§9.prop.36#2ἀλλὰ μὴν καὶ ὁ Ε τὸν Δ πολλαπλασιάσας τὸν ΖΗ πεποίηκεν· ἔστιν ἄρα ὡς ὁ ε πρὸς τὸν Π, ὁ Ο πρὸς τὸν Δ. καὶ ἐπεὶ ἀπὸ μονάδος ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν οἱ Α, Β, Γ, Δ, ὁ Δ ἄρα ὑπʼ οὐδενὸς ἄλλου ἀριθμοῦ μετρηθήσεται παρὲξ τῶν Α, Β, Γ. καὶ ὑπόκειται ὁ Ο οὐδενὶ τῶν Α, Β, Γ ὁ αὐτός· οὐκ ἄρα μετρήσει ὁ Ο τὸν Δ. ἀλλʼ ὡς ὁ Ο πρὸς τὸν Δ, ὁ Ε πρὸς τὸν Π· οὐδὲ ὁ Ε ἄρα τὸν Π μετρεῖ.
然而，Ε 乘以 Δ 也产生了 ΖΗ；因此，正如 ε 与 Π 的比，正如 Ο 与 Δ 的比。 并且，由于 Α、Β、Γ、Δ 从单位开始连续成比例，因此 Δ 不会被 Α、Β、Γ 之外的任何其他数整除。 而且假设 Ο 与 Α、Β、Γ 中的任何一个都不相同；因此 Ο 不会整除 Δ。 但是正如 Ο 与 Δ 的比，正如 Ε 与 Π 的比；因此 Ε 也不整除 Π。
καί ἐστιν ὁ Ε πρῶτος· πᾶς δὲ πρῶτος ἀριθμὸς πρὸς ἅπαντα, ὃν μὴ μετρεῖ, πρῶτος.
并且 Ε 是素数；而每一个素数对于它所不整除的每一个数都是互素的。
οἱ Ε, Π ἄρα πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν.
因此 Ε、Π 互为素数。
οἱ δὲ πρῶτοι καὶ ἐλάχιστοι, οἱ δὲ ἐλάχιστοι μετροῦσι τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντας ἰσάκις ὅ τε ἡγούμενος τὸν ἡγούμενον καὶ ὁ ἑπόμενος τὸν ἑπόμενον· καί ἐστιν ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν Π, ὁ Ο πρὸς τὸν Δ· ἰσάκις ἄρα ὁ Ε τὸν Ο μετρεῖ καὶ ὁ Π τὸν Δ· ἰσάκις ἄρα ὁ Ε τὸν Ο μετρεῖ καὶ ὁ Π τὸν Δ. ὁ δὲ Δ ὑπʼ οὐδενὸς ἄλλου μετρεῖται παρὲξ τῶν Α, Β, Γ· ὁ Π ἄρα ἑνὶ τῶν Α, Β, Γ ἐστιν ὁ αὐτός.
而互素的数也是最小的，而最小的数以相同的次数整除与它们具有相同比例的数，即前项整除前项，而后项整除后项；并且正如 Ε 与 Π 的比，正如 Ο 与 Δ 的比；因此 Ε 整除 Ο 的次数与 Π 整除 Δ 的次数相同；因此 Ε 整除 Ο 的次数与 Π 整除 Δ 的次数相同。 但是 Δ 不被 Α、Β、Γ 之外的任何其他数整除；因此 Π 与 Α、Β、Γ 中的某一个相同。
ἔστω τῷ Β ὁ αὐτός.
设它与 Β 相同。
καὶ ὅσοι εἰσὶν οἱ Β, Γ, Δ τῷ πλήθει τοσοῦτοι εἰλήφθωσαν ἀπὸ τοῦ Ε οἱ Ε, ΘΚ, Λ. καί εἰσιν οἱ Ε, ΘΚ, Λ τοῖς Β, Γ, Δ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ· διʼ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ Β πρὸς τὸν Δ, ὁ Ε πρὸς τὸν Λ. ὁ ἄρα ἐκ τῶν Β, Λ ἴσος ἐστὶ τῷ ἐκ τῶν Δ, Ε·
且以 Β、Γ、Δ 的个数，从 Ε 开始取相同个数 of 数 Ε、ΘΚ、Λ。 且 Ε、ΘΚ、Λ 与 Β、Γ、Δ 具有相同的比例；因此，由等比，正如 Β 与 Δ 的比，正如 Ε 与 Λ 的比。 因此 Β 与 Λ 的积等于 Δ 与 Ε 的积。
ἀλλʼ ὁ ἐκ τῶν Δ, Ε ἴσος ἐστὶ τῷ ἐκ τῶν π, Ο· καὶ ὁ ἐκ τῶν Π, Ο ἄρα ἴσος ἐστὶ τῷ ἐκ τῶν Β, Λ. ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Π πρὸς τὸν Β, ὁ Λ πρὸς τὸν Ο. καί ἐστιν ὁ Π τῷ Β ὁ αὐτός· καὶ ὁ Λ ἄρα τῷ Ο ἐστιν ὁ αὐτός· ὅπερ ἀδύνατον· ὁ γὰρ Ο ὑπόκειται μηδενὶ τῶν ἐκκειμένων ὁ αὐτός.
但是 Δ 与 Ε 的积等于 π 与 Ο 的积；因此 Π 与 Ο 的积也等于 Β 与 Λ 的积。 因此，正如 Π 与 Β 的比，正如 Λ 与 Ο 的比。 而 Π 与 Β 相同；因此 Λ 也与 Ο 相同；这是不可能的；因为假设 Ο 与所列出的任何一个数都不相同。
οὐκ ἄρα τὸν ΖΗ μετρήσει τις ἀριθμὸς παρὲξ τῶν α, Β, Γ, Δ, Ε, ΘΚ, Λ, Μ καὶ τῆς μονάδος.
因此，除了 α、Β、Γ、Δ、Ε、ΘΚ、Λ、Μ 和单位之外，没有任何数能整除 ΖΗ。
καὶ ἐδείχθη ὁ ΖΗ τοῖς Α, Β, Γ, Δ, Ε, ΘΚ, Λ, Μ καὶ τῇ μονάδι ἴσος.
并且 ΖΗ 已被证明等于 Α、Β、Γ、Δ、Ε、ΘΚ、Λ、Μ 和单位之和。
τέλειος δὲ ἀριθμός ἐστιν ὁ τοῖς ἑαυτοῦ μέρεσιν ἴσος ὤν· τέλειος ἄρα ἐστὶν ὁ ΖΗ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
而完全数是等于其自身部分之和的数；因此 ΖΗ 是完全数；这就是所要证明的。