§9.prop.4ἐὰν κύβος ἀριθμὸς κύβον ἀριθμὸν πολλαπλασιάσας ποιῇ τινα, ὁ γενόμενος κύβος ἔσται.
만일 세제곱수가 세제곱수를 곱하여 어떤 수를 만들면, 생긴 수는 세제곱수일 것이다.
κύβος γὰρ ἀριθμὸς ὁ Α κύβον ἀριθμὸν τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ ποιείτω·
왜냐하면 세제곱수 Α가 세제곱수 Β를 곱하여 Γ를 만든다고 하자.
λέγω, ὅτι ὁ Γ κύβος ἐστίν.
나는 Γ가 세제곱수라고 주장한다.
ὁ γὰρ Α ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Δ ποιείτω·
왜냐하면 Α가 자신을 곱하여 Δ를 만든다고 하자.
ὁ Δ ἄρα κύβος ἐστίν.
그러므로 Δ는 세제곱수이다.
καὶ ἐπεὶ ὁ Α ἑαυτὸν μὲν πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν, τὸν δὲ Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Δ πρὸς τὸν Γ. καὶ ἐπεὶ οἱ Α, Β κύβοι εἰσίν, ὅμοιοι στερεοί εἰσιν οἱ Α, Β. τῶν Α, Β ἄρα δύο μέσοι ἀνάλογον ἐμπίπτουσιν ἀριθμοί·
그리고 Α가 자신을 곱하여 Δ를 만들고, Β를 곱하여 Γ를 만들었으므로, 그러므로 Α의 Β에 대한 비는 Δ의 Γ에 대한 비와 같다. 그리고 Α, Β는 세제곱수이므로, Α, Β는 닮은 입체수이다. 그러므로 Α, Β 사이에 두 수가 계속비례하여 끼어든다.
ὥστε καὶ τῶν Δ, Γ δύο μέσοι ἀνάλογον ἐμπεσοῦνται ἀριθμοί.
따라서 Δ, Γ 사이에도 두 수가 계속비례하여 끼어들 것이다.
καί ἐστι κύβος ὁ Δ·
그리고 Δ는 세제곱수이다.
κύβος ἄρα καὶ ὁ Γ·
그러므로 Γ도 세제곱수이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하려던 바였다.
§9.prop.5ἐὰν κύβος ἀριθμὸς ἀριθμόν τινα πολλαπλασιάσας κύβον ποιῇ, καὶ ὁ πολλαπλασιασθεὶς κύβος ἔσται.
만일 세제곱수가 어떤 수를 곱하여 세제곱수를 만들면, 곱해진 수도 세제곱수일 것이다.
κύβος γὰρ ἀριθμὸς ὁ Α ἀριθμόν τινα τὸν Β πολλαπλασιάσας κύβον τὸν Γ ποιείτω·
왜냐하면 세제곱수 Α가 어떤 수 Β를 곱하여 세제곱수 Γ를 만든다고 하자.
λέγω, ὅτι ὁ Β κύβος ἐστίν.
나는 Β가 세제곱수 라고 주장한다.
ὁ γὰρ Α ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Δ ποιείτω·
왜냐하면 Α가 자신을 곱하여 Δ를 만든다고 하자.
κύβος ἄρα ἐστίν ὁ Δ. καὶ ἐπεὶ ὁ Α ἑαυτὸν μὲν πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν, τὸν δὲ Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, ὁ Δ πρὸς τὸν Γ. καὶ ἐπεὶ οἱ Δ, Γ κύβοι εἰσίν, ὅμοιοι στερεοί εἰσιν.
그러므로 Δ는 세제곱수이다. 그리고 Α가 자신을 곱하여 Δ를 만들고, Β를 곱하여 Γ를 만들었으므로, 그러므로 Α의 Β에 대한 비는 Δ의 Γ에 대한 비와 같다. 그리고 Δ, Γ는 세제곱수이므로, 그것들은 닮은 입체수이다.
τῶν Δ, Γ ἄρα δύο μέσοι ἀνάλογον ἐμπίπτουσιν ἀριθμοί.
그러므로 Δ, Γ 사이에 두 수가 계속비례하여 끼어든다.
καί ἐστιν ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Γ, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Β·
그리고 Δ의 Γ에 대한 비는 Α의 Β에 대한 비와 같다.
καὶ τῶν α, Β ἄρα δύο μέσοι ἀνάλογον ἐμπίπτουσιν ἀριθμοί.
그러므로 Α, Β 사이에도 두 수가 계속비례하여 끼어든다.
καί ἐστι κύβος ὁ Α·
그리고 Α는 세제곱수이다.
κύβος ἄρα ἐστὶ καὶ ὁ Β·
그러므로 Β도 세제곱수이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하려던 바였다.
§9.prop.6ἐὰν ἀριθμὸς ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας κύβον ποιῇ, καὶ αὐτὸς κύβος ἔσται.
만일 어떤 수가 자신을 곱하여 세제곱수를 만들면, 그 자신도 세제곱수일 것이다.
ἀριθμὸς γὰρ ὁ Α ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας κύβον τὸν Β ποιείτω·
왜냐하면 어떤 수 Α가 자신을 곱하여 세제곱수 Β를 만든다고 하자.
λέγω, ὅτι καὶ ὁ Α κύβος ἐστίν.
나는 Α도 세제곱수라고 주장한다.
ʽὁ γὰρ Α τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ ποιείτω.
왜냐하면 Α가 Β를 곱하여 Γ를 만든다고 하자.
ἐπεὶ οὖν ὁ Α ἑαυτὸν μὲν πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν, τὸν δὲ Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν, ὁ Γ ἄρα κύβος ἐστίν.
그러므로 Α가 자신을 곱하여 Β를 만들고, Β를 곱하여 Γ를 만들었으므로, 그러므로 Γ는 세제곱수이다.
καὶ ἐπεὶ ὁ Α ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν, ὁ Α ἄρα τὸν Β μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν αὑτῷ μονάδας.
그리고 Α가 자신을 곱하여 Β를 만들었으므로, 그러므로 Α는 자신 안에 있는 단위들의 수만큼 Β를 측정한다.
μετρεῖ δὲ καὶ ἡ μονὰς τὸν Α κατὰ τὰς ἐν αὐτῷ μονάδας.
그런데 단위도 Α를 자신 안에 있는 단위들의 수만큼 측정한다.
ἔστιν ἄρα ὡς ἡ μονὰς πρὸς τὸν Α, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Β. καὶ ἐπεὶ ὁ Α τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν, ὁ Β ἄρα τὸν Γ μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Α μονάδας.
그러므로 단위의 Α에 대한 비는 Α의 Β에 대한 비와 같다. 그리고 Α가 Β를 곱하여 Γ를 만들었으므로, 그러므로 Β는 Γ를 Α 안에 있는 단위들의 수만큼 측정한다.
μετρεῖ δὲ καὶ ἡ μονὰς τὸν Α κατὰ τὰς ἐν αὐτῷ μονάδας.
그런데 단위도 Α를 자신 안에 있는 단위들의 수만큼 측정한다.
ἔστιν ἄρα ὡς ἡ μονὰς πρὸς τὸν Α, οὕτως ὁ Β πρὸς τὸν Γ. ἀλλʼ ὡς ἡ μονὰς πρὸς τὸν Α, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Β·
그러므로 단위의 Α에 대한 비는 Β의 Γ에 대한 비와 같다. 그런데 단위의 Α에 대한 비는 Α의 Β에 대한 비와 같다.
καὶ ὡς ἄρα ὁ Α πρὸς τὸν Β, ὁ Β πρὸς τὸν Γ. καὶ ἐπεὶ οἱ Β, Γ κύβοι εἰσίν, ὅμοιοι στερεοί εἰσιν.
그러므로 Α의 Β에 대한 비는 Β의 Γ에 대한 비와 같다. 그리고 Β, Γ는 세제곱수이므로, 그것들은 닮은 입체수 이다.
τῶν Β, Γ ἄρα δύο μέσοι ἀνάλογόν εἰσιν ἀριθμοί.
그러므로 Β, Γ 사이에는 두 수가 계속비례하여 중항으로 존재한다.
καί ἐστιν ὡς ὁ Β πρὸς τὸν Γ, ὁ Α πρὸς τὸν Β. καὶ τῶν Α, Β ἄρα δύο μέσοι ἀνάλογόν εἰσιν ἀριθμοί.
그리고 Β의 Γ에 대한 비는 Α의 Β에 대한 비와 같다. 그러므로 Α, Β 사이에도 두 수가 계속비례하여 중항으로 존재한다.
καί ἐστι κύβος ὁ Β·
그리고 Β는 세제곱수이다.
κύβος ἄρα ἐστὶ καὶ ὁ Α·
그러므로 Α도 세제곱수이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하려던 바였다.
§9.prop.7ἐὰν σύνθετος ἀριθμὸς ἀριθμόν τινα πολλαπλασιάσας ποιῇ τινα, ὁ γενόμενος στερεὸς ἔσται.
만일 합성수가 어떤 수를 곱하여 어떤 수를 만들면, 생긴 수는 입체수일 것이다.
σύνθετος γὰρ ἀριθμὸς ὁ Α ἀριθμόν τινα τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ ποιείτω·
왜냐하면 합성수 Α가 어떤 수 Β를 곱하여 Γ를 만든다고 하자.
λέγω, ὅτι ὁ Γ στερεός ἐστιν.
나는 Γ가 입체수라고 주장한다.
ἐπεὶ γὰρ ὁ Α σύνθετός ἐστιν, ὑπὸ ἀριθμοῦ τινος μετρηθήσεται.
왜냐하면 Α는 합성수이므로 어떤 수에 의해 측정될 것이기 때문이다.
μετρείσθω ὑπὸ τοῦ Δ, καὶ ὁσάκις ὁ Δ τὸν Α μετρεῖ, τοσαῦται μονάδες ἔστωσαν ἐν τῷ Ε. ἐπεὶ οὖν ὁ Δ τὸν Α μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Ε μονάδας, ὁ Ε ἄρα τὸν Δ πολλαπλασιάσας τὸν Α πεποίηκεν.
그것은 Δ에 의해 측정된다 하고, Δ가 Α를 측정하는 횟수만큼의 단위가 Ε 안에 있다고 하자. 그러므로 Δ가 Ε 안에 있는 단위들의 수만큼 Α를 측정하므로, 그러므로 Ε는 Δ를 곱하여 Α를 만든 것이다.
καὶ ἐπεὶ ὁ Α τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν, ὁ δὲ Α ἐστιν ὁ ἐκ τῶν Δ, Ε, ὁ ἄρα ἐκ τῶν Δ, Ε τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν.
그리고 Α가 Β를 곱하여 Γ를 만들었고, Α는 Δ, Ε로부터 곱해진 수이므로, 그러므로 Δ, Ε로부터 곱해진 수가 Β를 곱하여 Γ를 만든 것이다.
ὁ Γ ἄρα στερεός ἐστιν, πλευραὶ δὲ αὐτοῦ εἰσιν οἱ Δ, Ε, Β·
그러므로 Γ는 입체수이며, 그것의 변은 Δ, Ε, Β이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하려던 바였다.