§9.prop.36#2ἀλλὰ μὴν καὶ ὁ Ε τὸν Δ πολλαπλασιάσας τὸν ΖΗ πεποίηκεν·
しかしながら、Ε もまた Δ を乗じて ΖΗ を作った。
ἔστιν ἄρα ὡς ὁ ε πρὸς τὸν Π, ὁ Ο πρὸς τὸν Δ. καὶ ἐπεὶ ἀπὸ μονάδος ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν οἱ Α, Β, Γ, Δ, ὁ Δ ἄρα ὑπʼ οὐδενὸς ἄλλου ἀριθμοῦ μετρηθήσεται παρὲξ τῶν Α, Β, Γ. καὶ ὑπόκειται ὁ Ο οὐδενὶ τῶν Α, Β, Γ ὁ αὐτός·
したがって、 ε の Π に対する比は、Ο の Δ に対する比に等しい。 そして、1から始まって Α, Β, Γ, Δ が連続して比例しているので、Δ は Α, Β, Γ 以外の他のいかなる数によっても測定されない。 そして Ο は Α, Β, Γ のいずれとも同一ではないと仮定されている。
οὐκ ἄρα μετρήσει ὁ Ο τὸν Δ. ἀλλʼ ὡς ὁ Ο πρὸς τὸν Δ, ὁ Ε πρὸς τὸν Π·
したがって Ο は Δ を測定しない。 しかし、Ο の Δ に対する比は、Ε の Π に対する比に等しい。
οὐδὲ ὁ Ε ἄρα τὸν Π μετρεῖ.
したがって Ε もまた Π を測定しない。
καί ἐστιν ὁ Ε πρῶτος·
そして Ε は素数である。
πᾶς δὲ πρῶτος ἀριθμὸς πρὸς ἅπαντα, ὃν μὴ μετρεῖ, πρῶτος.
そしてすべての素数は、自分が測定しないすべての数に対して素数である。
οἱ Ε, Π ἄρα πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν.
したがって Ε, Π は互いに素である。
οἱ δὲ πρῶτοι καὶ ἐλάχιστοι, οἱ δὲ ἐλάχιστοι μετροῦσι τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντας ἰσάκις ὅ τε ἡγούμενος τὸν ἡγούμενον καὶ ὁ ἑπόμενος τὸν ἑπόμενον·
そして互いに素である数は最小であり、最小の数は、それと同じ比を持つ数たちを、前項が前項を、後項が後項を、同じ回数だけ測定する。
καί ἐστιν ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν Π, ὁ Ο πρὸς τὸν Δ·
そして Ε の Π に対する比は Ο の Δ に対する比に等しい。
ἰσάκις ἄρα ὁ Ε τὸν Ο μετρεῖ καὶ ὁ Π τὸν Δ·
したがって Ε は Ο を測定し、Π は Δ を測定すること、その回数は同じである。
ἰσάκις ἄρα ὁ Ε τὸν Ο μετρεῖ καὶ ὁ Π τὸν Δ. ὁ δὲ Δ ὑπʼ οὐδενὸς ἄλλου μετρεῖται παρὲξ τῶν Α, Β, Γ·
したがって Ε は Ο を測定し、Π は Δ を測定すること、その回数は同じである。 しかし Δ は Α, Β, Γ 以外には測定されない。
ὁ Π ἄρα ἑνὶ τῶν Α, Β, Γ ἐστιν ὁ αὐτός.
したがって Π は Α, Β, Γ のうちの一つと同一である。
ἔστω τῷ Β ὁ αὐτός.
それを Β と同一であるとせよ。
καὶ ὅσοι εἰσὶν οἱ Β, Γ, Δ τῷ πλήθει τοσοῦτοι εἰλήφθωσαν ἀπὸ τοῦ Ε οἱ Ε, ΘΚ, Λ. καί εἰσιν οἱ Ε, ΘΚ, Λ τοῖς Β, Γ, Δ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ·
そして Β, Γ, Δ の個数と同じだけの数の個数が Ε から始まって取られたとし、それを Ε, ΘΚ, Λ とせよ。 そして Ε, ΘΚ, Λ は Β, Γ, Δ と同じ比にある。
διʼ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ Β πρὸς τὸν Δ, ὁ Ε πρὸς τὸν Λ. ὁ ἄρα ἐκ τῶν Β, Λ ἴσος ἐστὶ τῷ ἐκ τῶν Δ, Ε·
したがって等比によって、Β の Δ に対する比は、Ε の Λ に対する比に等しい。 したがって Β, Λ の積は Δ, Ε の積に等しい。
ἀλλʼ ὁ ἐκ τῶν Δ, Ε ἴσος ἐστὶ τῷ ἐκ τῶν π, Ο·
しかし Δ, Ε の積は π, Ο の積に等しい。
καὶ ὁ ἐκ τῶν Π, Ο ἄρα ἴσος ἐστὶ τῷ ἐκ τῶν Β, Λ. ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Π πρὸς τὸν Β, ὁ Λ πρὸς τὸν Ο. καί ἐστιν ὁ Π τῷ Β ὁ αὐτός·
したがって Π, Ο の積も Β, Λ の積に等しい。 したがって Π の Β に対する比は、Λ の Ο に対する比に等しい。 そして Π は Β と同一である。
καὶ ὁ Λ ἄρα τῷ Ο ἐστιν ὁ αὐτός·
したがって Λ も Ο と同一である。
ὅπερ ἀδύνατον·
これは不可能である。
ὁ γὰρ Ο ὑπόκειται μηδενὶ τῶν ἐκκειμένων ὁ αὐτός.
なぜなら Ο は、提示された数のいずれとも同一ではないと仮定されているからである。
οὐκ ἄρα τὸν ΖΗ μετρήσει τις ἀριθμὸς παρὲξ τῶν α, Β, Γ, Δ, Ε, ΘΚ, Λ, Μ καὶ τῆς μονάδος.
したがって、 α, Β, Γ, Δ, Ε, ΘΚ, Λ, Μ および1以外のいかなる数も ΖΗ を測定しない。
καὶ ἐδείχθη ὁ ΖΗ τοῖς Α, Β, Γ, Δ, Ε, ΘΚ, Λ, Μ καὶ τῇ μονάδι ἴσος.
そして ΖΗ は Α, Β, Γ, Δ, Ε, ΘΚ, Λ, Μ および1の和に等しいことが示された。
τέλειος δὲ ἀριθμός ἐστιν ὁ τοῖς ἑαυτοῦ μέρεσιν ἴσος ὤν·
そして完全数とは、自分自身の部分の和に等しい数である。
τέλειος ἄρα ἐστὶν ὁ ΖΗ·
したがって ΖΗ は完全数である。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。