§9.prop.4ἐὰν κύβος ἀριθμὸς κύβον ἀριθμὸν πολλαπλασιάσας ποιῇ τινα, ὁ γενόμενος κύβος ἔσται.
立方数が立方数を掛け合わせてある数を作るならば、できた数は立方数である。
κύβος γὰρ ἀριθμὸς ὁ Α κύβον ἀριθμὸν τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ ποιείτω·
立方数 Α が立方数 Β を掛け合わせて Γ を作るとせよ。
λέγω, ὅτι ὁ Γ κύβος ἐστίν.
私は、Γ は立方数であると主張する。
ὁ γὰρ Α ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Δ ποιείτω·
なぜなら、Α が自身を掛け合わせて Δ を作るとせよ。
ὁ Δ ἄρα κύβος ἐστίν.
したがって、Δ は立方数である。
καὶ ἐπεὶ ὁ Α ἑαυτὸν μὲν πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν, τὸν δὲ Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Δ πρὸς τὸν Γ. καὶ ἐπεὶ οἱ Α, Β κύβοι εἰσίν, ὅμοιοι στερεοί εἰσιν οἱ Α, Β. τῶν Α, Β ἄρα δύο μέσοι ἀνάλογον ἐμπίπτουσιν ἀριθμοί·
そして、Α は自身を掛け合わせて Δ を作り、Β を掛け合わせて Γ を作ったのであるから、したがって、Α の Β に対する比は、Δ の Γ に対する比と同じである。 そして、Α, Β は立方数であるから、Α, Β は相似な立体数である。 したがって、Α, Β の間に二つの数が比例して中間に落ち込む。
ὥστε καὶ τῶν Δ, Γ δύο μέσοι ἀνάλογον ἐμπεσοῦνται ἀριθμοί.
それゆえ、Δ, Γ の間にも二つの数が比例して中間に落ち込むであろう。
καί ἐστι κύβος ὁ Δ·
そして、 Δ は立方数である。
κύβος ἄρα καὶ ὁ Γ·
したがって、Γ も立方数である。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが証明されるべきであった。
§9.prop.5ἐὰν κύβος ἀριθμὸς ἀριθμόν τινα πολλαπλασιάσας κύβον ποιῇ, καὶ ὁ πολλαπλασιασθεὶς κύβος ἔσται.
立方数がある数を掛け合わせて立方数を作るならば、掛け合わされた数もまた立方数である。
κύβος γὰρ ἀριθμὸς ὁ Α ἀριθμόν τινα τὸν Β πολλαπλασιάσας κύβον τὸν Γ ποιείτω·
立方数 Α がある数 Β を掛け合わせて立方数 Γ を作るとせよ。
λέγω, ὅτι ὁ Β κύβος ἐστίν.
私は、Β は立方数であると主張する。
ὁ γὰρ Α ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Δ ποιείτω·
なぜなら、Α が自身を掛け合わせて Δ を作るとせよ。
κύβος ἄρα ἐστίν ὁ Δ. καὶ ἐπεὶ ὁ Α ἑαυτὸν μὲν πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν, τὸν δὲ Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, ὁ Δ πρὸς τὸν Γ. καὶ ἐπεὶ οἱ Δ, Γ κύβοι εἰσίν, ὅμοιοι στερεοί εἰσιν.
したがって、Δ は立方数である。 そして、Α は自身を掛け合わせて Δ を作り、Β を掛け合わせて Γ を作ったのであるから、したがって、 Α の Β に対する比は、Δ の Γ に対する比と同じである。 そして、Δ, Γ は立方数であるから、相似な立体数である。
τῶν Δ, Γ ἄρα δύο μέσοι ἀνάλογον ἐμπίπτουσιν ἀριθμοί.
したがって、Δ, Γ の間に二つの数が比例して中間に落ち込む。
καί ἐστιν ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Γ, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Β·
そして、Δ の Γ に対する比は、Α の Β に対する比と同じである。
καὶ τῶν α, Β ἄρα δύο μέσοι ἀνάλογον ἐμπίπτουσιν ἀριθμοί.
したがって、Α, Β の間にも二つの数が比例して中間に落ち込む。
καί ἐστι κύβος ὁ Α·
そして、Α は立方数である。
κύβος ἄρα ἐστὶ καὶ ὁ Β·
したがって、Β も立方数である。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが証明されるべきであった。
§9.prop.6ἐὰν ἀριθμὸς ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας κύβον ποιῇ, καὶ αὐτὸς κύβος ἔσται.
数が自身を掛け合わせて立方数を作るならば、それ自身もまた立方数である。
ἀριθμὸς γὰρ ὁ Α ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας κύβον τὸν Β ποιείτω·
数 Α が自身を掛け合わせて立方数 Β を作るとせよ。
λέγω, ὅτι καὶ ὁ Α κύβος ἐστίν.
私は、Α もまた立方数であると主張する。
ʽὁ γὰρ Α τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ ποιείτω.
なぜなら、Α が Β を掛け合わせて Γ を作るとせよ。
ἐπεὶ οὖν ὁ Α ἑαυτὸν μὲν πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν, τὸν δὲ Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν, ὁ Γ ἄρα κύβος ἐστίν.
そこで、Α は自身を掛け合わせて Β を作り、Β を掛け合わせて Γ を作ったのであるから、したがって、Γ は立方数である。
καὶ ἐπεὶ ὁ Α ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν, ὁ Α ἄρα τὸν Β μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν αὑτῷ μονάδας.
そして、Α は自身を掛け合わせて Β を作ったのであるから、したがって、Α は自身の中にある単位の数だけ Β を割り切る。
μετρεῖ δὲ καὶ ἡ μονὰς τὸν Α κατὰ τὰς ἐν αὐτῷ μονάδας.
ところが、単位もまた Α を自身の中にある単位の数だけ割り切る。
ἔστιν ἄρα ὡς ἡ μονὰς πρὸς τὸν Α, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Β. καὶ ἐπεὶ ὁ Α τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν, ὁ Β ἄρα τὸν Γ μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Α μονάδας.
したがって、単位の Α に対する比は、Α の Β に対する比と同じである。 そして、Α が Β を掛け合わせて Γ を作ったのであるから、したがって、Β は Γ を Α の中にある単位の数だけ割り切る。
μετρεῖ δὲ καὶ ἡ μονὰς τὸν Α κατὰ τὰς ἐν αὐτῷ μονάδας.
ところが、単位もまた Α を自身の中にある単位の数だけ割り切る。
ἔστιν ἄρα ὡς ἡ μονὰς πρὸς τὸν Α, οὕτως ὁ Β πρὸς τὸν Γ. ἀλλʼ ὡς ἡ μονὰς πρὸς τὸν Α, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Β·
したがって、単位の Α に対する比は、Β の Γ に対する比と同じである。 ところが、単位の Α に対する比は、Α の Β に対する比と同じである。
καὶ ὡς ἄρα ὁ Α πρὸς τὸν Β, ὁ Β πρὸς τὸν Γ. καὶ ἐπεὶ οἱ Β, Γ κύβοι εἰσίν, ὅμοιοι στερεοί εἰσιν.
したがって、Α の Β に対する比は、Β の Γ に対する比と同じである。 そして、Β, Γ は立方数であるから、相似な立体数である。
τῶν Β, Γ ἄρα δύο μέσοι ἀνάλογόν εἰσιν ἀριθμοί.
したがって、Β, Γ の間には二つの数が比例して中間に存在する。
καί ἐστιν ὡς ὁ Β πρὸς τὸν Γ, ὁ Α πρὸς τὸν Β. καὶ τῶν Α, Β ἄρα δύο μέσοι ἀνάλογόν εἰσιν ἀριθμοί.
そして、Β の Γ に対する比は、Α の Β に対する比と同じである。 したがって、Α, Β の間にも二つの数が比例して中間に存在する。
καί ἐστι κύβος ὁ Β·
そして、Β は立方数である。
κύβος ἄρα ἐστὶ καὶ ὁ Α·
したがって、Α もまた立方数である。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが証明されるべきであった。
§9.prop.7ἐὰν σύνθετος ἀριθμὸς ἀριθμόν τινα πολλαπλασιάσας ποιῇ τινα, ὁ γενόμενος στερεὸς ἔσται.
合成数がある数を掛け合わせてある数を作るならば、できた数は立体数である。
σύνθετος γὰρ ἀριθμὸς ὁ Α ἀριθμόν τινα τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ ποιείτω·
合成数 Α がある数 Β を掛け合わせて Γ を作るとせよ。
λέγω, ὅτι ὁ Γ στερεός ἐστιν.
私は、Γ は立体数であると主張する。
ἐπεὶ γὰρ ὁ Α σύνθετός ἐστιν, ὑπὸ ἀριθμοῦ τινος μετρηθήσεται.
なぜなら、Α は合成数であるから、ある数によって割り切られるであろう。
μετρείσθω ὑπὸ τοῦ Δ, καὶ ὁσάκις ὁ Δ τὸν Α μετρεῖ, τοσαῦται μονάδες ἔστωσαν ἐν τῷ Ε. ἐπεὶ οὖν ὁ Δ τὸν Α μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Ε μονάδας, ὁ Ε ἄρα τὸν Δ πολλαπλασιάσας τὸν Α πεποίηκεν.
それは Δ によって割り切られるとし、Δ が Α を割り切る回数と同じだけの単位が Ε の中にあるとせよ。 そこで、Δ は Ε の中にある単位の数だけ Α を割り切るのであるから、したがって、Ε は Δ を掛け合わせて Α を作ったのである。
καὶ ἐπεὶ ὁ Α τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν, ὁ δὲ Α ἐστιν ὁ ἐκ τῶν Δ, Ε, ὁ ἄρα ἐκ τῶν Δ, Ε τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν.
そして、Α は Β を掛け合わせて Γ を作り、また Α は Δ, Ε からできた数であるから、したがって、Δ, Ε からできた数が Β を掛け合わせて Γ を作ったのである。
ὁ Γ ἄρα στερεός ἐστιν, πλευραὶ δὲ αὐτοῦ εἰσιν οἱ Δ, Ε, Β·
したがって、Γ は立体数であり、その辺は Δ, Ε, Β である。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが証明されるべきであった。