§9.prop.36#2ἀλλὰ μὴν καὶ ὁ Ε τὸν Δ πολλαπλασιάσας τὸν ΖΗ πεποίηκεν·
그러나 진실로 Ε도 Δ를 곱하여 ΖΗ를 만들었다.
ἔστιν ἄρα ὡς ὁ ε πρὸς τὸν Π, ὁ Ο πρὸς τὸν Δ. καὶ ἐπεὶ ἀπὸ μονάδος ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν οἱ Α, Β, Γ, Δ, ὁ Δ ἄρα ὑπʼ οὐδενὸς ἄλλου ἀριθμοῦ μετρηθήσεται παρὲξ τῶν Α, Β, Γ. καὶ ὑπόκειται ὁ Ο οὐδενὶ τῶν Α, Β, Γ ὁ αὐτός·
그러므로 ε와 Π의 비는 Ο와 Δ의 비와 같다. 그리고 1에서 시작하여 Α, Β, Γ, Δ가 차례로 비례하므로, Δ는 Α, Β, Γ 외에 다른 어떤 수에 의해서도 측정되지 않을 것이다. 그리고 Ο는 Α, Β, Γ 중 그 어느 것과도 같지 않다고 가정되었다.
οὐκ ἄρα μετρήσει ὁ Ο τὸν Δ. ἀλλʼ ὡς ὁ Ο πρὸς τὸν Δ, ὁ Ε πρὸς τὸν Π·
그러므로 Ο는 Δ를 측정하지 않을 것이다. 그러나 Ο와 Δ의 비는 Ε와 Π의 비와 같다.
οὐδὲ ὁ Ε ἄρα τὸν Π μετρεῖ.
그러므로 Ε도 Π를 측정하지 않는다.
καί ἐστιν ὁ Ε πρῶτος·
그리고 Ε는 소수이다.
πᾶς δὲ πρῶτος ἀριθμὸς πρὸς ἅπαντα, ὃν μὴ μετρεῖ, πρῶτος.
그리고 모든 소수는 자기가 측정하지 않는 모든 수에 대하여 서로 소이다.
οἱ Ε, Π ἄρα πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν.
그러므로 Ε, Π는 서로 소이다.
οἱ δὲ πρῶτοι καὶ ἐλάχιστοι, οἱ δὲ ἐλάχιστοι μετροῦσι τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντας ἰσάκις ὅ τε ἡγούμενος τὸν ἡγούμενον καὶ ὁ ἑπόμενος τὸν ἑπόμενον·
그런데 서로 소인 수들은 가장 작은 수들이며, 가장 작은 수들은 자신들과 같은 비를 가진 수들을, 전항은 전항을, 후항은 후항을 같은 횟수만큼 측정한다.
καί ἐστιν ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν Π, ὁ Ο πρὸς τὸν Δ·
그리고 Ε와 Π의 비는 Ο와 Δ의 비와 같다.
ἰσάκις ἄρα ὁ Ε τὸν Ο μετρεῖ καὶ ὁ Π τὸν Δ·
그러므로 Ε가 Ο를 측정하는 횟수와 Π가 Δ를 측정하는 횟수는 같다.
ἰσάκις ἄρα ὁ Ε τὸν Ο μετρεῖ καὶ ὁ Π τὸν Δ. ὁ δὲ Δ ὑπʼ οὐδενὸς ἄλλου μετρεῖται παρὲξ τῶν Α, Β, Γ·
그러므로 Ε가 Ο를 측정하는 횟수와 Π가 Δ를 측정하는 횟수는 같다. 그러나 Δ는 Α, Β, Γ 외에 다른 것에 의해 측정되지 않는다.
ὁ Π ἄρα ἑνὶ τῶν Α, Β, Γ ἐστιν ὁ αὐτός.
그러므로 Π는 Α, Β, Γ 중 하나와 같다.
ἔστω τῷ Β ὁ αὐτός.
그것을 Β와 같다고 하자.
καὶ ὅσοι εἰσὶν οἱ Β, Γ, Δ τῷ πλήθει τοσοῦτοι εἰλήφθωσαν ἀπὸ τοῦ Ε οἱ Ε, ΘΚ, Λ. καί εἰσιν οἱ Ε, ΘΚ, Λ τοῖς Β, Γ, Δ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ·
그리고 Β, Γ, Δ의 개수만큼 Ε에서 시작하여 수들 Ε, ΘΚ, Λ를 취하자. 그리고 Ε, ΘΚ, Λ는 Β, Γ, Δ와 같은 비에 있다.
διʼ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ Β πρὸς τὸν Δ, ὁ Ε πρὸς τὸν Λ. ὁ ἄρα ἐκ τῶν Β, Λ ἴσος ἐστὶ τῷ ἐκ τῶν Δ, Ε·
그러므로 등비에 의하여, Β와 Δ의 비는 Ε와 Λ의 비와 같다. 그러므로 Β, Λ의 곱은 Δ, Ε의 곱과 같다.
ἀλλʼ ὁ ἐκ τῶν Δ, Ε ἴσος ἐστὶ τῷ ἐκ τῶν π, Ο·
그런데 Δ, Ε의 곱은 π, Ο의 곱과 같다.
καὶ ὁ ἐκ τῶν Π, Ο ἄρα ἴσος ἐστὶ τῷ ἐκ τῶν Β, Λ. ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Π πρὸς τὸν Β, ὁ Λ πρὸς τὸν Ο. καί ἐστιν ὁ Π τῷ Β ὁ αὐτός·
그러므로 Π, Ο의 곱도 Β, Λ의 곱과 같다. 그러므로 Π와 Β의 비는 Λ와 Ο의 비와 같다. 그리고 Π는 Β와 같다.
καὶ ὁ Λ ἄρα τῷ Ο ἐστιν ὁ αὐτός·
그러므로 Λ도 Ο와 같다.
ὅπερ ἀδύνατον·
이는 불가능하다.
ὁ γὰρ Ο ὑπόκειται μηδενὶ τῶν ἐκκειμένων ὁ αὐτός.
왜냐하면 Ο는 나열된 수들 중 그 어느 것과도 같지 않다고 가정되었기 때문이다.
οὐκ ἄρα τὸν ΖΗ μετρήσει τις ἀριθμὸς παρὲξ τῶν α, Β, Γ, Δ, Ε, ΘΚ, Λ, Μ καὶ τῆς μονάδος.
그러므로 α, Β, Γ, Δ, Ε, ΘΚ, Λ, Μ 및 1 외에 다른 어떤 수도 ΖΗ를 측정하지 않을 것이다.
καὶ ἐδείχθη ὁ ΖΗ τοῖς Α, Β, Γ, Δ, Ε, ΘΚ, Λ, Μ καὶ τῇ μονάδι ἴσος.
그리고 ΖΗ는 Α, Β, Γ, Δ, Ε, ΘΚ, Λ, Μ 및 1과 같음이 증명되었다.
τέλειος δὲ ἀριθμός ἐστιν ὁ τοῖς ἑαυτοῦ μέρεσιν ἴσος ὤν·
그런데 완전수는 자기 자신의 부분들의 합과 같은 수이다.
τέλειος ἄρα ἐστὶν ὁ ΖΗ·
그러므로 ΖΗ는 완전수이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 한 것이었다.