§9.prop.27ἐὰν ἀπὸ περισσοῦ ἀριθμοῦ ἄρτιος ἀφαιρεθῇ, ὁ λοιπὸς περισσὸς ἔσται.
홀수에서 짝수가 빼지면, 남는 것은 홀수가 될 것이다.
ἀπὸ γὰρ περισσοῦ τοῦ ΑΒ ἄρτιος ἀφῃρήσθω ὁ ΒΓ·
왜냐하면 홀수 ΑΒ에서 짝수 ΒΓ가 빼졌다고 하자.
λέγω, ὅτι ὁ λοιπὸς ὁ ΓΑ περισσός ἐστιν.
나는 남은 ΓΑ가 홀수라고 주장한다.
ἀφῃρήσθω μονὰς ἡ ΑΔ·
단위 ΑΔ가 빼졌다고 하자.
ὁ ΔΒ ἄρα ἄρτιός ἐστιν.
그러므로 ΔΒ는 짝수이다.
ἔστι δὲ καὶ ὁ ΒΓ ἄρτιος·
그런데 ΒΓ도 짝수이다.
καὶ λοιπὸς ἄρα ὁ ΓΔ ἄρτιός ἐστιν.
그러므로 남은 ΓΔ도 짝수이다.
περισσὸς ἄρα ὁ ΓΑ·
그러므로 ΓΑ는 홀수이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하려던 바였다.
§9.prop.28ἐὰν περισσὸς ἀριθμὸς ἄρτιον πολλαπλασιάσας ποιῇ τινα, ὁ γενόμενος ἄρτιος ἔσται.
홀수가 짝수를 곱하여 어떤 수를 만들면, 얻어진 수는 짝수가 될 것이다.
περισσὸς γὰρ ἀριθμὸς ὁ Α ἄρτιον τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ ποιείτω·
왜냐하면 홀수 Α가 짝수 Β를 곱하여 Γ를 만들었다고 하자.
λέγω, ὅτι ὁ Γ ἄρτιός ἐστιν.
나는 Γ가 짝수라고 주장한다.
ʼἐπεὶ γὰρ ὁ Α τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν, ὁ Γ ἄρα σύγκειται ἐκ τοσούτων ἴσων τῷ Β, ὅσαι εἰσὶν ἐν τῷ Α μονάδες.
왜냐하면 Α가 Β를 곱하여 Γ를 만들었으므로, Γ는 Α 안에 있는 단위들의 개수와 같은 만큼의, Β와 같은 수들로 구성된다.
καί ἐστιν ὁ Β ἄρτιος·
그리고 Β는 짝수이다.
ὁ Γ ἄρα σύγκειται ἐξ ἀρτίων.
그러므로 Γ는 짝수들로 구성된다.
ἐὰν δὲ ἄρτιοι ἀριθμοὶ ὁποσοιοῦν συντεθῶσιν, ὁ ὅλος ἄρτιός ἐστιν.
그런데 짝수들이 몇 개든 더해지면 전체는 짝수이다.
ἄρτιος ἄρα ἐστὶν ὁ Γ·
그러므로 Γ는 짝수이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하려던 바였다.
§9.prop.29ἐὰν περισσὸς ἀριθμὸς περισσὸν ἀριθμὸν πολλαπλασιάσας ποιῇ τινα, ὁ γενόμενος περισσὸς ἔσται.
홀수가 홀수를 곱하여 어떤 수를 만들면, 얻어진 수는 홀수가 될 것이다.
περισσὸς γὰρ ἀριθμὸς ὁ Α περισσὸν τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ ποιείτω·
왜냐하면 홀수 Α가 홀수 Β를 곱하여 Γ를 만들었다고 하자.
λέγω, ὅτι ὁ Γ περισσός ἐστιν.
나는 Γ가 홀수라고 주장한다.
ἐπεὶ γὰρ ὁ Α τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν, ὁ Γ ἄρα σύγκειται ἐκ τοσούτων ἴσων τῷ Β, ὅσαι εἰσὶν ἐν τῷ Α μονάδες.
왜냐하면 Α가 Β를 곱하여 Γ를 만들었으므로, Γ는 Α 안에 있는 단위들의 개수와 같은 만큼의, Β와 같은 수들로 구성된다.
καί ἐστιν ἑκάτερος τῶν Α, Β περισσός·
그리고 Α, Β의 각각은 홀수이다.
ὁ Γ ἄρα σύγκειται ἐκ περισσῶν ἀριθμῶν, ὧν τὸ πλῆθος περισσόν ἐστιν.
그러므로 Γ는 그 개수가 홀수인 홀수들로 구성된다.
ὥστε ὁ Γ περισσός ἐστιν·
따라서 Γ는 홀수이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하려던 바였다.
§9.prop.30ἐὰν περισσὸς ἀριθμὸς ἄρτιον ἀριθμὸν μετρῇ, καὶ τὸν ἥμισυν αὐτοῦ μετρήσει.
홀수가 짝수를 측정하면(나누어떨어지게 하면), 그 절반도 측정할 것이다.
περισσὸς γὰρ ἀριθμὸς ὁ Α ἄρτιον τὸν Β μετρείτω·
왜냐하면 홀수 Α가 짝수 Β를 측정한다고 하자.
λέγω, ὅτι καὶ τὸν ἥμισυν αὐτοῦ μετρήσει.
나는 그것이 그 절반도 측정할 것이라고 주장한다.
ἐπεὶ γὰρ ὁ Α τὸν Β μετρεῖ, μετρείτω αὐτὸν κατὰ τὸν Γ·
왜냐하면 Α가 Β를 측정하므로, 그것을 Γ에 따라(Γ배로) 측정한다고 하자.
λέγω, ὅτι ὁ Γ οὐκ ἔστι περισσός.
나는 Γ가 홀수가 아니라고 주장한다.
εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω.
왜냐하면 가능하다면 그렇다고 하자.
καὶ ἐπεὶ ὁ Α τὸν Β μετρεῖ κατὰ τὸν Γ, ὁ Α ἄρα τὸν Γ πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν.
그리고 Α가 Β를 Γ에 따라 측정하므로, Α가 Γ를 곱하여 Β를 만들었다.
ὁ Β ἄρα σύγκειται ἐκ περισσῶν ἀριθμῶν, ὧν τὸ πλῆθος περισσόν ἐστιν.
그러므로 Β는 그 개수가 홀수인 홀수들로 구성된다.
ὁ Β ἄρα περισσός ἐστιν·
그러므로 Β는 홀수이다.
ὅπερ ἄτοπον·
이는 모순이다.
ὑπόκειται γὰρ ἄρτιος.
왜냐하면 짝수라고 가정되어 있기 때문이다.
οὐκ ἄρα ὁ Γ περισσός ἐστιν·
그러므로 Γ는 홀수가 아니다.
ἄρτιος ἄρα ἐστὶν ὁ Γ. ὥστε ὁ Α τὸν Β μετρεῖ ἀρτιάκις.
그러므로 Γ는 짝수이다.
διὰ δὴ τοῦτο καὶ τὸν ἥμισυν αὐτοῦ μετρήσει·
따라서 Α는 Β를 짝수 번 측정한다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
바로 이 때문에 그것은 또한 그것의 절반도 측정할 것이다.
§9.prop.31ἐὰν περισσὸς ἀριθμὸς πρός τινα ἀριθμὸν πρῶτος ᾖ, καὶ πρὸς τὸν διπλασίονα αὐτοῦ πρῶτος ἔσται.
이것이 증명하려던 바였다.
περισσὸς γὰρ ἀριθμὸς ὁ Α πρός τινα ἀριθμὸν τὸν Β πρῶτος ἔστω, τοῦ δὲ Β διπλασίων ἔστω ὁ Γ·
홀수가 어떤 수와 서로소이면, 그 두 배와도 서로소일 것이다.
λέγω, ὅτι ὁ Α πρὸς τὸν Γ πρῶτός ἐστιν.
왜냐하면 홀수 Α가 어떤 수 Β와 서로소라 하고, Β의 두 배를 Γ라 하자.
εἰ γὰρ μή εἰσιν πρῶτοι, μετρήσει τις αὐτοὺς ἀριθμός.
나는 Α가 Γ와 서로소라고 주장한다.
μετρείτω, καὶ ἔστω ὁ Δ. καί ἐστιν ὁ Α περισσός·
왜냐하면 만일 서로소가 아니라면, 어떤 수가 그들을 측정할 것이다.
περισσὸς ἄρα καὶ ὁ Δ. καὶ ἐπεὶ ὁ Δ περισσὸς ὢν τὸν Γ μετρεῖ, καί ἐστιν ὁ Γ ἄρτιος, καὶ τὸν ἥμισυν ἄρα τοῦ Γ μετρήσει.
그것이 측정한다고 하고 이를 Δ라 하자.
τοῦ δὲ Γ ἥμισύ ἐστιν ὁ Β·
그런데 Α는 홀수이다.
ὁ Δ ἄρα τὸν Β μετρεῖ.
그러므로 Δ도 홀수이다.
μετρεῖ δὲ καὶ τὸν Α. ὁ Δ ἄρα τοὺς Α, Β μετρεῖ πρώτους ὄντας πρὸς ἀλλήλους·
그리고 Δ가 홀수이면서 Γ를 측정하고 Γ는 짝수이므로, 그것은 Γ의 절반도 측정할 것이다.
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
그런데 Γ의 절반은 Β이다.
οὐκ ἄρα ὁ Α πρὸς τὸν Γ πρῶτος οὔκ ἐστιν.
그러므로 Δ는 Β를 측정한다.
οἱ Α, Γ ἄρα πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν·
또한 그것은 Α도 측정한다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
그러므로 Δ는 서로소인 Α, Β를 측정하게 되는데, 이는 불가능하다.
§9.prop.32τῶν ἀπὸ δυάδος διπλασιαζομένων ἀριθμῶν ἕκαστος ἀρτιάκις ἄρτιός ἐστι μόνον.
그러므로 Α가 Γ에 대해 서로소가 아니라는 것은 아니다.
ἀπὸ γὰρ δυάδος τῆς Α δεδιπλασιάσθωσαν ὁσοιδηποτοῦν ἀριθμοὶ οἱ Β, Γ, Δ·
그러므로 Α, Γ는 서로소이다.
λέγω, ὅτι οἱ Β, Γ, Δ ἀρτιάκις ἄρτιοί εἰσι μόνον.
이것이 증명하려던 바였다.
ὅτι μὲν οὖν ἕκαστος ἀρτιάκις ἄρτιός ἐστιν, φανερόν·
2에서 출발하여 두 배씩 늘어나는 수들의 각각은 오직 짝수번 짝수(우우수)일 뿐이다.
ἀπὸ γὰρ δυάδος ἐστὶ διπλασιασθείς.
왜냐하면 2인 Α에서 출발하여 몇 개든 상관없이 수 Β, Γ, Δ가 두 배씩 늘어났다고 하자.
λέγω, ὅτι καὶ μόνον.
나는 Β, Γ, Δ가 오직 짝수번 짝수 일 뿐이라고 주장한다.
ἐκκείσθω γὰρ μονάς.
이제 각각이 짝수번 짝수임은 명백하다.
ἐπεὶ οὖν ἀπὸ μονάδος ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν, ὁ δὲ μετὰ τὴν μονάδα ὁ Α πρῶτός ἐστιν, ὁ μέγιστος τῶν Α, Β, Γ, Δ ὁ Δ ὑπʼ οὐδενὸς ἄλλου μετρηθήσεται παρὲξ τῶν Α, Β, Γ. καί ἐστιν ἕκαστος τῶν Α, Β, Γ ἄρτιος·
왜냐하면 2에서 출발하여 두 배씩 늘어났기 때문이다.
ὁ Δ ἄρα ἀρτιάκις ἄρτιός ἐστι μόνον.
나는 그것이 오직 그뿐이라고 주장한다.
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι ἑκάτερος τῶν Β, Γ ἀρτιάκις ἄρτιός ἐστι μόνον·
왜냐하면 단위가 설정되었다고 하자.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
그러면 단위로부터 몇 개든 수들이 연속하여 비례를 이루고, 단위 다음의 수 Α는 소수이므로, Α, Β, Γ, Δ 중 가장 큰 Δ는 Α, Β, Γ를 제외하고는 다른 어떤 수에 의해서도 측정되지 않을 것이다. 그리고 Α, Β, Γ의 각각은 짝수이다. 그러므로 Δ는 오직 짝수번 짝수일 뿐이다. 마찬가지로 우리는 Β, Γ의 각각도 오직 짝수번 짝수일 뿐임을 보일 것이다. 이것이 증명하려던 바였다.