§9.prop.27ἐὰν ἀπὸ περισσοῦ ἀριθμοῦ ἄρτιος ἀφαιρεθῇ, ὁ λοιπὸς περισσὸς ἔσται.
如果从奇数中减去偶数，则余数将是奇数。
ἀπὸ γὰρ περισσοῦ τοῦ ΑΒ ἄρτιος ἀφῃρήσθω ὁ ΒΓ· λέγω, ὅτι ὁ λοιπὸς ὁ ΓΑ περισσός ἐστιν.
因为，设从奇数 ΑΒ 中减去偶数 ΒΓ；我声称，余数 ΓΑ 是奇数。
ἀφῃρήσθω μονὰς ἡ ΑΔ· ὁ ΔΒ ἄρα ἄρτιός ἐστιν.
设减去单位 ΑΔ；因此 ΔΒ 是偶数。
ἔστι δὲ καὶ ὁ ΒΓ ἄρτιος· καὶ λοιπὸς ἄρα ὁ ΓΔ ἄρτιός ἐστιν.
但是 ΒΓ 也是偶数；因此余数 ΓΔ 也是偶数。
περισσὸς ἄρα ὁ ΓΑ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
因此 ΓΑ 是奇数；这即是所要求证的。
§9.prop.28ἐὰν περισσὸς ἀριθμὸς ἄρτιον πολλαπλασιάσας ποιῇ τινα, ὁ γενόμενος ἄρτιος ἔσται.
如果奇数乘以偶数得到某个数，则所得到的数将是偶数。
περισσὸς γὰρ ἀριθμὸς ὁ Α ἄρτιον τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ ποιείτω· λέγω, ὅτι ὁ Γ ἄρτιός ἐστιν.
因为，设奇数 Α 乘以偶数 Β 得到 Γ；我声称，Γ 是偶数。
ʼἐπεὶ γὰρ ὁ Α τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν, ὁ Γ ἄρα σύγκειται ἐκ τοσούτων ἴσων τῷ Β, ὅσαι εἰσὶν ἐν τῷ Α μονάδες.
因为，既然 Α 乘以 Β 得到了 Γ，因此 Γ 是由与 Β 相等且个数等于 Α 中的单位数相同的数组成的。
καί ἐστιν ὁ Β ἄρτιος· ὁ Γ ἄρα σύγκειται ἐξ ἀρτίων.
而 Β 是偶数；因此 Γ 是由偶数组成的。
ἐὰν δὲ ἄρτιοι ἀριθμοὶ ὁποσοιοῦν συντεθῶσιν, ὁ ὅλος ἄρτιός ἐστιν.
如果任意多个偶数相加，则其整体为偶数。
ἄρτιος ἄρα ἐστὶν ὁ Γ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
因此 Γ 是偶数；这即是所要求证的。
§9.prop.29ἐὰν περισσὸς ἀριθμὸς περισσὸν ἀριθμὸν πολλαπλασιάσας ποιῇ τινα, ὁ γενόμενος περισσὸς ἔσται.
如果奇数乘以奇数得到某个数，则所得到的数将是奇数。
περισσὸς γὰρ ἀριθμὸς ὁ Α περισσὸν τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ ποιείτω· λέγω, ὅτι ὁ Γ περισσός ἐστιν.
因为，设奇数 Α 乘以奇数 Β 得到 Γ；我声称，Γ 是奇数。
ἐπεὶ γὰρ ὁ Α τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν, ὁ Γ ἄρα σύγκειται ἐκ τοσούτων ἴσων τῷ Β, ὅσαι εἰσὶν ἐν τῷ Α μονάδες.
因为，既然 Α 乘以 Β 得到了 Γ，因此 Γ 是由与 Β 相等且个数等于 Α 中的单位数相同的数组成的。
καί ἐστιν ἑκάτερος τῶν Α, Β περισσός· ὁ Γ ἄρα σύγκειται ἐκ περισσῶν ἀριθμῶν, ὧν τὸ πλῆθος περισσόν ἐστιν.
而 Α、Β 中的每一个都是奇数；因此 Γ 是由个数为奇数的奇数组成的。
ὥστε ὁ Γ περισσός ἐστιν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
所以 Γ 是奇数；这即是所要求证的。
§9.prop.30ἐὰν περισσὸς ἀριθμὸς ἄρτιον ἀριθμὸν μετρῇ, καὶ τὸν ἥμισυν αὐτοῦ μετρήσει.
如果奇数整除偶数，则它也将整除该偶数的二分之一。
περισσὸς γὰρ ἀριθμὸς ὁ Α ἄρτιον τὸν Β μετρείτω· λέγω, ὅτι καὶ τὸν ἥμισυν αὐτοῦ μετρήσει.
因为，设奇数 Α 整除偶数 Β；我声称，它也将整除该偶数的二分之一。
ἐπεὶ γὰρ ὁ Α τὸν Β μετρεῖ, μετρείτω αὐτὸν κατὰ τὸν Γ· λέγω, ὅτι ὁ Γ οὐκ ἔστι περισσός.
因为，既然 Α 整除 Β，设它以倍数 Γ 整除之；我声称，Γ 不是奇数。
εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω.
因为，如果可能，设它是。
καὶ ἐπεὶ ὁ Α τὸν Β μετρεῖ κατὰ τὸν Γ, ὁ Α ἄρα τὸν Γ πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν.
而既然 Α 以倍数 Γ 整除 Β，因此 Α 乘以 Γ 得到了 Β。
ὁ Β ἄρα σύγκειται ἐκ περισσῶν ἀριθμῶν, ὧν τὸ πλῆθος περισσόν ἐστιν.
因此 Β 是由个数为奇数的奇数组成的。
ὁ Β ἄρα περισσός ἐστιν· ὅπερ ἄτοπον· ὑπόκειται γὰρ ἄρτιος.
因此 Β 是奇数；这是荒谬的，因为假设它是偶数。
οὐκ ἄρα ὁ Γ περισσός ἐστιν·
因此 Γ 不是奇数；因此 Γ 是偶数。
ἄρτιος ἄρα ἐστὶν ὁ Γ. ὥστε ὁ Α τὸν Β μετρεῖ ἀρτιάκις.
所以 Α 以偶数倍整除 Β。
διὰ δὴ τοῦτο καὶ τὸν ἥμισυν αὐτοῦ μετρήσει· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
正是由于这个原因，它也将整除其二分之一；这即是所要求证的。
§9.prop.31ἐὰν περισσὸς ἀριθμὸς πρός τινα ἀριθμὸν πρῶτος ᾖ, καὶ πρὸς τὸν διπλασίονα αὐτοῦ πρῶτος ἔσται.
如果一个奇数与某个数互素，则它与该数的二倍也将互素。
περισσὸς γὰρ ἀριθμὸς ὁ Α πρός τινα ἀριθμὸν τὸν Β πρῶτος ἔστω, τοῦ δὲ Β διπλασίων ἔστω ὁ Γ· λέγω, ὅτι ὁ Α πρὸς τὸν Γ πρῶτός ἐστιν.
因为，设奇数 Α 与某个数 Β 互素，且设 Γ 是 Β 的二倍；我声称， Α 与 Γ 互素。
εἰ γὰρ μή εἰσιν πρῶτοι, μετρήσει τις αὐτοὺς ἀριθμός.
因为，如果它们不互素，则将有某个数整除它们。
μετρείτω, καὶ ἔστω ὁ Δ. καί ἐστιν ὁ Α περισσός·
设整除它们，并设它是 Δ。 而 Α 是奇数；因此 Δ 也是奇数。
περισσὸς ἄρα καὶ ὁ Δ. καὶ ἐπεὶ ὁ Δ περισσὸς ὢν τὸν Γ μετρεῖ, καί ἐστιν ὁ Γ ἄρτιος, καὶ τὸν ἥμισυν ἄρα τοῦ Γ μετρήσει.
而既然 Δ 在是奇数的情况下整除 Γ，且 Γ 是偶数，因此它也将整除 Γ 的二分之一。
τοῦ δὲ Γ ἥμισύ ἐστιν ὁ Β· ὁ Δ ἄρα τὸν Β μετρεῖ.
而 Β 是 Γ 的二分之一；因此 Δ 整除 Β。
μετρεῖ δὲ καὶ τὸν Α. ὁ Δ ἄρα τοὺς Α, Β μετρεῖ πρώτους ὄντας πρὸς ἀλλήλους· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
且它也整除 Α。 因此 Δ 整除互素的 Α、Β；这是不可能的。
οὐκ ἄρα ὁ Α πρὸς τὸν Γ πρῶτος οὔκ ἐστιν.
因此，并不是 Α 与 Γ 不是互素。
οἱ Α, Γ ἄρα πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
因此 Α、Γ 彼此互素；这即是所要求证的。
§9.prop.32τῶν ἀπὸ δυάδος διπλασιαζομένων ἀριθμῶν ἕκαστος ἀρτιάκις ἄρτιός ἐστι μόνον.
从二开始成倍增加的数中的每一个都仅是偶倍偶数。
ἀπὸ γὰρ δυάδος τῆς Α δεδιπλασιάσθωσαν ὁσοιδηποτοῦν ἀριθμοὶ οἱ Β, Γ, Δ· λέγω, ὅτι οἱ Β, Γ, Δ ἀρτιάκις ἄρτιοί εἰσι μόνον.
因为，设从二（即 Α）开始成倍增加任意多个数 Β、Γ、Δ；我声称，Β、Γ、Δ 仅是偶倍偶数。
ὅτι μὲν οὖν ἕκαστος ἀρτιάκις ἄρτιός ἐστιν, φανερόν· ἀπὸ γὰρ δυάδος ἐστὶ διπλασιασθείς.
显然，其中的每一个都是偶倍偶数；因为它是从二成倍增加得到的。
λέγω, ὅτι καὶ μόνον.
我声称，它且仅是如此。
ἐκκείσθω γὰρ μονάς.
因为，设给出一个单位。
ἐπεὶ οὖν ἀπὸ μονάδος ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν, ὁ δὲ μετὰ τὴν μονάδα ὁ Α πρῶτός ἐστιν, ὁ μέγιστος τῶν Α, Β, Γ, Δ ὁ Δ ὑπʼ οὐδενὸς ἄλλου μετρηθήσεται παρὲξ τῶν Α, Β, Γ. καί ἐστιν ἕκαστος τῶν Α, Β, Γ ἄρτιος· ὁ Δ ἄρα ἀρτιάκις ἄρτιός ἐστι μόνον.
既然从单位开始任意多个数是连续成比例的，而紧随单位之后的 Α 是素数，那么 Α、Β、Γ、Δ 中的最大者 Δ 将不被除 Α、Β、Γ 以外的任何其他数整除。 而且 Α、Β、Γ 中的每一个都是偶数；因此 Δ 仅是偶倍偶数。
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι ἑκάτερος τῶν Β, Γ ἀρτιάκις ἄρτιός ἐστι μόνον· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
用同样的方法我们也将证明，Β、Γ 中的每一个也仅是偶倍偶数；这即是所要求证的。