§9.prop.33ἐὰν ἀριθμὸς τὸν ἥμισυν ἔχῃ περισσόν, ἀρτιάκις περισσός ἐστι μόνον.
如果一个数具有奇数的二分之一，则它仅是偶倍奇数。
ἀριθμὸς γὰρ ὁ Α τὸν ἥμισυν ἐχέτω περισσόν· λέγω, ὅτι ὁ Α ἀρτιάκις περισσός ἐστι μόνον.
因为，设数 Α 具有奇数的二分之一；我声称，Α 仅是偶倍奇数。
ὅτι μὲν οὖν ἀρτιάκις περισσός ἐστιν, φανερόν· ὁ γὰρ ἥμισυς αὐτοῦ περισσὸς ὢν μετρεῖ αὐτὸν ἀρτιάκις.
显然，它是偶倍奇数；因为其二分之一作为奇数，以偶数倍整除它。
λέγω δή, ὅτι καὶ μόνον.
我声称，它且仅是如此。
εἰ γὰρ ἔσται ὁ Α καὶ ἀρτιάκις ἄρτιος, μετρηθήσεται ὑπὸ ἀρτίου κατὰ ἄρτιον ἀριθμόν· ὥστε καὶ ὁ ἥμισυς αὐτοῦ μετρηθήσεται ὑπὸ ἀρτίου ἀριθμοῦ περισσὸς ὤν· ὅπερ ἐστὶν ἄτοπον.
因为，如果 Α 也是偶倍偶数，它将被一个偶数以偶数倍整除；因此它的二分之一也将被一个偶数整除，虽然它是奇数；这是荒谬的。
ὁ Α ἄρα ἀρτιάκις περισσός ἐστι μόνον· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
因此 Α 仅是偶倍奇数；这即是所要求证的。
§9.prop.34ἐὰν ἀριθμὸς μήτε τῶν ἀπὸ δυάδος διπλασιαζομένων ᾖ μήτε τὸν ἥμισυν ἔχῃ περισσόν, ἀρτιάκις τε ἄρτιός ἐστι καὶ ἀρτιάκις περισσός.
如果一个数既不是从二开始成倍增加的数之一，也不具有奇数的二分之一，则它既是偶倍偶数又是偶倍奇数。
ἀριθμὸς γὰρ ὁ Α μήτε τῶν ἀπὸ δυάδος διπλασιαζομένων ἔστω μήτε τὸν ἥμισυν ἐχέτω περισσόν· λέγω, ὅτι ὁ Α ἀρτιάκις τέ ἐστιν ἄρτιος καὶ ἀρτιάκις περισσός.
因为，设数 Α 既不是从二开始成倍增加的数之一，也不具有奇数的二分之一；我声称，Α 既是偶倍偶数又是偶倍奇数。
ὅτι μὲν οὖν ὁ Α ἀρτιάκις ἐστὶν ἄρτιος, φανερόν· τὸν γὰρ ἥμισυν οὐκ ἔχει περισσόν.
显然，Α 是偶倍偶数；因为他不具有奇数的二分之一。
λέγω δή, ὅτι καὶ ἀρτιάκις περισσός ἐστιν.
我声称，它也是偶倍奇数。
ἐὰν γὰρ τὸν Α τέμνωμεν δίχα καὶ τὸν ἥμισυν αὐτοῦ δίχα καὶ τοῦτο ἀεὶ ποιῶμεν, καταντήσομεν εἴς τινα ἀριθμὸν περισσόν, ὃς μετρήσει τὸν Α κατὰ ἄρτιον ἀριθμόν.
因为，如果我们平分 Α，并平分其二分之一，且一直这样做，我们将达到某个奇数，它将以偶数倍整除 Α。
εἰ γὰρ οὔ, καταντήσομεν εἰς δυάδα, καὶ ἔσται ὁ Α τῶν ἀπὸ δυάδος διπλασιαζομένων· ὅπερ οὐχ ὑπόκειται.
因为，如果不是这样，我们将达到二，而 Α 将是从二成倍增加的数之一；但这与假设不符。
ὥστε ὁ Α ἀρτιάκις περισσός ἐστιν.
所以 Α 是偶倍奇数。
ἐδείχθη δὲ καὶ ἀρτιάκις ἄρτιος.
且它也被证明是偶倍偶数。
ὁ Α ἄρα ἀρτιάκις τε ἄρτιός ἐστι καὶ ἀρτιάκις περισσός· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
因此 Α 既是偶倍偶数又是偶倍奇数；这即是所要求证的。
§9.prop.35ἐὰν ὦσιν ὁσοιδηποτοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον, ἀφαιρεθῶσι δὲ ἀπό τε τοῦ δευτέρου καὶ τοῦ ἐσχάτου ἴσοι τῷ πρώτῳ, ἔσται ὡς ἡ τοῦ δευτέρου ὑπεροχὴ πρὸς τὸν πρῶτον, οὕτως ἡ τοῦ ἐσχάτου ὑπεροχὴ πρὸς τοὺς πρὸ ἑαυτοῦ πάντας.
如果有任意多个连续成比例的数，且从第二项和末项中减去与第一项相等的数，那么，第二项的超过与第一项的比，将如末项的超过与在它之前的所有项的比。
ἔστωσαν ὁποσοιδηποτοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον οἱ Α, ΒΓ, Δ, ΕΖ ἀρχόμενοι ἀπὸ ἐλαχίστου τοῦ Α, καὶ ἀφῃρήσθω ἀπὸ τοῦ ΒΓ καὶ τοῦ ΕΖ τῷ Α ἴσος ἑκάτερος τῶν ΒΗ, ΖΘ· λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς ὁ ΗΓ πρὸς τὸν Α, οὕτως ὁ ΕΘ πρὸς τοὺς Α, ΒΓ, Δ.
κείσθω γὰρ τῷ μὲν ΒΓ ἴσος ὁ ΖΚ, τῷ δὲ Δ ἴσος ὁ ΖΛ. καὶ ἐπεὶ ὁ ΖΚ τῷ ΒΓ ἴσος ἐστίν, ὧν ὁ ΖΘ τῷ ΒΗ ἴσος ἐστίν, λοιπὸς ἄρα ὁ ΘΚ λοιπῷ τῷ ΗΓ ἐστιν ἴσος.
设任意多个连续成比例的数为 Α、ΒΓ、Δ、ΕΖ，从最小的 Α 开始，并设从 ΒΓ 和 ΕΖ 中的每一个中减去与 Α 相等的 ΒΗ、ΖΘ；我声称，ΗΓ 与 Α 的比，正如 ΕΘ 与 Α、ΒΓ、Δ的比。 因为，设与 ΒΓ 相等的是 ΖΚ，与 Δ 相等的是 ΖΛ。 而既然 ΖΚ 等于 ΒΓ，其中 ΖΘ 等于 ΒΗ，因此余数 ΘΚ 等于余数 ΗΓ。
καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ὁ ΕΖ πρὸς τὸν Δ, οὕτως ὁ Δ πρὸς τὸν ΒΓ καὶ ὁ ΒΓ πρὸς τὸν Α, ἴσος δὲ ὁ μὲν Δ τῷ ΖΛ, ὁ δὲ ΒΓ τῷ ΖΚ, ὁ δὲ Α τῷ ΖΘ, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ ΕΖ πρὸς τὸν ΖΛ, οὕτως ὁ ΛΖ πρὸς τὸν ΖΚ καὶ ὁ ΖΚ πρὸς τὸν ΖΘ. διελόντι, ὡς ὁ ΕΛ πρὸς τὸν ΛΖ, οὕτως ὁ ΛΚ πρὸς τὸν ΖΚ καὶ ὁ ΚΘ πρὸς τὸν ΖΘ. ἔστιν ἄρα καὶ ὡς εἷς τῶν ἡγουμένων πρὸς ἕνα τῶν ἑπομένων, οὕτως ἅπαντες οἱ ἡγούμενοι πρὸς ἅπαντας τοὺς ἑπομένους· ἔστιν ἄρα ὡς ὁ ΚΘ πρὸς τὸν ΖΘ, οὕτως οἱ ΕΛ, ΛΚ, ΚΘ πρὸς τοὺς ΛΖ, ΖΚ, ΘΖ. ἴσος δὲ ὁ μὲν ΚΘ τῷ ΓΗ, ὁ δὲ ΖΘ τῷ Α, οἱ δὲ ΛΖ, ΖΚ, ΘΖ τοῖς Δ, ΒΓ, Α· ἔστιν ἄρα ὡς ὁ ΓΗ πρὸς τὸν Α, οὕτως ὁ ΕΘ πρὸς τοὺς Δ, ΒΓ, Α. ἔστιν ἄρα ὡς ἡ τοῦ δευτέρου ὑπεροχὴ πρὸς τὸν πρῶτον, οὕτως ἡ τοῦ ἐσχάτου ὑπεροχὴ πρὸς τοὺς πρὸ ἑαυτοῦ πάντας· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
而既然 ΕΖ 与 Δ 的比，正如 Δ 与 ΒΓ、以及 ΒΓ 与 Α 的比，而 Δ 等于 ΖΛ，ΒΓ 等于 ΖΚ，且 Α 等于 ΖΘ，因此，ΕΖ 与 ΖΛ 的比，正如 ΛΖ 与 ΖΚ 以及 ΖΚ 与 ΖΘ 的比。 由分比，则 ΕΛ 与 ΛΖ 的比，正如 ΛΚ 与 ΖΚ、以及 ΚΘ 与 ΖΘ 的比。 因此，这也正如前项中的一项与后项中的一项的比，就是所有前项与所有后项的比；因此，ΚΘ 与 ΖΘ 的比，正如 ΕΛ、ΛΚ、ΚΘ 与 ΛΖ、ΖΚ、ΘΖ 的比。 而 ΚΘ 等于 ΓΗ，ΖΘ 等于 Α，且 ΛΖ、ΖΚ、ΘΖ 分别等于 Δ、ΒΓ、Α；因此， ΓΗ 与 Α 的比，正如 ΕΘ 与 Δ、ΒΓ、Α的比。 因此，第二项的超过与第一项的比，正如末项的超过与在它之前的所有项的比；这即是所要求证的。