§9.prop.1ἐὰν δύο ὅμοιοι ἐπίπεδοι ἀριθμοὶ πολλαπλασιάσαντες ἀλλήλους ποιῶσί τινα, ὁ γενόμενος τετράγωνος ἔσται.
如果两个相似的平面数互相相乘得到某个数，那么所产生的数将是平方数。
ἔστωσαν δύο ὅμοιοι ἐπίπεδοι ἀριθμοὶ οἱ Α, Β, καὶ ὁ Α τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ ποιείτω· λέγω, ὅτι ὁ Γ τετράγωνός ἐστιν.
设两个相似的平面数为 Α、Β，且 Α 乘以 Β 得到 Γ；我声称，Γ 是平方数。
ὁ γὰρ Α ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Δ ποιείτω. ὁ Δ ἄρα τετράγωνός ἐστιν.
因为设 Α 乘以自身得到 Δ；因此 Δ 是平方数。
ἐπεὶ οὖν ὁ Α ἑαυτὸν μὲν πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν, τὸν δὲ Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Δ πρὸς τὸν Γ. καὶ ἐπεὶ οἱ Α, Β ὅμοιοι ἐπίπεδοί εἰσιν ἀριθμοί, τῶν Α, Β ἄρα εἷς μέσος ἀνάλογον ἐμπίπτει ἀριθμός.
因此，由于 Α 乘以自身得到了 Δ，而乘以 Β 得到了 Γ，所以，Α 对 Β 就像 Δ 对 Γ。 又由于 Α、Β 是相似的平面数，因此在 Α、Β 之间连续成比例地插入一个数。
ἐὰν δὲ δύο ἀριθμῶν μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπίπτωσιν ἀριθμοί, ὅσοι εἰς αὐτοὺς ἐμπίπτουσι, τοσοῦτοι καὶ εἰς τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντας· ὥστε καὶ τῶν Δ, Γ εἷς μέσος ἀνάλογον ἐμπίπτει ἀριθμός.
但在两个数之间连续成比例地插入的数有多少，插入与它们具有相同比的数之间的数也就有多少；所以，在 Δ、Γ 之间也连续成比例地插入一个数。
καί ἐστι τετράγωνος ὁ Δ· τετράγωνος ἄρα καὶ ὁ Γ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
而 Δ 是平方数；因此 Γ 也是平方数；这即是所要求证的。
§9.prop.2ἐὰν δύο ἀριθμοὶ πολλαπλασιάσαντες ἀλλήλους ποιῶσι τετράγωνον, ὅμοιοι ἐπίπεδοί εἰσιν ἀριθμοί.
如果两个数互相相乘得到平方数，那么它们是相似的平面数。
ἔστωσαν δύο ἀριθμοὶ οἱ Α, Β, καὶ ὁ Α τὸν Β πολλαπλασιάσας τετράγωνον τὸν Γ ποιείτω· λέγω, ὅτι οἱ Α, Β ὅμοιοι ἐπίπεδοί εἰσιν ἀριθμοί.
设两个数为 Α、Β，且 Α 乘以 Β 得到平方数 Γ；我声称，Α、Β 是相似的平面数。
ὁ γὰρ Α ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Δ ποιείτω· ὁ Δ ἄρα τετράγωνός ἐστιν.
因为设 Α 乘以自身得到 Δ；因此 Δ 是平方数。
καὶ ἐπεὶ ὁ Α ἑαυτὸν μὲν πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν, τὸν δὲ Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, ὁ Δ πρὸς τὸν Γ. καὶ ἐπεὶ ὁ Δ τετράγωνός ἐστιν, ἀλλὰ καὶ ὁ Γ, οἱ Δ, Γ ἄρα ὅμοιοι ἐπίπεδοί εἰσιν.
由于 Α 乘以自身得到了 Δ，而乘以 Β 得到了 Γ，所以， Α 对 Β 就像 Δ 对 Γ。 又由于 Δ 是平方数，且 Γ 也是，因此 Δ、Γ 是相似的平面数。
τῶν Δ, Γ ἄρα εἷς μέσος ἀνάλογον ἐμπίπτει.
因此在 Δ、Γ 之间连续成比例地插入一个数。
καί ἐστιν ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Γ, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Β· καὶ τῶν Α, Β ἄρα εἷς μέσος ἀνάλογον ἐμπίπτει.
且 Δ 对 Γ 就像 Α 对 Β；因此在 Α、Β 之间也连续成比例地插入一个数。
ἐὰν δὲ δύο ἀριθμῶν εἷς μέσος ἀνάλογον ἐμπίπτῃ, ὅμοιοι ἐπίπεδοί εἰσιν ἀριθμοί· οἱ ἄρα Α, Β ὅμοιοί εἰσιν ἐπίπεδοι· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
而在两个数之间如果连续成比例地插入一个数，那么它们是相似的平面数；因此 Α、Β 是相似的平面数；这即是所要求证的。
§9.prop.3ἐὰν κύβος ἀριθμὸς ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας ποιῇ τινα, ὁ γενόμενος κύβος ἔσται.
如果一个立方数乘以自身得到某个数，那么所产生的数将是立方数。
κύβος γὰρ ἀριθμὸς ὁ Α ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Β ποιείτω· λέγω, ὅτι ὁ Β κύβος ἐστίν.
因为设立方数 Α 乘以自身得到 Β；我声称，Β 是立方数。
εἰλήφθω γὰρ τοῦ Α πλευρὰ ὁ Γ, καὶ ὁ Γ ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Δ ποιείτω.
因为设取 Α 的边为 Γ，且 Γ 乘以自身得到 Δ。
φανερὸν δή ἐστιν, ὅτι ὁ Γ τὸν Δ πολλαπλασιάσας τὸν Α πεποίηκεν.
显然，Γ 乘以 Δ 得到了 Α。
καὶ ἐπεὶ ὁ Γ ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν, ὁ Γ ἄρα τὸν Δ μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν αὑτῷ μονάδας.
由于 Γ 乘以自身得到了 Δ，因此 Γ 按照自身中的单位数度量 Δ。
ἀλλὰ μὴν καὶ ἡ μονὰς τὸν Γ μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν αὐτῷ μονάδας· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ μονὰς πρὸς τὸν Γ, ὁ Γ πρὸς τὸν Δ. πάλιν, ἐπεὶ ὁ Γ τὸν Δ πολλαπλασιάσας τὸν Α πεποίηκεν, ὁ Δ ἄρα τὸν Α μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Γ μονάδας.
但是，单位也按照 Γ 中的单位数度量 Γ；所以，单位对 Γ 就像 Γ 对 Δ。 再者，由于 Γ 乘以 Δ 得到了 Α，因此 Δ 按照 Γ 中的单位数度量 Α。
μετρεῖ δὲ καὶ ἡ μονὰς τὸν Γ κατὰ τὰς ἐν αὐτῷ μονάδας· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ μονὰς πρὸς τὸν Γ, ὁ Δ πρὸς τὸν Α. ἀλλʼ ὡς ἡ μονὰς πρὸς τὸν Γ, ὁ Γ πρὸς τὸν Δ· καὶ ὡς ἄρα ἡ μονὰς πρὸς τὸν Γ, οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Δ καὶ ὁ Δ πρὸς τὸν Α. τῆς ἄρα μονάδος καὶ τοῦ Α ἀριθμοῦ δύο μέσοι ἀνάλογον κατὰ τὸ συνεχὲς ἐμπεπτώκασιν ἀριθμοὶ οἱ Γ, Δ. πάλιν, ἐπεὶ ὁ Α ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν, ὁ Α ἄρα τὸν Β μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν αὑτῷ μονάδας.
而单位也按照 Γ 中的单位数度量 Γ；所以，单位对 Γ 就像 Δ 对 Α。 但单位对 Γ 就像 Γ 对 Δ；因此，单位对 Γ 就像 Γ 对 Δ 且 Δ 对 Α。 因此，在单位与数 Α 之间，有两个数 Γ、Δ 连续成比例地插入。 再者，由于 Α 乘以自身得到了 Β，因此 Α 按照自身中的单位数度量 Β。
μετρεῖ δὲ καὶ ἡ μονὰς τὸν Α κατὰ τὰς ἐν αὐτῷ μονάδας· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ μονὰς πρὸς τὸν Α, ὁ Α πρὸς τὸν Β. τῆς δὲ μονάδος καὶ τοῦ Α δύο μέσοι ἀνάλογον ἐμπεπτώκασιν ἀριθμοί· καὶ τῶν Α, Β ἄρα δύο μέσοι ἀνάλογον ἐμπεσοῦνται ἀριθμοί.
而单位也按照 Α 中的单位数度量 Α；所以，单位对 Α 就像 Α 对 Β。 但在单位与 Α 之间已经插入了两个连续成比例的数；因此在 Α、Β 之间也将插入两个连续成比例的数。
ἐὰν δὲ δύο ἀριθμῶν δύο μέσοι ἀνάλογον ἐμπίπτωσιν, ὁ δὲ πρῶτος κύβος ᾖ, καὶ ὁ δεύτερος κύβος ἔσται.
但在两个数之间如果连续成比例地插入两个数，且第一个数是立方数，那么第二个数也将是立方数。
καί ἐστιν ὁ Α κύβος· καὶ ὁ Β ἄρα κύβος ἐστίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
而 Α 是立方数；因此 Β 也是立方数；这即是所要求证的。