§9.prop.8ἐὰν ἀπὸ μονάδος ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον ὦσιν, ὁ μὲν τρίτος ἀπὸ τῆς μονάδος τετράγωνος ἔσται καὶ οἱ ἕνα διαλείποντες, ὁ δὲ τέταρτος κύβος καὶ οἱ δύο διαλείποντες πάντες, ὁ δὲ ἕβδομος κύβος ἅμα καὶ τετράγωνος καὶ οἱ πέντε διαλείποντες.
1から任意の個数の数が連続して比例しているならば、1から3番目の数は平方数であり、一つおきの数もすべて平方数である。 4番目の数は立方数であり、二つおきの数もすべて立方数である。 7番目の数は平方数かつ立方数であり、五つおきの数もすべて同様である。
ἔστωσαν ἀπὸ μονάδος ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον οἱ Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ·
1から連続して比例する任意の個数の数を Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ とせよ。
λέγω, ὅτι ὁ μὲν τρίτος ἀπὸ τῆς μονάδος ὁ Β τετράγωνός ἐστι καὶ οἱ ἕνα διαλείποντες πάντες, ὁ δὲ τέταρτος ὁ Γ κύβος καὶ οἱ δύο διαλείποντες πάντες, ὁ δὲ ἕβδομος ὁ Ζ κύβος ἅμα καὶ τετράγωνος καὶ οἱ πέντε διαλείποντες πάντες.
私は、1から3番目の数である Β は平方数であり、一つおきの数もすべて平方数であり、 4番目の数である Γ は立方数であり、二つおきの数もすべて立方数であり、7番目の数である Ζ は立方数かつ平方数であり、五つおきの数もすべて同様であると主張する。
ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ μονὰς πρὸς τὸν Α, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Β, ἰσάκις ἄρα ἡ μονὰς τὸν Α ἀριθμὸν μετρεῖ καὶ ὁ Α τὸν Β. ἡ δὲ μονὰς τὸν Α ἀριθμὸν μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν αὐτῷ μονάδας·
なぜなら、単位の Α に対する比は Α の Β に対する比と同じであるから、したがって、単位が数 Α を割り切る回数と、Α が Β を割り切る回数は等しい。 ところが、単位は数 Α を自身の中にある単位の数だけ割り切る。
καὶ ὁ Α ἄρα τὸν Β μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Α μονάδας.
したがって、Α もまた Β を Α の中にある単位の数だけ割り切る。
ὁ Α ἄρα ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν·
したがって、Α は自身を掛け合わせて Β を作ったのである。
τετράγωνος ἄρα ἐστὶν ὁ Β. καὶ ἐπεὶ οἱ Β, Γ, Δ ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν, ὁ δὲ Β τετράγωνός ἐστιν, καὶ ὁ Δ ἄρα τετράγωνός ἐστιν.
したがって、Β は平方数である。 そして、Β, Γ, Δ は連続して比例しており、Β は平方数であるから、したがって、Δ も平方数である。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁ Ζ τετράγωνός ἐστιν.
まさに同じ理由により、Ζ も平方数である。
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ οἱ ἕνα διαλείποντες πάντες τετράγωνοί εἰσιν.
同様にして、一つおきの数もすべて平方数であることを示すことができる。
λέγω δή, ὅτι καὶ ὁ τέταρτος ἀπὸ τῆς μονάδος ὁ Γ κύβος ἐστὶ καὶ οἱ δύο διαλείποντες πάντες.
そこで私は、1から4番目の数である Γ も立方数であり、二つおきの数もすべて同様であると主張する。
ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ μονὰς πρὸς τὸν Α, οὕτως ὁ Β πρὸς τὸν Γ, ἰσάκις ἄρα ἡ μονὰς τὸν Α ἀριθμὸν μετρεῖ καὶ ὁ Β τὸν Γ. ἡ δὲ μονὰς τὸν Α ἀριθμὸν μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Α μονάδας·
なぜなら、単位の Α に対する比は Β の Γ に対する比と同じであるから、したがって、単位が数 Α を割り切る回数と、Β が Γ を割り切る回数は等しい。 ところが、単位は数 Α を Α の中にある単位の数だけ割り切る。
καὶ ὁ Β ἄρα τὸν Γ μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Α μονάδας·
したがって、Β もまた Γ を Α の中にある単位の数だけ割り切る。
ὁ Α ἄρα τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν.
したがって、Α は Β を掛け合わせて Γ を作ったのである。
ἐπεὶ οὖν ὁ Α ἑαυτὸν μὲν πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν, τὸν δὲ Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν, κύβος ἄρα ἐστὶν ὁ Γ. καὶ ἐπεὶ οἱ Γ, Δ, Ε, Ζ ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν, ὁ δὲ Γ κύβος ἐστίν, καὶ ὁ Ζ ἄρα κύβος ἐστίν.
そこで、Α は自身を掛け合わせて Β を作り、Β を掛け合わせて Γ を作ったのであるから、したがって、Γ は立方数である。 そして、Γ, Δ, Ε, Ζ は連続して比例しており、 Γ は立方数であるから、したがって、Ζ も立方数である。
ἐδείχθη δὲ καὶ τετράγωνος·
ところが、Ζ は平方数でもあることが示されていた。
ὁ ἄρα ἕβδομος ἀπὸ τῆς μονάδος κύβος τέ ἐστι καὶ τετράγωνος.
したがって、1から7番目の数は立方数かつ平方数である。
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ οἱ πέντε διαλείποντες πάντες κύβοι τέ εἰσι καὶ τετράγωνοι·
同様にして、五つおきの数もすべて立方数かつ平方数であることを示すことができる。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが証明されるべきであった。
§9.prop.9ἐὰν ἀπὸ μονάδος ὁποσοιοῦν ἑξῆς κατὰ τὸ συνεχὲς ἀριθμοὶ ἀνάλογον ὦσιν, ὁ δὲ μετὰ τὴν μονάδα τετράγωνος ᾖ, καὶ οἱ λοιποὶ πάντες τετράγωνοι ἔσονται.
1から任意の個数の数が連続して比例しており、1の次の数が平方数であるならば、残りの数もすべて平方数である。
καὶ ἐὰν ὁ μετὰ τὴν μονάδα κύβος ᾖ, καὶ οἱ λοιποὶ πάντες κύβοι ἔσονται.
また、1の次の数が立方数であるならば、残りの数もすべて立方数である。
ἔστωσαν ἀπὸ μονάδος ἑξῆς ἀνάλογον ὁσοιδηποτοῦν ἀριθμοὶ οἱ Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ, ὁ δὲ μετὰ τὴν μονάδα ὁ Α τετράγωνος ἔστω·
1から連続して比例する任意の個数の数を Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ とし、1の次の数である Α が平方数であるとせよ。
λέγω, ὅτι καὶ οἱ λοιποὶ πάντες τετράγωνοι ἔσονται.
私は、残りの数もすべて平方数であると主張する。
ὅτι μὲν οὖν ὁ τρίτος ἀπὸ τῆς μονάδος ὁ Β τετράγωνός ἐστι καὶ οἱ ἕνα διαλείποντες πάντες, δέδεικται·
さて、1から3番目の数である Β が平方数であり、一つおきの数もすべてそうであることはすでに証明されている。
λέγω, ὅτι καὶ οἱ λοιποὶ πάντες τετράγωνοί εἰσιν.
私は、残りの数もすべて平方数であると主張する。
ἐπεὶ γὰρ οἱ Α, Β, Γ ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν, καί ἐστιν ὁ Α τετράγωνος, καὶ ὁ Γ τετράγωνός ἐστιν.
なぜなら、Α, Β, Γ は連続して比例しており、Α は平方数であるから、Γ も平方数である。
πάλιν, ἐπεὶ οἱ β, Γ, Δ ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν, καί ἐστιν ὁ Β τετράγωνος, καὶ ὁ Δ τετράγωνός ἐστιν.
再び、Β, Γ, Δ は連続して比例しており、Β は平方数であるから、Δ も平方数である。
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ οἱ λοιποὶ πάντες τετράγωνοί εἰσιν.
同様にして、残りの数もすべて平方数であることを示すことができる。
ἀλλὰ δὴ ἔστω ὁ Α κύβος·
他方、Α が立方数であるとせよ。
λέγω, ὅτι καὶ οἱ λοιποὶ πάντες κύβοι εἰσίν.
私は、残りの数もすべて立方数であると主張する。
ὅτι μὲν οὖν ὁ τέταρτος ἀπὸ τῆς μονάδος ὁ Γ κύβος ἐστὶ καὶ οἱ δύο διαλείποντες πάντες, δέδεικται·
さて、1から4番目の数である Γ が立方数であり、二つおきの数もすべてそうであることはすでに証明されている。
λέγω, ὅτι καὶ οἱ λοιποὶ πάντες κύβοι εἰσίν.
私は、残りの数もすべて立方数であると主張する。
ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ μονὰς πρὸς τὸν Α, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Β, ἰσάκις ἄρα ἡ μονὰς τὸν Α μετρεῖ καὶ ὁ Α τὸν Β. ἡ δὲ μονὰς τὸν Α μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν αὐτῷ μονάδας·
なぜなら、単位の Α に対する比は Α の Β に対する比と同じであるから、したがって、単位が Α を割り切る回数と、Α が Β を割り切る回数は等しい。 ところが、単位は Α を自身の中にある単位の数だけ割り切る。
καὶ ὁ Α ἄρα τὸν Β μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν αὑτῷ μονάδας·
したがって、Α もまた Β を自身の中にある単位の数だけ割り切る。
ὁ Α ἄρα ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν.
したがって、Α は自身を掛け合わせて Β を作ったのである。
καί ἐστιν ὁ Α κύβος.
Navigator、Α は立方数である。
ἐὰν δὲ κύβος ἀριθμὸς ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας ποιῇ τινα, ὁ γενόμενος κύβος ἐστίν·
立方数が自身を掛け合わせてある数を作るならば、できた数は立方数である。
καὶ ὁ Β ἄρα κύβος ἐστίν.
したがって、Β も立方数である。
καὶ ἐπεὶ τέσσαρες ἀριθμοὶ οἱ Α, Β, Γ, Δ ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν, καί ἐστιν ὁ Α κύβος, καὶ ὁ Δ ἄρα κύβος ἐστίν.
そして、四つの数 Α, Β, Γ, Δ は連続して比例しており、Α は立方数であるから、したがって、Δ も立方数である。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁ Ε κύβος ἐστίν, καὶ ὁμοίως οἱ λοιποὶ πάντες κύβοι εἰσίν·
まさに同じ理由により、Ε も立方数であり、同様にして残りの数もすべて立方数である。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが証明されるべきであった。