§9.prop.20οἱ πρῶτοι ἀριθμοὶ πλείους εἰσὶ παντὸς τοῦ προτεθέντος πλήθους πρώτων ἀριθμῶν.
소수는 제시된 임의의 소수들의 개수보다 더 많다.
ἔστωσαν οἱ προτεθέντες πρῶτοι ἀριθμοὶ οἱ Α, Β, Γ·
제시된 소수들을 Α, Β, Γ라 하자.
λέγω, ὅτι τῶν Α, Β, Γ πλείους εἰσὶ πρῶτοι ἀριθμοί.
나는 Α, Β, Γ보다 더 많은 소수가 존재한다고 주장한다.
εἰλήφθω γὰρ ὁ ὑπὸ τῶν Α, Β, Γ ἐλάχιστος μετρούμενος καὶ ἔστω ὁ ΔΕ, καὶ προσκείσθω τῷ ΔΕ μονὰς ἡ ΔΖ. ὁ δὴ ΕΖ ἤτοι πρῶτός ἐστιν ἢ οὔ.
왜냐하면 Α, Β, Γ에 의해 측정되는 최소의 수가 취해졌다고 하고 이를 ΔΕ라 하자. 그리고 ΔΕ에 단위 ΔΖ가 더해졌다고 하자. 그러면 ΕΖ는 소수이거나 소수가 아니거나 둘 중 하나이다.
ἔστω πρότερον πρῶτος·
먼저, 소수라고 하자.
εὑρημένοι ἄρα εἰσὶ πρῶτοι ἀριθμοὶ οἱ Α, Β, Γ, ΕΖ πλείους τῶν Α, Β, Γ.
ἀλλὰ δὴ μὴ ἔστω ὁ ΕΖ πρῶτος·
그러면 Α, Β, Γ보다 많은 소수 Α, Β, Γ, ΕΖ가 찾아진 것이다. 그러면 이제 ΕΖ가 소수가 아니라고 하자.
ὑπὸ πρώτου ἄρα τινὸς ἀριθμοῦ μετρεῖται.
그러면 그것은 어떤 소수에 의해 측정된다.
μετρείσθω ὑπὸ πρώτου τοῦ Η·
그것이 소수 Η에 의해 측정된다고 하자.
λέγω, ὅτι ὁ Η οὐδενὶ τῶν Α, Β, Γ ἐστιν ὁ αὐτός.
나는 Η가 Α, Β, Γ 중 어느 것과도 같지 않다고 주장한다.
εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω.
왜냐하면 가능하다면 같다고 하자.
οἱ δὲ Α, Β, Γ τὸν ΔΕ μετροῦσιν·
그런데 Α, Β, Γ는 ΔΕ를 측정한다.
καὶ ὁ Η ἄρα τὸν ΔΕ μετρήσει.
그러므로 Η도 ΔΕ를 측정할 것이다.
μετρεῖ δὲ καὶ τὸν ΕΖ·
그리고 그것은 ΕΖ도 측정한다.
καὶ λοιπὴν τὴν ΔΖ μονάδα μετρήσει ὁ Η ἀριθμὸς ὤν· ὅπερ ἄτοπον.
그러므로 수인 Η가 남은 단위 ΔΖ도 측정할 터인데, 이는 모순이다.
οὐκ ἄρα ὁ Η ἑνὶ τῶν Α, Β, Γ ἐστιν ὁ αὐτός.
그러므로 Η는 Α, Β, Γ 중 어느 하나와도 같지 않다.
καὶ ὑπόκειται πρῶτος.
그리고 그것은 소수라고 가정되어 있다.
εὑρημένοι ἄρα εἰσὶ πρῶτοι ἀριθμοὶ πλείους τοῦ προτεθέντος πλήθους τῶν Α, Β, Γ οἱ Α, Β, Γ, Η·
그러므로 제시된 Α, Β, Γ의 개수보다 더 많은 소수 Α, Β, Γ, Η가 찾아졌다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하려던 바였다.
§9.prop.21ἐὰν ἄρτιοι ἀριθμοὶ ὁποσοιοῦν συντεθῶσιν, ὁ ὅλος ἄρτιός ἐστιν.
짝수가 몇 개든 더해지면, 그 전체는 짝수이다.
Συγκείσθωσαν γὰρ ἄρτιοι ἀριθμοὶ ὁποσοιοῦν οἱ ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ·
왜냐하면 몇 개든 상관없이 짝수 ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ가 더해졌다고 하자.
λέγω, ὅτι ὅλος ὁ ΑΕ ἄρτιός ἐστιν.
나는 전체 ΑΕ가 짝수라고 주장한다.
ἐπεὶ γὰρ ἕκαστος τῶν ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ ἄρτιός ἐστιν, ἔχει μέρος ἥμισυ·
왜냐하면 ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ의 각각이 짝수이므로 절반 부분을 가진다.
ὥστε καὶ ὅλος ὁ ΑΕ ἔχει μέρος ἥμισυ.
그러므로 전체 ΑΕ도 절반 부분을 가진다.
ἄρτιος δὲ ἀριθμός ἐστιν ὁ δίχα διαιρούμενος·
그런데 짝수는 둘로 똑같이 나누어지는 수이다.
ἄρτιος ἄρα ἐστὶν ὁ ΑΕ·
그러므로 ΑΕ는 짝수이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하려던 바였다.
§9.prop.22ἐὰν περισσοὶ ἀριθμοὶ ὁποσοιοῦν συντεθῶσιν, τὸ δὲ πλῆθος αὐτῶν ἄρτιον ᾖ, ὁ ὅλος ἄρτιος ἔσται.
홀수가 몇 개든 더해지고 그 개수가 짝수이면, 전체는 짝수가 될 것이다.
Συγκείσθωσαν γὰρ περισσοὶ ἀριθμοὶ ὁσοιδηποτοῦν ἄρτιοι τὸ πλῆθος οἱ ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ·
왜냐하면 개수가 짝수인 홀수가 몇 개든 상관없이 ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ가 더해졌다고 하자.
λέγω, ὅτι ὅλος ὁ ΑΕ ἄρτιός ἐστιν.
나는 전체 ΑΕ가 짝수라고 주장한다.
ἐπεὶ γὰρ ἕκαστος τῶν ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ περιττός ἐστιν, ἀφαιρεθείσης μονάδος ἀφʼ ἑκάστου ἕκαστος τῶν λοιπῶν ἄρτιος ἔσται·
왜냐하면 ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ의 각각이 홀수이므로, 각각에서 단위가 빼지면 남은 것들의 각각은 짝수가 될 것이다.
ὥστε καὶ ὁ συγκείμενος ἐξ αὐτῶν ἄρτιος ἔσται.
그러므로 그들로 구성된 수도 짝수가 될 것이다.
ἔστι δὲ καὶ τὸ πλῆθος τῶν μονάδων ἄρτιον.
그런데 빼진 단위들의 개수도 짝수이다.
καὶ ὅλος ἄρα ὁ ΑΕ ἄρτιός ἐστιν·
그러므로 전체 ΑΕ도 짝수이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하려던 바였다.
§9.prop.23ἐὰν περισσοὶ ἀριθμοὶ ὁποσοιοῦν συντεθῶσιν, τὸ δὲ πλῆθος αὐτῶν περισσὸν ᾖ, καὶ ὁ ὅλος περισσὸς ἔσται.
홀수가 몇 개든 더해지고 그 개수가 홀수이면, 전체도 홀수가 될 것이다.
Συγκείσθωσαν γὰρ ὁποσοιοῦν περισσοὶ ἀριθμοί, ὧν τὸ πλῆθος περισσὸν ἔστω, οἱ ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ·
왜냐하면 개수가 홀수인 홀수가 몇 개든 상관없이 더해졌다고 하고, 이를 ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ라 하자.
λέγω, ὅτι καὶ ὅλος ὁ ΑΔ περισσός ἐστιν.
나는 전체 ΑΔ도 홀수라고 주장한다.
ἀφῃρήσθω ἀπὸ τοῦ ΓΔ μονὰς ἡ ΔΕ·
ΓΔ에서 단위 ΔΕ가 빼졌다고 하자.
λοιπὸς ἄρα ὁ ΓΕ ἄρτιός ἐστιν.
그러므로 남은 ΓΕ는 짝수이다.
ἔστι δὲ καὶ ὁ ΓΑ ἄρτιος·
그런데 ΓΑ도 짝수이다.
καὶ ὅλος ἄρα ὁ ΑΕ ἄρτιός ἐστιν.
그러므로 전체 ΑΕ도 짝수이다.
καί ἐστι μονὰς ἡ ΔΕ. περισσὸς ἄρα ἐστὶν ὁ ΑΔ·
그리고 ΔΕ는 단위이다. 그러므로 ΑΔ는 홀수이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하려던 바였다.
§9.prop.24ἐὰν ἀπὸ ἀρτίου ἀριθμοῦ ἄρτιος ἀφαιρεθῇ, ὁ λοιπὸς ἄρτιος ἔσται.
짝수에서 짝수가 빼지면, 남는 것은 짝수가 될 것이다.
ἀπὸ γὰρ ἀρτίου τοῦ ΑΒ ἄρτιος ἀφῃρήσθω ὁ ΒΓ·
왜냐하면 짝수 ΑΒ에서 짝수 ΒΓ가 빼졌다고 하자.
λέγω, ὅτι ὁ λοιπὸς ὁ ΓΑ ἄρτιός ἐστιν.
나는 남은 ΓΑ가 짝수라고 주장한다.
ἐπεὶ γὰρ ὁ ΑΒ ἄρτιός ἐστιν, ἔχει μέρος ἥμισυ.
왜냐하면 ΑΒ가 짝수이므로 절반 부분을 가진다.
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁ ΒΓ ἔχει μέρος ἥμισυ·
같은 이유로 ΒΓ도 절반 부분을 가진다.
ὥστε καὶ λοιπὸς ἄρτιος ἐστὶν ὁ ΑΓ·
그러므로 남은 ΑΓ도 짝수이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하려던 바였다.
§9.prop.25ἐὰν ἀπὸ ἀρτίου ἀριθμοῦ περισσὸς ἀφαιρεθῇ, ὁ λοιπὸς περισσὸς ἔσται.
짝수에서 홀수가 빼지면, 남는 것은 홀수가 될 것이다.
ἀπὸ γὰρ ἀρτίου τοῦ ΑΒ περισσὸς ἀφῃρήσθω ὁ ΒΓ·
왜냐하면 짝수 ΑΒ에서 홀수 ΒΓ가 빼졌다고 하자.
λέγω, ὅτι ὁ λοιπὸς ὁ ΓΑ περισσός ἐστιν.
나는 남은 ΓΑ가 홀수라고 주장한다.
ἀφῃρήσθω γὰρ ἀπὸ τοῦ ΒΓ μονὰς ἡ ΓΔ·
왜냐하면 ΒΓ에서 단위 ΓΔ가 빼졌다고 하자.
ὁ ΔΒ ἄρα ἄρτιός ἐστιν.
그러므로 ΔΒ는 짝수이다.
ἔστι δὲ καὶ ὁ ΑΒ ἄρτιος·
그런데 ΑΒ도 짝수이다.
καὶ λοιπὸς ἄρα ὁ ΑΔ ἄρτιός ἐστιν.
그러므로 남은 ΑΔ도 짝수이다.
καί ἐστι μονὰς ἡ ΓΔ·
그리고 ΓΔ는 단위이다.
ὁ ΓΑ ἄρα περισσός ἐστιν·
그러므로 ΓΑ는 홀수이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하려던 바였다.
§9.prop.26ἐὰν ἀπὸ περισσοῦ ἀριθμοῦ περισσὸς ἀφαιρεθῇ, ὁ λοιπὸς ἄρτιος ἔσται.
홀수에서 홀수가 빼지면, 남는 것은 짝수가 될 것이다.
ἀπὸ γὰρ περισσοῦ τοῦ ΑΒ περισσὸς ἀφῃρήσθω ὁ ΒΓ·
왜냐하면 홀수 ΑΒ에서 홀수 ΒΓ가 빼졌다고 하자.
λέγω, ὅτι ὁ λοιπὸς ὁ ΓΑ ἄρτιός ἐστιν.
나는 남은 ΓΑ가 짝수라고 주장한다.
ἐπεὶ γὰρ ὁ ΑΒ περισσός ἐστιν, ἀφῃρήσθω μονὰς ἡ ΒΔ·
왜냐하면 ΑΒ가 홀수이므로 단위 ΒΔ가 빼졌다고 하자.
λοιπὸς ἄρα ὁ ΑΔ ἄρτιός ἐστιν.
그러므로 남은 ΑΔ는 짝수이다.
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁ ΓΔ ἄρτιός ἐστιν·
같은 이유로 ΓΔ도 짝수이다.
ὥστε καὶ λοιπὸς ὁ ΓΑ ἄρτιός ἐστιν·
그러므로 남은 ΓΑ도 짝수이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하려던 바였다.