§9.prop.27ἐὰν ἀπὸ περισσοῦ ἀριθμοῦ ἄρτιος ἀφαιρεθῇ, ὁ λοιπὸς περισσὸς ἔσται. ἀπὸ γὰρ περισσοῦ τοῦ ΑΒ ἄρτιος ἀφῃρήσθω ὁ ΒΓ· λέγω, ὅτι ὁ λοιπὸς ὁ ΓΑ περισσός ἐστιν. ἀφῃρήσθω μονὰς ἡ ΑΔ· ὁ ΔΒ ἄρα ἄρτιός ἐστιν. ἔστι δὲ καὶ ὁ ΒΓ ἄρτιος· καὶ λοιπὸς ἄρα ὁ ΓΔ ἄρτιός ἐστιν. περισσὸς ἄρα ὁ ΓΑ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. §9.prop.28ἐὰν περισσὸς ἀριθμὸς ἄρτιον πολλαπλασιάσας ποιῇ τινα, ὁ γενόμενος ἄρτιος ἔσται. περισσὸς γὰρ ἀριθμὸς ὁ Α ἄρτιον τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ ποιείτω· λέγω, ὅτι ὁ Γ ἄρτιός ἐστιν. ʼἐπεὶ γὰρ ὁ Α τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν, ὁ Γ ἄρα σύγκειται ἐκ τοσούτων ἴσων τῷ Β, ὅσαι εἰσὶν ἐν τῷ Α μονάδες. καί ἐστιν ὁ Β ἄρτιος· ὁ Γ ἄρα σύγκειται ἐξ ἀρτίων. ἐὰν δὲ ἄρτιοι ἀριθμοὶ ὁποσοιοῦν συντεθῶσιν, ὁ ὅλος ἄρτιός ἐστιν. ἄρτιος ἄρα ἐστὶν ὁ Γ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. §9.prop.29ἐὰν περισσὸς ἀριθμὸς περισσὸν ἀριθμὸν πολλαπλασιάσας ποιῇ τινα, ὁ γενόμενος περισσὸς ἔσται. περισσὸς γὰρ ἀριθμὸς ὁ Α περισσὸν τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ ποιείτω· λέγω, ὅτι ὁ Γ περισσός ἐστιν. ἐπεὶ γὰρ ὁ Α τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν, ὁ Γ ἄρα σύγκειται ἐκ τοσούτων ἴσων τῷ Β, ὅσαι εἰσὶν ἐν τῷ Α μονάδες. καί ἐστιν ἑκάτερος τῶν Α, Β περισσός· ὁ Γ ἄρα σύγκειται ἐκ περισσῶν ἀριθμῶν, ὧν τὸ πλῆθος περισσόν ἐστιν. ὥστε ὁ Γ περισσός ἐστιν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. §9.prop.30ἐὰν περισσὸς ἀριθμὸς ἄρτιον ἀριθμὸν μετρῇ, καὶ τὸν ἥμισυν αὐτοῦ μετρήσει. περισσὸς γὰρ ἀριθμὸς ὁ Α ἄρτιον τὸν Β μετρείτω· λέγω, ὅτι καὶ τὸν ἥμισυν αὐτοῦ μετρήσει. ἐπεὶ γὰρ ὁ Α τὸν Β μετρεῖ, μετρείτω αὐτὸν κατὰ τὸν Γ· λέγω, ὅτι ὁ Γ οὐκ ἔστι περισσός. εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω. καὶ ἐπεὶ ὁ Α τὸν Β μετρεῖ κατὰ τὸν Γ, ὁ Α ἄρα τὸν Γ πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν. ὁ Β ἄρα σύγκειται ἐκ περισσῶν ἀριθμῶν, ὧν τὸ πλῆθος περισσόν ἐστιν. ὁ Β ἄρα περισσός ἐστιν· ὅπερ ἄτοπον· ὑπόκειται γὰρ ἄρτιος. οὐκ ἄρα ὁ Γ περισσός ἐστιν· ἄρτιος ἄρα ἐστὶν ὁ Γ. ὥστε ὁ Α τὸν Β μετρεῖ ἀρτιάκις. διὰ δὴ τοῦτο καὶ τὸν ἥμισυν αὐτοῦ μετρήσει· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. §9.prop.31ἐὰν περισσὸς ἀριθμὸς πρός τινα ἀριθμὸν πρῶτος ᾖ, καὶ πρὸς τὸν διπλασίονα αὐτοῦ πρῶτος ἔσται. περισσὸς γὰρ ἀριθμὸς ὁ Α πρός τινα ἀριθμὸν τὸν Β πρῶτος ἔστω, τοῦ δὲ Β διπλασίων ἔστω ὁ Γ· λέγω, ὅτι ὁ Α πρὸς τὸν Γ πρῶτός ἐστιν. εἰ γὰρ μή εἰσιν πρῶτοι, μετρήσει τις αὐτοὺς ἀριθμός. μετρείτω, καὶ ἔστω ὁ Δ. καί ἐστιν ὁ Α περισσός· περισσὸς ἄρα καὶ ὁ Δ. καὶ ἐπεὶ ὁ Δ περισσὸς ὢν τὸν Γ μετρεῖ, καί ἐστιν ὁ Γ ἄρτιος, καὶ τὸν ἥμισυν ἄρα τοῦ Γ μετρήσει. τοῦ δὲ Γ ἥμισύ ἐστιν ὁ Β· ὁ Δ ἄρα τὸν Β μετρεῖ. μετρεῖ δὲ καὶ τὸν Α. ὁ Δ ἄρα τοὺς Α, Β μετρεῖ πρώτους ὄντας πρὸς ἀλλήλους· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα ὁ Α πρὸς τὸν Γ πρῶτος οὔκ ἐστιν. οἱ Α, Γ ἄρα πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. §9.prop.32τῶν ἀπὸ δυάδος διπλασιαζομένων ἀριθμῶν ἕκαστος ἀρτιάκις ἄρτιός ἐστι μόνον. ἀπὸ γὰρ δυάδος τῆς Α δεδιπλασιάσθωσαν ὁσοιδηποτοῦν ἀριθμοὶ οἱ Β, Γ, Δ· λέγω, ὅτι οἱ Β, Γ, Δ ἀρτιάκις ἄρτιοί εἰσι μόνον. ὅτι μὲν οὖν ἕκαστος ἀρτιάκις ἄρτιός ἐστιν, φανερόν· ἀπὸ γὰρ δυάδος ἐστὶ διπλασιασθείς. λέγω, ὅτι καὶ μόνον. ἐκκείσθω γὰρ μονάς. ἐπεὶ οὖν ἀπὸ μονάδος ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν, ὁ δὲ μετὰ τὴν μονάδα ὁ Α πρῶτός ἐστιν, ὁ μέγιστος τῶν Α, Β, Γ, Δ ὁ Δ ὑπʼ οὐδενὸς ἄλλου μετρηθήσεται παρὲξ τῶν Α, Β, Γ. καί ἐστιν ἕκαστος τῶν Α, Β, Γ ἄρτιος· ὁ Δ ἄρα ἀρτιάκις ἄρτιός ἐστι μόνον. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι ἑκάτερος τῶν Β, Γ ἀρτιάκις ἄρτιός ἐστι μόνον· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
奇数から偶数が引かれるならば、残りは奇数となるであろう。なぜなら、奇数ΑΒから偶数ΒΓが引かれたとせよ。私は、残りのΓΑが奇数であると主張する。 ¦5 単位ΑΔが引かれたとせよ。したがって、ΔΒは偶数である。しかしΒΓもまた偶数である。したがって、残りのΓΔもまた偶数である。したがって、ΓΑは奇数である。これが証明されるべきことであった。奇数が偶数を掛けてある数を作るならば、生成された数は偶数となるであろう。なぜなら、奇数Αが偶数Βを掛けてΓを作るとせよ。私は、Γが偶数であると主張する。なぜなら、ΑがΒを掛けてΓを作ったので、ΓはΑの中にある単位の数に等しいだけの、Βに等しい数から構成される。そしてΒは偶数である。したがって、Γは偶数から構成される。そして、偶数が ¦10 いくつ足し合わされても、全体は偶数である。したがって、Γは偶数である。これが証明されるべきことであった。奇数が奇数を掛けてある数を作るならば、生成された数は奇数となるであろう。なぜなら、奇数Αが奇数Βを掛けて ¦5 Γを作るとせよ。私は、Γが奇数であると主張する。なぜなら、ΑがΒを掛けてΓを作ったので、ΓはΑの中にある単位の数に等しいだけの、Βに等しい数から構成される。そしてΑ、Βのそれぞれは奇数である。 ¦10 したがって、Γは、その個数が奇数であるような奇数から構成される。それゆえ、Γは奇数である。これが証明されるべきことであった。奇数が偶数を割り切るならば、それはその半分をも割り切るであろう。なぜなら、奇数Αが偶数Βを割り切るとせよ。私は、それがその半分をも割り切るであろうと主張する。 ¦5 なぜなら、ΑがΒを割り切するので、それをΓ倍として割り切るとせよ。私は、Γが奇数ではないと主張する。なぜなら、可能ならば、そうであるとせよ。そしてΑがΒをΓ倍として割り切るので、ΑはΓを掛けてΒを作った。したがって、Βは、その個数が奇数であるような ¦10 奇数から構成される。したがって、Βは奇数である。これは不合理である。なぜなら、それは偶数と仮定されているからである。したがって、Γは奇数ではない。したがって、Γは偶数である。それゆえ、ΑはΒを偶数回割り切る。まさにこのために、それはその半分をも割り切るであろう。これが証明されるべきことであった。奇数がある数と互いに素であるならば、それはその2倍の数とも互いに素となるであろう。なぜなら、奇数Αがある数Βと互いに素であるとし、Βの2倍の数をΓとせよ。私は、 ¦5 ΑがΓと互いに素であると主張する。なぜなら、もしそれらが互いに素でないならば、ある数がそれらを割り切るであろう。それが割り切るとして、それをΔとせよ。そしてΑは奇数である。したがって、Δもまた奇数である。そしてΔは ¦10 奇数でありながらΓを割り切り、Γは偶数であるので、それはΓの半分をも割り切るであろう。そしてΒはΓの半分である。したがって、ΔはΒを割り切る。またそれはΑをも割り切る。したがって、Δは互いに素であるΑ、Βを割り切ることになる。これは不可能である。したがって、 ¦15 ΑがΓと互いに素でないということはない。したがって、Α、Γは互いに素である。これが証明されるべきことであった。 2から出発して2倍にされた数のそれぞれは、偶数倍 of 偶数（偶偶数）であるにすぎない。なぜなら、2であるΑから出発していくつでも任意の数Β、Γ、Δが2倍にされたとせよ。私は、Β、Γ、Δが偶数倍の偶数 ¦5 であるにすぎないと主張する。さて、それぞれが偶数倍の偶数であることは明らかである。なぜなら、それは2から出発して2倍にされたからである。私は、それがそうであるにすぎないと主張する。なぜなら、単位が置かれたとせよ。単位から出発していくつでも任意の数が連続して比例し、単位の ¦10 次の数Αは素数であるので、Α、Β、Γ、Δのうち最大の数Δは、Α、Β、Γを除いて他のいかなる数によっても割り切られないであろう。そしてΑ、Β、Γのそれぞれは偶数である。したがって、Δは偶数倍の偶数であるにすぎない。同様にして、Β、Γのそれぞれも偶数倍の偶数であるにすぎないことを証明するであろう。これが証明されるべきことであった。