§9.prop.20οἱ πρῶτοι ἀριθμοὶ πλείους εἰσὶ παντὸς τοῦ προτεθέντος πλήθους πρώτων ἀριθμῶν.
素数多于任何给定的素数个数。
ἔστωσαν οἱ προτεθέντες πρῶτοι ἀριθμοὶ οἱ Α, Β, Γ· λέγω, ὅτι τῶν Α, Β, Γ πλείους εἰσὶ πρῶτοι ἀριθμοί.
设给定的素数为 Α、Β、Γ；我声称，存在比 Α、Β、Γ 更多的素数。
εἰλήφθω γὰρ ὁ ὑπὸ τῶν Α, Β, Γ ἐλάχιστος μετρούμενος καὶ ἔστω ὁ ΔΕ, καὶ προσκείσθω τῷ ΔΕ μονὰς ἡ ΔΖ. ὁ δὴ ΕΖ ἤτοι πρῶτός ἐστιν ἢ οὔ.
因为，设取了被 Α、Β、Γ 整除的最小数，并设它为 ΔΕ，且设在 ΔΕ 上加上单位 ΔΖ。 那么 ΕΖ 或者是个素数，或者不是。
ἔστω πρότερον πρῶτος· εὑρημένοι ἄρα εἰσὶ πρῶτοι ἀριθμοὶ οἱ Α, Β, Γ, ΕΖ πλείους τῶν Α, Β, Γ.
ἀλλὰ δὴ μὴ ἔστω ὁ ΕΖ πρῶτος· ὑπὸ πρώτου ἄρα τινὸς ἀριθμοῦ μετρεῖται.
首先，设它是素数；因此，找到了比 Α、Β、Γ 更多的素数 Α、Β、Γ、ΕΖ。 但是确实，设 ΕΖ 不是素数；因此它被某个素数整除。
μετρείσθω ὑπὸ πρώτου τοῦ Η· λέγω, ὅτι ὁ Η οὐδενὶ τῶν Α, Β, Γ ἐστιν ὁ αὐτός.
设它被素数 Η 整除；我声称，Η 与 Α、Β、Γ 中的任何一个都不相同。
εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω.
因为，如果可能，设它相同。
οἱ δὲ Α, Β, Γ τὸν ΔΕ μετροῦσιν· καὶ ὁ Η ἄρα τὸν ΔΕ μετρήσει.
但是 Α、Β、Γ 整除 ΔΕ；因此 Η 也将整除 ΔΕ。
μετρεῖ δὲ καὶ τὸν ΕΖ· καὶ λοιπὴν τὴν ΔΖ μονάδα μετρήσει ὁ Η ἀριθμὸς ὤν· ὅπερ ἄτοπον.
而且它也整除 ΕΖ；因此，作为数的 Η 也将整除剩下的单位 ΔΖ；这是荒谬的。
οὐκ ἄρα ὁ Η ἑνὶ τῶν Α, Β, Γ ἐστιν ὁ αὐτός.
因此，Η 与 Α、Β、Γ 中的任何一个都不相同。
καὶ ὑπόκειται πρῶτος.
且它被假定为素数。
εὑρημένοι ἄρα εἰσὶ πρῶτοι ἀριθμοὶ πλείους τοῦ προτεθέντος πλήθους τῶν Α, Β, Γ οἱ Α, Β, Γ, Η· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
因此，找到了比给定的 Α、Β、Γ 个数更多的素数 Α、Β、Γ、Η；这即是所要求证的。
§9.prop.21ἐὰν ἄρτιοι ἀριθμοὶ ὁποσοιοῦν συντεθῶσιν, ὁ ὅλος ἄρτιός ἐστιν.
如果任意多个偶数相加，则其整体为偶数。
Συγκείσθωσαν γὰρ ἄρτιοι ἀριθμοὶ ὁποσοιοῦν οἱ ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ· λέγω, ὅτι ὅλος ὁ ΑΕ ἄρτιός ἐστιν.
因为，设任意多个偶数 ΑΒ、ΒΓ、ΓΔ、ΔΕ 相加；我声称，整体 ΑΕ 是偶数。
ἐπεὶ γὰρ ἕκαστος τῶν ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ ἄρτιός ἐστιν, ἔχει μέρος ἥμισυ· ὥστε καὶ ὅλος ὁ ΑΕ ἔχει μέρος ἥμισυ.
因为，既然 ΑΒ、ΒΓ、ΓΔ、ΔΕ 中的每一个都是偶数，它就有一个二分之一的部分；所以整体 ΑΕ 也有一个二分之一的部分。
ἄρτιος δὲ ἀριθμός ἐστιν ὁ δίχα διαιρούμενος· ἄρτιος ἄρα ἐστὶν ὁ ΑΕ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
而偶数就是能被平分的数；因此 ΑΕ 是偶数；这即是所要求证的。
§9.prop.22ἐὰν περισσοὶ ἀριθμοὶ ὁποσοιοῦν συντεθῶσιν, τὸ δὲ πλῆθος αὐτῶν ἄρτιον ᾖ, ὁ ὅλος ἄρτιος ἔσται.
如果任意多个奇数相加，且它们的个数是偶数，则整体将是偶数。
Συγκείσθωσαν γὰρ περισσοὶ ἀριθμοὶ ὁσοιδηποτοῦν ἄρτιοι τὸ πλῆθος οἱ ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ· λέγω, ὅτι ὅλος ὁ ΑΕ ἄρτιός ἐστιν.
因为，设个数为偶数的任意多个奇数 ΑΒ、ΒΓ、ΓΔ、ΔΕ 相加；我声称，整体 ΑΕ 是偶数。
ἐπεὶ γὰρ ἕκαστος τῶν ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ περιττός ἐστιν, ἀφαιρεθείσης μονάδος ἀφʼ ἑκάστου ἕκαστος τῶν λοιπῶν ἄρτιος ἔσται· ὥστε καὶ ὁ συγκείμενος ἐξ αὐτῶν ἄρτιος ἔσται.
因为，既然 ΑΒ、ΒΓ、ΓΔ、ΔΕ 中的每一个都是奇数，如果从每一个中减去一个单位，则剩下的每一个都将是偶数；所以由它们组成的数也将是偶数。
ἔστι δὲ καὶ τὸ πλῆθος τῶν μονάδων ἄρτιον.
但是减去的单位个数也是偶数。
καὶ ὅλος ἄρα ὁ ΑΕ ἄρτιός ἐστιν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
因此整体 ΑΕ 也是偶数；这即是所要求证的。
§9.prop.23ἐὰν περισσοὶ ἀριθμοὶ ὁποσοιοῦν συντεθῶσιν, τὸ δὲ πλῆθος αὐτῶν περισσὸν ᾖ, καὶ ὁ ὅλος περισσὸς ἔσται.
如果任意多个奇数相加，且它们的个数是奇数，则整体也将是奇数。
Συγκείσθωσαν γὰρ ὁποσοιοῦν περισσοὶ ἀριθμοί, ὧν τὸ πλῆθος περισσὸν ἔστω, οἱ ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ· λέγω, ὅτι καὶ ὅλος ὁ ΑΔ περισσός ἐστιν.
因为，设任意多个奇数相加，且它们的个数是奇数，设它们为 ΑΒ、ΒΓ、ΓΔ；我声称，整体 ΑΔ 也是奇数。
ἀφῃρήσθω ἀπὸ τοῦ ΓΔ μονὰς ἡ ΔΕ· λοιπὸς ἄρα ὁ ΓΕ ἄρτιός ἐστιν.
设从 ΓΔ 中减去单位 ΔΕ；因此剩下的 ΓΕ 是偶数。
ἔστι δὲ καὶ ὁ ΓΑ ἄρτιος· καὶ ὅλος ἄρα ὁ ΑΕ ἄρτιός ἐστιν.
但是 ΓΑ 也是偶数；因此整体 ΑΕ 也是偶数。
καί ἐστι μονὰς ἡ ΔΕ. περισσὸς ἄρα ἐστὶν ὁ ΑΔ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
而 ΔΕ 是单位；因此 ΑΔ 是奇数；这即是所要求证的。
§9.prop.24ἐὰν ἀπὸ ἀρτίου ἀριθμοῦ ἄρτιος ἀφαιρεθῇ, ὁ λοιπὸς ἄρτιος ἔσται.
如果从偶数中减去偶数，则余数将是偶数。
ἀπὸ γὰρ ἀρτίου τοῦ ΑΒ ἄρτιος ἀφῃρήσθω ὁ ΒΓ· λέγω, ὅτι ὁ λοιπὸς ὁ ΓΑ ἄρτιός ἐστιν.
因为，设从偶数 ΑΒ 中减去偶数 ΒΓ；我声称，余数 ΓΑ 是偶数。
ἐπεὶ γὰρ ὁ ΑΒ ἄρτιός ἐστιν, ἔχει μέρος ἥμισυ.
因为，既然 ΑΒ 是偶数，它就有一个二分之一的部分。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁ ΒΓ ἔχει μέρος ἥμισυ· ὥστε καὶ λοιπὸς ἄρτιος ἐστὶν ὁ ΑΓ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
由于同样的原因，ΒΓ 也有一个二分之一的部分；所以余数 ΑΓ 也是偶数；这即是所要求证的。
§9.prop.25ἐὰν ἀπὸ ἀρτίου ἀριθμοῦ περισσὸς ἀφαιρεθῇ, ὁ λοιπὸς περισσὸς ἔσται.
如果从偶数中减去奇数，则余数将是奇数。
ἀπὸ γὰρ ἀρτίου τοῦ ΑΒ περισσὸς ἀφῃρήσθω ὁ ΒΓ· λέγω, ὅτι ὁ λοιπὸς ὁ ΓΑ περισσός ἐστιν.
因为，设从偶数 ΑΒ 中减去奇数 ΒΓ；我声称，余数 ΓΑ 是奇数。
ἀφῃρήσθω γὰρ ἀπὸ τοῦ ΒΓ μονὰς ἡ ΓΔ· ὁ ΔΒ ἄρα ἄρτιός ἐστιν.
因为，设从 ΒΓ 中减去单位 ΓΔ；因此 ΔΒ 是偶数。
ἔστι δὲ καὶ ὁ ΑΒ ἄρτιος· καὶ λοιπὸς ἄρα ὁ ΑΔ ἄρτιός ἐστιν.
但是 ΑΒ 也是偶数；因此余数 ΑΔ 也是偶数。
καί ἐστι μονὰς ἡ ΓΔ· ὁ ΓΑ ἄρα περισσός ἐστιν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
而 ΓΔ 是单位；因此 ΓΑ 是奇数；这即是所要求证的。
§9.prop.26ἐὰν ἀπὸ περισσοῦ ἀριθμοῦ περισσὸς ἀφαιρεθῇ, ὁ λοιπὸς ἄρτιος ἔσται.
如果从奇数中减去奇数，则余数将是偶数。
ἀπὸ γὰρ περισσοῦ τοῦ ΑΒ περισσὸς ἀφῃρήσθω ὁ ΒΓ· λέγω, ὅτι ὁ λοιπὸς ὁ ΓΑ ἄρτιός ἐστιν.
因为，设从奇数 ΑΒ 中减去奇数 ΒΓ；我声称，余数 ΓΑ 是偶数。
ἐπεὶ γὰρ ὁ ΑΒ περισσός ἐστιν, ἀφῃρήσθω μονὰς ἡ ΒΔ· λοιπὸς ἄρα ὁ ΑΔ ἄρτιός ἐστιν.
因为，既然 ΑΒ 是奇数，设减去单位 ΒΔ；因此余数 ΑΔ 是偶数。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁ ΓΔ ἄρτιός ἐστιν· ὥστε καὶ λοιπὸς ὁ ΓΑ ἄρτιός ἐστιν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
由于同样的原因，ΓΔ 也是偶数；所以余数 ΓΑ 也是偶数；这即是所要求证的。