§9.prop.33ἐὰν ἀριθμὸς τὸν ἥμισυν ἔχῃ περισσόν, ἀρτιάκις περισσός ἐστι μόνον.
만일 어떤 수가 그 절반으로 홀수를 가지면, 그것은 오직 짝수 번 홀수일 뿐이다.
ἀριθμὸς γὰρ ὁ Α τὸν ἥμισυν ἐχέτω περισσόν·
왜냐하면 어떤 수 Α가 그 절반으로 홀수를 가진다고 하자.
λέγω, ὅτι ὁ Α ἀρτιάκις περισσός ἐστι μόνον.
나는 Α가 오직 짝수 번 홀수일 뿐이라고 주장한다.
ὅτι μὲν οὖν ἀρτιάκις περισσός ἐστιν, φανερόν·
이제 그것이 짝수 번 홀수임은 명백하다.
ὁ γὰρ ἥμισυς αὐτοῦ περισσὸς ὢν μετρεῖ αὐτὸν ἀρτιάκις.
왜냐하면 그것의 절반은 홀수이면서 그것을 짝수 번 측정하기 때문이다.
λέγω δή, ὅτι καὶ μόνον.
나는 오직 그뿐이라고 주장한다.
εἰ γὰρ ἔσται ὁ Α καὶ ἀρτιάκις ἄρτιος, μετρηθήσεται ὑπὸ ἀρτίου κατὰ ἄρτιον ἀριθμόν·
왜냐하면 만일 Α가 짝수 번 짝수이기도 하다면, 그것은 짝수에 의해 짝수 번으로 측정될 것이기 때문이다.
ὥστε καὶ ὁ ἥμισυς αὐτοῦ μετρηθήσεται ὑπὸ ἀρτίου ἀριθμοῦ περισσὸς ὤν· ὅπερ ἐστὶν ἄτοπον.
따라서 그것의 절반도 홀수이면서 짝수에 의해 측정될 것인데, 이는 모순이다.
ὁ Α ἄρα ἀρτιάκις περισσός ἐστι μόνον·
그러므로 Α는 오직 짝수 번 홀수일 뿐이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하려던 바였다.
§9.prop.34ἐὰν ἀριθμὸς μήτε τῶν ἀπὸ δυάδος διπλασιαζομένων ᾖ μήτε τὸν ἥμισυν ἔχῃ περισσόν, ἀρτιάκις τε ἄρτιός ἐστι καὶ ἀρτιάκις περισσός.
만일 어떤 수가 2에서 출발하여 두 배씩 늘어나는 수 중 하나도 아니고 그 절반으로 홀수를 가지지도 않는다면, 그것은 짝수 번 짝수이면서 짝수 번 홀수이다.
ἀριθμὸς γὰρ ὁ Α μήτε τῶν ἀπὸ δυάδος διπλασιαζομένων ἔστω μήτε τὸν ἥμισυν ἐχέτω περισσόν·
왜냐하면 어떤 수 Α가 2에서 출발하여 두 배씩 늘어나는 수 중 하나도 아니고 그 절반으로 홀수를 가지지도 않는다고 하자.
λέγω, ὅτι ὁ Α ἀρτιάκις τέ ἐστιν ἄρτιος καὶ ἀρτιάκις περισσός.
나는 Α가 짝수 번 짝수이면서 짝수 번 홀수라고 주장한다.
ὅτι μὲν οὖν ὁ Α ἀρτιάκις ἐστὶν ἄρτιος, φανερόν·
이제 Α가 짝수 번 짝수임은 명백하다.
τὸν γὰρ ἥμισυν οὐκ ἔχει περισσόν.
왜냐하면 그것은 그 절반으로 홀수를 가지지 않기 때문이다.
λέγω δή, ὅτι καὶ ἀρτιάκις περισσός ἐστιν.
나는 그것이 짝수 번 홀수이기도 하다고 주장한다.
ἐὰν γὰρ τὸν Α τέμνωμεν δίχα καὶ τὸν ἥμισυν αὐτοῦ δίχα καὶ τοῦτο ἀεὶ ποιῶμεν, καταντήσομεν εἴς τινα ἀριθμὸν περισσόν, ὃς μετρήσει τὸν Α κατὰ ἄρτιον ἀριθμόν.
왜냐하면 만일 우리가 Α를 이등분하고, 그 절반을 이등분하고, 이 과정을 계속해 나간다면, 우리는 어떤 홀수에 도달할 것이고, 그 홀수는 Α를 짝수 번으로 측정할 것이기 때문이다.
εἰ γὰρ οὔ, καταντήσομεν εἰς δυάδα, καὶ ἔσται ὁ Α τῶν ἀπὸ δυάδος διπλασιαζομένων· ὅπερ οὐχ ὑπόκειται.
왜냐하면 만일 그렇지 않다면, 우리는 2에 도달할 것이고, Α는 2에서 출발하여 두 배씩 늘어나는 수 중 하나가 될 것인데, 이는 가정과 모순되기 때문이다.
ὥστε ὁ Α ἀρτιάκις περισσός ἐστιν.
따라서 Α는 짝수 번 홀수이다.
ἐδείχθη δὲ καὶ ἀρτιάκις ἄρτιος.
그런데 그것은 또한 짝수 번 짝수임도 증명되었다.
ὁ Α ἄρα ἀρτιάκις τε ἄρτιός ἐστι καὶ ἀρτιάκις περισσός·
그러므로 Α는 짝수 번 짝수이면서 짝수 번 홀수이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하려던 바였다.
§9.prop.35ἐὰν ὦσιν ὁσοιδηποτοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον, ἀφαιρεθῶσι δὲ ἀπό τε τοῦ δευτέρου καὶ τοῦ ἐσχάτου ἴσοι τῷ πρώτῳ, ἔσται ὡς ἡ τοῦ δευτέρου ὑπεροχὴ πρὸς τὸν πρῶτον, οὕτως ἡ τοῦ ἐσχάτου ὑπεροχὴ πρὸς τοὺς πρὸ ἑαυτοῦ πάντας.
만일 몇 개든 상관없이 수들이 연속하여 비례를 이루고, 둘째 수와 마지막 수에서 첫째 수와 같은 수들이 빼진다면, 둘째 수의 차이와 첫째 수의 비는 마지막 수의 차이와 자기 앞의 모든 수들의 비와 같을 것이다.
ἔστωσαν ὁποσοιδηποτοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον οἱ Α, ΒΓ, Δ, ΕΖ ἀρχόμενοι ἀπὸ ἐλαχίστου τοῦ Α, καὶ ἀφῃρήσθω ἀπὸ τοῦ ΒΓ καὶ τοῦ ΕΖ τῷ Α ἴσος ἑκάτερος τῶν ΒΗ, ΖΘ·
최소인 Α에서 시작하여 몇 개든 연속하여 비례를 이루는 수들 Α, ΒΓ, Δ, ΕΖ가 있다고 하고, ΒΓ와 ΕΖ의 각각에서 Α와 같은 ΒΗ, ΖΘ가 빼졌다고 하자.
λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς ὁ ΗΓ πρὸς τὸν Α, οὕτως ὁ ΕΘ πρὸς τοὺς Α, ΒΓ, Δ.
κείσθω γὰρ τῷ μὲν ΒΓ ἴσος ὁ ΖΚ, τῷ δὲ Δ ἴσος ὁ ΖΛ. καὶ ἐπεὶ ὁ ΖΚ τῷ ΒΓ ἴσος ἐστίν, ὧν ὁ ΖΘ τῷ ΒΗ ἴσος ἐστίν, λοιπὸς ἄρα ὁ ΘΚ λοιπῷ τῷ ΗΓ ἐστιν ἴσος.
나는 ΗΓ와 Α의 비는 ΕΘ와 Α, ΒΓ, Δ의 비와 같다고 주장한다. 왜냐하면 ΒΓ와 같은 ΖΚ가 설정되고, Δ와 같은 ΖΛ이 설정되었다고 하자. 그리고 ΖΚ가 ΒΓ와 같고, 이 중 ΖΘ가 ΒΗ와 같으므로, 남은 ΘΚ는 남은 ΗΓ와 같다.
καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ὁ ΕΖ πρὸς τὸν Δ, οὕτως ὁ Δ πρὸς τὸν ΒΓ καὶ ὁ ΒΓ πρὸς τὸν Α, ἴσος δὲ ὁ μὲν Δ τῷ ΖΛ, ὁ δὲ ΒΓ τῷ ΖΚ, ὁ δὲ Α τῷ ΖΘ, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ ΕΖ πρὸς τὸν ΖΛ, οὕτως ὁ ΛΖ πρὸς τὸν ΖΚ καὶ ὁ ΖΚ πρὸς τὸν ΖΘ. διελόντι, ὡς ὁ ΕΛ πρὸς τὸν ΛΖ, οὕτως ὁ ΛΚ πρὸς τὸν ΖΚ καὶ ὁ ΚΘ πρὸς τὸν ΖΘ. ἔστιν ἄρα καὶ ὡς εἷς τῶν ἡγουμένων πρὸς ἕνα τῶν ἑπομένων, οὕτως ἅπαντες οἱ ἡγούμενοι πρὸς ἅπαντας τοὺς ἑπομένους·
그리고 ΕΖ와 Δ의 비는 Δ와 ΒΓ, ΒΓ와 Α의 비와 같고, Δ는 ΖΛ과 같고, ΒΓ는 ΖΚ와 같고, Α는 ΖΘ와 같으므로, ΕΖ와 ΖΛ의 비는 ΛΖ와 ΖΚ, ΖΚ와 ΖΘ의 비와 같다. 비를 분리하면, ΕΛ과 ΛΖ의 비는 ΛΚ와 ΖΚ, ΚΘ와 ΖΘ의 비와 같다. 그러므로 전항들 중 하나와 후항들 중 하나의 비는 모든 전항들과 모든 후항들의 비와 같다.
ἔστιν ἄρα ὡς ὁ ΚΘ πρὸς τὸν ΖΘ, οὕτως οἱ ΕΛ, ΛΚ, ΚΘ πρὸς τοὺς ΛΖ, ΖΚ, ΘΖ. ἴσος δὲ ὁ μὲν ΚΘ τῷ ΓΗ, ὁ δὲ ΖΘ τῷ Α, οἱ δὲ ΛΖ, ΖΚ, ΘΖ τοῖς Δ, ΒΓ, Α·
그러므로 ΚΘ와 ΖΘ의 비는 ΕΛ, ΛΚ, ΚΘ와 ΛΖ, ΖΚ, ΘΖ의 비와 같다. 그런데 ΚΘ는 ΓΗ와 같고, ΖΘ는 Α와 같으며, ΛΖ, ΖΚ, ΘΖ는 각각 Δ, ΒΓ, Α와 같으므로, ΓΗ와 Α의 비는 ΕΘ와 Δ, ΒΓ, Α의 비와 같다.
ἔστιν ἄρα ὡς ὁ ΓΗ πρὸς τὸν Α, οὕτως ὁ ΕΘ πρὸς τοὺς Δ, ΒΓ, Α. ἔστιν ἄρα ὡς ἡ τοῦ δευτέρου ὑπεροχὴ πρὸς τὸν πρῶτον, οὕτως ἡ τοῦ ἐσχάτου ὑπεροχὴ πρὸς τοὺς πρὸ ἑαυτοῦ πάντας·
그러므로 둘째 수의 차이와 첫째 수의 비는 마지막 수의 차이와 자기 앞의 모든 수들의 비와 같다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하려던 바였다.