 Α를 Α 안에 있는 단위들의 수만큼 측정한다.
καὶ ὁ Β ἄρα τὸν Γ μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Α μονάδας·
그러므로 Β도 Γ를 Α 안에 있는 단위들의 수만큼 측정한다.
ὁ Α ἄρα τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν.
그러므로 Α는 Β를 곱하여 Γ를 만든 것이다.
ἐπεὶ οὖν ὁ Α ἑαυτὸν μὲν πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν, τὸν δὲ Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν, κύβος ἄρα ἐστὶν ὁ Γ. καὶ ἐπεὶ οἱ Γ, Δ, Ε, Ζ ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν, ὁ δὲ Γ κύβος ἐστίν, καὶ ὁ Ζ ἄρα κύβος ἐστίν.
그러므로 Α가 자신을 곱하여 Β를 만들고, Β를 곱하여 Γ를 만들었으므로, 그러므로 Γ는 세제곱수이다. 그리고 Γ, Δ, Ε, Ζ는 계속하여 비례하고 Γ는 세제곱수이므로, 그러므로 Ζ도 세제곱수이다.
ἐδείχθη δὲ καὶ τετράγωνος·
그런데 그것은 제곱수임도 보였다.
ὁ ἄρα ἕβδομος ἀπὸ τῆς μονάδος κύβος τέ ἐστι καὶ τετράγωνος.
그러므로 단위로부터 일곱 번째 수는 세제곱수인 동시에 제곱수이다.
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ οἱ πέντε διαλείποντες πάντες κύβοι τέ εἰσι καὶ τετράγωνοι·
마찬가지로 다섯씩 거르는 모든 수들도 세제곱수인 동시에 제곱수임을 보일 수 있다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하려던 바였다.
§9.prop.9ἐὰν ἀπὸ μονάδος ὁποσοιοῦν ἑξῆς κατὰ τὸ συνεχὲς ἀριθμοὶ ἀνάλογον ὦσιν, ὁ δὲ μετὰ τὴν μονάδα τετράγωνος ᾖ, καὶ οἱ λοιποὶ πάντες τετράγωνοι ἔσονται.
만일 단위로부터 임의의 개수의 수들이 계속하여 비례하고, 단위 다음의 수가 제곱수이면 나머지 모든 수들도 제곱수일 것이다.
καὶ ἐὰν ὁ μετὰ τὴν μονάδα κύβος ᾖ, καὶ οἱ λοιποὶ πάντες κύβοι ἔσονται.
그리고 만일 단위 다음의 수가 세제곱수이면 나머지 모든 수들도 세제곱수 일 것이다.
ἔστωσαν ἀπὸ μονάδος ἑξῆς ἀνάλογον ὁσοιδηποτοῦν ἀριθμοὶ οἱ Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ, ὁ δὲ μετὰ τὴν μονάδα ὁ Α τετράγωνος ἔστω·
단위로부터 계속하여 비례하는 임의의 개수의 수들을 Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ라고 하고, 단위 다음의 수인 Α가 제곱수라고 하자.
λέγω, ὅτι καὶ οἱ λοιποὶ πάντες τετράγωνοι ἔσονται.
나는 나머지 모든 수들도 제곱수라고 주장한다.
ὅτι μὲν οὖν ὁ τρίτος ἀπὸ τῆς μονάδος ὁ Β τετράγωνός ἐστι καὶ οἱ ἕνα διαλείποντες πάντες, δέδεικται·
이제 단위로부터 세 번째 수인 Β가 제곱수이고 하나씩 거르는 모든 수들도 그러함은 이미 증명되었다.
λέγω, ὅτι καὶ οἱ λοιποὶ πάντες τετράγωνοί εἰσιν.
나는 나머지 모든 수들도 제곱수라고 주장한다.
ἐπεὶ γὰρ οἱ Α, Β, Γ ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν, καί ἐστιν ὁ Α τετράγωνος, καὶ ὁ Γ τετράγωνός ἐστιν.
왜냐하면 Α, Β, Γ는 계속하여 비례하고 Α는 제곱수이므로, Γ도 제곱수이기 때문이다.
πάλιν, ἐπεὶ οἱ β, Γ, Δ ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν, καί ἐστιν ὁ Β τετράγωνος, καὶ ὁ Δ τετράγωνός ἐστιν.
다시, Β, Γ, Δ는 계속하여 비례하고 Β는 제곱수이므로, Δ도 제곱수이다.
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ οἱ λοιποὶ πάντες τετράγωνοί εἰσιν.
마찬가지로 나머지 모든 수들도 제곱수임을 보일 수 있다.
ἀλλὰ δὴ ἔστω ὁ Α κύβος·
그런데 이제 Α가 세제곱수라고 하자.
λέγω, ὅτι καὶ οἱ λοιποὶ πάντες κύβοι εἰσίν.
나는 나머지 모든 수들도 세제곱수라고 주장한다.
ὅτι μὲν οὖν ὁ τέταρτος ἀπὸ τῆς μονάδος ὁ Γ κύβος ἐστὶ καὶ οἱ δύο διαλείποντες πάντες, δέδεικται·
이제 단위로부터 네 번째 수인 Γ가 세제곱수이고 두씩 거르는 모든 수들도 그러함은 이미 증명되었다.
λέγω, ὅτι καὶ οἱ λοιποὶ πάντες κύβοι εἰσίν.
나는 나머지 모든 수들도 세제곱수라고 주장한다.
ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ μονὰς πρὸς τὸν Α, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Β, ἰσάκις ἄρα ἡ μονὰς τὸν Α μετρεῖ καὶ ὁ Α τὸν Β. ἡ δὲ μονὰς τὸν Α μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν αὐτῷ μονάδας·
왜냐하면 단위의 Α에 대한 비는 Α의 Β에 대한 비와 같으므로, 그러므로 단위가 Α를 측정하는 횟수와 Α가 Β를 측정하는 횟수는 같다. 그런데 단위는 Α를 자신 안에 있는 단위들의 수만큼 측정한다.
καὶ ὁ Α ἄρα τὸν Β μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν αὑτῷ μονάδας·
그러므로 Α도 Β를 자신 안에 있는 단위들의 수만큼 측정한다.
ὁ Α ἄρα ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν.
그러므로 Α는 자신을 곱하여 Β를 만든 것이다.
καί ἐστιν ὁ Α κύβος.
그리고 Α는 세제곱수이다.
ἐὰν δὲ κύβος ἀριθμὸς ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας ποιῇ τινα, ὁ γενόμενος κύβος ἐστίν·
만일 세제곱수가 자신을 곱하여 어떤 수를 만들면, 생긴 수는 세제곱수이다.
καὶ ὁ Β ἄρα κύβος ἐστίν.
그러므로 Β도 세제곱수이다.
καὶ ἐπεὶ τέσσαρες ἀριθμοὶ οἱ Α, Β, Γ, Δ ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν, καί ἐστιν ὁ Α κύβος, καὶ ὁ Δ ἄρα κύβος ἐστίν.
그리고 네 수 Α, Β, Γ, Δ가 계속하여 비례하고 Α는 세제곱수이므로, 그러므로 Δ도 세제곱수이다.
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁ Ε κύβος ἐστίν, καὶ ὁμοίως οἱ λοιποὶ πάντες κύβοι εἰσίν·
같은 이유로 Ε도 세제곱수이며, 마찬가지로 나머지 모든 수들도 세제곱수이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하려던 바였다.