§9.prop.33ἐὰν ἀριθμὸς τὸν ἥμισυν ἔχῃ περισσόν, ἀρτιάκις περισσός ἐστι μόνον.
もし数（ある数）がその半分として奇数を持つならば、それは偶数倍奇数であるだけである。
ἀριθμὸς γὰρ ὁ Α τὸν ἥμισυν ἐχέτω περισσόν·
数 Α がその半分として奇数を持つとせよ。
λέγω, ὅτι ὁ Α ἀρτιάκις περισσός ἐστι μόνον.
私は、Α が偶数倍奇数であるだけであると主張する。
ὅτι μὲν οὖν ἀρτιάκις περισσός ἐστιν, φανερόν·
さて、それが偶数倍奇数であることは明らかである。
ὁ γὰρ ἥμισυς αὐτοῦ περισσὸς ὢν μετρεῖ αὐτὸν ἀρτιάκις.
なぜなら、その半分は奇数であり、それを偶数回（2回）測定するからである。
λέγω δή, ὅτι καὶ μόνον.
私は、それのみであると主張する。
εἰ γὰρ ἔσται ὁ Α καὶ ἀρτιάκις ἄρτιος, μετρηθήσεται ὑπὸ ἀρτίου κατὰ ἄρτιον ἀριθμόν·
なぜなら、もし Α が偶数倍偶数でもあるならば、それは偶数によって偶数に応じて測定されるであろう。
ὥστε καὶ ὁ ἥμισυς αὐτοῦ μετρηθήσεται ὑπὸ ἀρτίου ἀριθμοῦ περισσὸς ὤν·
したがって、その半分も、奇数でありながら、偶数によって測定されることになる。
ὅπερ ἐστὶν ἄτοπον.
これは不条理である。
ὁ Α ἄρα ἀρτιάκις περισσός ἐστι μόνον·
したがって、Α は偶数倍奇数であるだけである。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが証明されるべきことであった。
§9.prop.34ἐὰν ἀριθμὸς μήτε τῶν ἀπὸ δυάδος διπλασιαζομένων ᾖ μήτε τὸν ἥμισυν ἔχῃ περισσόν, ἀρτιάκις τε ἄρτιός ἐστι καὶ ἀρτιάκις περισσός.
もし数（ある数）が、2から倍加される数でもなく、その半分として奇数を持つのでもないならば、それは偶数倍偶数であり、かつ偶数倍奇数である。
ἀριθμὸς γὰρ ὁ Α μήτε τῶν ἀπὸ δυάδος διπλασιαζομένων ἔστω μήτε τὸν ἥμισυν ἐχέτω περισσόν·
数の Α は、2から倍加される数でもなく、その半分として奇数を持つのでもないとせよ。
λέγω, ὅτι ὁ Α ἀρτιάκις τέ ἐστιν ἄρτιος καὶ ἀρτιάκις περισσός.
私は、Α が偶数倍偶数であり、かつ偶数倍奇数であると主張する。
ὅτι μὲν οὖν ὁ Α ἀρτιάκις ἐστὶν ἄρτιος, φανερόν·
さて、Α が偶数倍偶数であることは明らかである。
τὸν γὰρ ἥμισυν οὐκ ἔχει περισσόν.
なぜなら、その半分として奇数を持たないからである。
λέγω δή, ὅτι καὶ ἀρτιάκις περισσός ἐστιν.
私は、それが偶数倍奇数でもあると主張する。
ἐὰν γὰρ τὸν Α τέμνωμεν δίχα καὶ τὸν ἥμισυν αὐτοῦ δίχα καὶ τοῦτο ἀεὶ ποιῶμεν, καταντήσομεν εἴς τινα ἀριθμὸν περισσόν, ὃς μετρήσει τὸν Α κατὰ ἄρτιον ἀριθμόν.
なぜなら、もし私たちが Α を二等分し、その半分を二等分し、これを常に行うならば、私たちはある奇数に到達し、その奇数は Α を偶数に応じて測定するからである。
εἰ γὰρ οὔ, καταντήσομεν εἰς δυάδα, καὶ ἔσται ὁ Α τῶν ἀπὸ δυάδος διπλασιαζομένων·
なぜなら、もしそうでなければ、私たちは2に到達し、Α は2から倍加される数の1つになるであろう。
ὅπερ οὐχ ὑπόκειται.
しかし、これは仮定されていない。
ὥστε ὁ Α ἀρτιάκις περισσός ἐστιν.
したがって、Α は偶数倍奇数である。
ἐδείχθη δὲ καὶ ἀρτιάκις ἄρτιος.
そして、それは偶数倍偶数であることも示された。
ὁ Α ἄρα ἀρτιάκις τε ἄρτιός ἐστι καὶ ἀρτιάκις περισσός·
したがって、Α は偶数倍偶数であり、かつ偶数倍奇数である。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが証明されるべきことであった。
§9.prop.35ἐὰν ὦσιν ὁσοιδηποτοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον, ἀφαιρεθῶσι δὲ ἀπό τε τοῦ δευτέρου καὶ τοῦ ἐσχάτου ἴσοι τῷ πρώτῳ, ἔσται ὡς ἡ τοῦ δευτέρου ὑπεροχὴ πρὸς τὸν πρῶτον, οὕτως ἡ τοῦ ἐσχάτου ὑπεροχὴ πρὸς τοὺς πρὸ ἑαυτοῦ πάντας.
もし幾つでも任意の数の、連続して比例する数があり、第2項と末項から第1項に等しい数がそれぞれ引かれるならば、第2項の超過（差）の第1項に対する比は、末項の超過のそれより前にあるすべての項に対する比に等しいであろう。
ἔστωσαν ὁποσοιδηποτοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον οἱ Α, ΒΓ, Δ, ΕΖ ἀρχόμενοι ἀπὸ ἐλαχίστου τοῦ Α, καὶ ἀφῃρήσθω ἀπὸ τοῦ ΒΓ καὶ τοῦ ΕΖ τῷ Α ἴσος ἑκάτερος τῶν ΒΗ, ΖΘ·
最小の Α から始まる、連続して比例する幾つでも任意の数、Α, ΒΓ, Δ, ΕΖ があるとし、ΒΓ と ΕΖ のそれぞれから Α に等しい ΒΗ, ΖΘ が引かれたとせよ。
λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς ὁ ΗΓ πρὸς τὸν Α, οὕτως ὁ ΕΘ πρὸς τοὺς Α, ΒΓ, Δ.
κείσθω γὰρ τῷ μὲν ΒΓ ἴσος ὁ ΖΚ, τῷ δὲ Δ ἴσος ὁ ΖΛ. καὶ ἐπεὶ ὁ ΖΚ τῷ ΒΓ ἴσος ἐστίν, ὧν ὁ ΖΘ τῷ ΒΗ ἴσος ἐστίν, λοιπὸς ἄρα ὁ ΘΚ λοιπῷ τῷ ΗΓ ἐστιν ἴσος.
私は、ΗΓ の Α に対する比は、 ΕΘ の Α, ΒΓ, Δ に対する比に等しいと主張する。 なぜなら、ΒΓ に等しい ΖΚ が、Δ に等しい ΖΛ が置かれたとせよ。 そして、減じられた ΖΘ が ΒΗ に等しいので、したがって残りの ΘΚ は残りの ΗΓ に等しい。
καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ὁ ΕΖ πρὸς τὸν Δ, οὕτως ὁ Δ πρὸς τὸν ΒΓ καὶ ὁ ΒΓ πρὸς τὸν Α, ἴσος δὲ ὁ μὲν Δ τῷ ΖΛ, ὁ δὲ ΒΓ τῷ ΖΚ, ὁ δὲ Α τῷ ΖΘ, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ ΕΖ πρὸς τὸν ΖΛ, οὕτως ὁ ΛΖ πρὸς τὸν ΖΚ καὶ ὁ ΖΚ πρὸς τὸν ΖΘ. διελόντι, ὡς ὁ ΕΛ πρὸς τὸν ΛΖ, οὕτως ὁ ΛΚ πρὸς τὸν ΖΚ καὶ ὁ ΚΘ πρὸς τὸν ΖΘ. ἔστιν ἄρα καὶ ὡς εἷς τῶν ἡγουμένων πρὸς ἕνα τῶν ἑπομένων, οὕτως ἅπαντες οἱ ἡγούμενοι πρὸς ἅπαντας τοὺς ἑπομένους·
そして、ΕΖ の Δ に対する比は、Δ の ΒΓ に対する比に等しく、ΒΓ の Α に対する比に等しく、かつ、Δ は ΖΛ に等しく、ΒΓ は ΖΚ に等しく、Α は ΖΘ に等しいので、したがって、ΕΖ の ΖΛ に対する比は、ΛΖ の ΖΚ に対する比に等しく、ΖΚ の ΖΘ に対する比に等しい。 比を分ければ、ΕΛ の ΛΖ に対する比は、ΛΚ の ΖΚ に対する比に等しく、ΚΘ の ΖΘ に対する比に等しい。 したがって、前項の1つが後項の1つに対する比は、すべての前項のすべての後項に対する比に等しい。
ἔστιν ἄρα ὡς ὁ ΚΘ πρὸς τὸν ΖΘ, οὕτως οἱ ΕΛ, ΛΚ, ΚΘ πρὸς τοὺς ΛΖ, ΖΚ, ΘΖ. ἴσος δὲ ὁ μὲν ΚΘ τῷ ΓΗ, ὁ δὲ ΖΘ τῷ Α, οἱ δὲ ΛΖ, ΖΚ, ΘΖ τοῖς Δ, ΒΓ, Α·
したがって、ΚΘ の ΖΘ に対する比は、ΕΛ, ΛΚ, ΚΘ の ΛΖ, ΖΚ, ΘΖ に対する比に等しい。
ἔστιν ἄρα ὡς ὁ ΓΗ πρὸς τὸν Α, οὕτως ὁ ΕΘ πρὸς τοὺς Δ, ΒΓ, Α. ἔστιν ἄρα ὡς ἡ τοῦ δευτέρου ὑπεροχὴ πρὸς τὸν πρῶτον, οὕτως ἡ τοῦ ἐσχάτου ὑπεροχὴ πρὸς τοὺς πρὸ ἑαυτοῦ πάντας·
そして、ΚΘ は ΓΗ に等しく、ΖΘ は Α に等しく、ΛΖ, ΖΚ, ΘΖ は Δ, ΒΓ, Α にそれぞれ等しいので、したがって、 ΓΗ の Α に対する比は、ΕΘ の Δ, ΒΓ, Α に対する比に等しい。 したがって、第2項の超過の第1項に対する比は、末項の超過のそれより前にあるすべての項に対する比に等しい。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが証明されるべきことであった。