§9.prop.10ἐὰν ἀπὸ μονάδος ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἀνάλογον ὦσιν, ὁ δὲ μετὰ τὴν μονάδα μὴ ᾖ τετράγωνος, οὐδʼ ἄλλος οὐδεὶς τετράγωνος ἔσται χωρὶς τοῦ τρίτου ἀπὸ τῆς μονάδος καὶ τῶν ἕνα διαλειπόντων πάντων.
如果从单位开始任意多个数成比例，且单位后面的数不是平方数，那么除了自单位起第三个数和所有每隔一个的数之外，其余任何数也都不是平方数。
καὶ ἐὰν ὁ μετὰ τὴν μονάδα κύβος μὴ ᾖ, οὐδὲ ἄλλος οὐδεὶς κύβος ἔσται χωρὶς τοῦ τετάρτου ἀπὸ τῆς μονάδος καὶ τῶν δύο διαλειπόντων πάντων.
如果单位后面的数不是立方数，那么除了自单位起第四个数和所有每隔两个的数之外，其余任何数也都不是立方数。
ἔστωσαν ἀπὸ μονάδος ἑξῆς ἀνάλογον ὁσοιδηποτοῦν ἀριθμοὶ οἱ Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ, ὁ δὲ μετὰ τὴν μονάδα ὁ Α μὴ ἔστω τετράγωνος· λέγω, ὅτι οὐδὲ ἄλλος οὐδεὶς τετράγωνος ἔσται χωρὶς τοῦ τρίτου ἀπὸ τῆς μονάδος.
设从单位开始连续成比例的任意多个数为 Α、Β、Γ、Δ、Ε、Ζ，且单位后面的数 Α 不是平方数；我声称，除了自单位起第三个数之外，其余任何数也都不是平方数。
εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω ὁ Γ τετράγωνος.
因为如果可能，设 Γ 是平方数。
ἔστι δὲ καὶ ὁ Β τετράγωνος· οἱ Β, Γ ἄρα πρὸς ἀλλήλους λόγον ἔχουσιν, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν.
但 Β 也是平方数；因此 Β 与 Γ 互有平方数与平方数之比。
καί ἐστιν ὡς ὁ Β πρὸς τὸν Γ, ὁ Α πρὸς τὸν Β· οἱ Α, Β ἄρα πρὸς ἀλλήλους λόγον ἔχουσιν, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν· ὥστε οἱ Α, Β ὅμοιοι ἐπίπεδοί εἰσιν.
由于 Β 对 Γ 就像 Α 对 Β；因此 Α 与 Β 互有平方数与平方数之比；所以 Α 与 Β 是相似平面数。
καί ἐστι τετράγωνος ὁ Β· τετράγωνος ἄρα ἐστὶ καὶ ὁ Α· ὅπερ οὐχ ὑπέκειτο.
而 Β 是平方数；因此 Α 也是平方数；这与假设相反。
οὐκ ἄρα ὁ Γ τετράγωνός ἐστιν.
因此 Γ 不是平方数。
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι οὐδʼ ἄλλος οὐδεὶς τετράγωνός ἐστι χωρὶς τοῦ τρίτου ἀπὸ τῆς μονάδος καὶ τῶν ἕνα διαλειπόντων.
同样地，我们将证明，除了自单位起第三个数和每隔一个的数之外，其余任何数也都不是平方数。
ἀλλὰ δὴ μὴ ἔστω ὁ Α κύβος.
但现在设 Α 不是立方数。
λέγω, ὅτι οὐδʼ ἄλλος οὐδεὶς κύβος ἔσται χωρὶς τοῦ τετάρτου ἀπὸ τῆς μονάδος καὶ τῶν δύο διαλειπόντων.
我声称，除了自单位起第四个数和每隔两个的数之外，其余任何数也都不是立方数。
εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω ὁ Δ κύβος.
因为如果可能，设 Δ 是立方数。
ἔστι δὲ καὶ ὁ Γ κύβος· τέταρτος γάρ ἐστιν ἀπὸ τῆς μονάδος.
但 Γ 也是立方数；因为它是自单位起第四个数。
καί ἐστιν ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, ὁ Β πρὸς τὸν Γ· καὶ ὁ Β ἄρα πρὸς τὸν Γ λόγον ἔχει, ὃν κύβος πρὸς κύβον.
由于 Γ 对 Δ 就像 Β 对 Γ；因此 Β 对 Γ 也有立方数与立方数之比。
καί ἐστιν ὁ Γ κύβος· καὶ ὁ Β ἄρα κύβος ἐστίν.
而 Γ 是立方数；因此 Β 也是立方数。
καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ μονὰς πρὸς τὸν Α, ὁ Α πρὸς τὸν Β, ἡ δὲ μονὰς τὸν Α μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν αὐτῷ μονάδας, καὶ ὁ Α ἄρα τὸν Β μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν αὑτῷ μονάδας· ὁ Α ἄρα ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας κύβον τὸν Β πεποίηκεν.
由于单位对 Α 就像 Α 对 Β，且单位按照 Α 中的单位数度量 Α，因此 Α 也按照自身中的单位数度量 Β；因此 Α 乘以自身得到了立方数 Β。
ἐὰν δὲ ἀριθμὸς ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας κύβον ποιῇ, καὶ αὐτὸς κύβος ἔσται.
如果一个数乘以自身得到立方数，那么它自身也将是立方数。
κύβος ἄρα καὶ ὁ Α· ὅπερ οὐχ ὑπόκειται.
因此 Α 也是立方数；这与假设相反。
οὐκ ἄρα ὁ Δ κύβος ἐστίν.
因此 Δ 不是立方数。
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι οὐδʼ ἄλλος οὐδεὶς κύβος ἐστὶ χωρὶς τοῦ τετάρτου ἀπὸ τῆς μονάδος καὶ τῶν δύο διαλειπόντων· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
同样地，我们将证明，除了自单位起第四个数和每隔两个的数之外，其余任何数也都不是立方数；这即是所要求证的。
§9.prop.11ἐὰν ἀπὸ μονάδος ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον ὦσιν, ὁ ἐλάττων τὸν μείζονα μετρεῖ κατά τινα τῶν ὑπαρχόντων ἐν τοῖς ἀνάλογον ἀριθμοῖς.
如果从单位开始任意多个数连续成比例，那么较小数以这些比例数中存在的某数度量较大数。
ἔστωσαν ἀπὸ μονάδος τῆς Α ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον οἱ Β, Γ, Δ, Ε· λέγω, ὅτι τῶν Β, Γ, Δ, Ε ὁ ἐλάχιστος ὁ Β τὸν Ε μετρεῖ κατά τινα τῶν Γ, Δ.
ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ Α μονὰς πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Δ πρὸς τὸν Ε, ἰσάκις ἄρα ἡ Α μονὰς τὸν Β ἀριθμὸν μετρεῖ καὶ ὁ Δ τὸν Ε·
设从单位 Α 开始连续成比例的任意多个数为 Β、Γ、Δ、Ε；我声称，在 Β、Γ、Δ、Ε 中，最小数 Β 以 Γ、Δ 中的某数度量 Ε。
ἐναλλὰξ ἄρα ἰσάκις ἡ Α μονὰς τὸν Δ μετρεῖ καὶ ὁ Β τὸν Ε. ἡ δὲ Α μονὰς τὸν Δ μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν αὐτῷ μονάδας·
因为由于单位 Α 对 Β 就像 Δ 对 Ε，因此单位 Α 度量数 Β 的次数与 Δ 度量 Ε 的次数相同；因此交错地，单位 Α 度量 Δ 的次数与 Β 度量 Ε 的次数相同。
καὶ ὁ Β ἄρα τὸν Ε μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Δ μονάδας· ὥστε ὁ ἐλάσσων ὁ Β τὸν μείζονα τὸν Ε μετρεῖ κατά τινα ἀριθμὸν τῶν ὑπαρχόντων ἐν τοῖς ἀνάλογον ἀριθμοῖς.
但是单位 Α 按照 Δ 中的单位数度量 Δ；因此 Β 也按照 Δ 中的单位数度量 Ε；所以较小数 Β 以这些比例数中存在的某个数度量较大数 Ε。
Πόρισμα Καὶ φανερόν, ὅτι ἣν ἔχει τάξιν ὁ μετρῶν ἀπὸ μονάδος, τὴν αὐτὴν ἔχει καὶ ὁ καθʼ ὃν μετρεῖ ἀπὸ τοῦ μετρουμένου ἐπὶ τὸ πρὸ αὐτοῦ.
系理：显然，度量数自单位起所占的位序，与以之度量的数自被度量数向其前项逆推所占的位序相同。
¯ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
这即是所要求证的。