§9.prop.20οἱ πρῶτοι ἀριθμοὶ πλείους εἰσὶ παντὸς τοῦ προτεθέντος πλήθους πρώτων ἀριθμῶν.
素数は、提示されたいかなる素数の個数よりも多い。
ἔστωσαν οἱ προτεθέντες πρῶτοι ἀριθμοὶ οἱ Α, Β, Γ·
提示された素数を Α, Β, Γ とせよ。
λέγω, ὅτι τῶν Α, Β, Γ πλείους εἰσὶ πρῶτοι ἀριθμοί.
私は、Α, Β, Γ よりも多くの素数が存在すると主張する。
εἰλήφθω γὰρ ὁ ὑπὸ τῶν Α, Β, Γ ἐλάχιστος μετρούμενος καὶ ἔστω ὁ ΔΕ, καὶ προσκείσθω τῷ ΔΕ μονὰς ἡ ΔΖ. ὁ δὴ ΕΖ ἤτοι πρῶτός ἐστιν ἢ οὔ.
なぜなら、Α, Β, Γ によって割り切られる最小の数が取られたとし、それを ΔΕ とせよ。 そして ΔΕ に単位 ΔΖ が加えられたとせよ。 すると、ΕΖ は素数であるか、あるいはそうでないかのいずれかである。
ἔστω πρότερον πρῶτος·
まず、素数であるとせよ。
εὑρημένοι ἄρα εἰσὶ πρῶτοι ἀριθμοὶ οἱ Α, Β, Γ, ΕΖ πλείους τῶν Α, Β, Γ.
ἀλλὰ δὴ μὴ ἔστω ὁ ΕΖ πρῶτος·
すると、Α, Β, Γ よりも多い素数 Α, Β, Γ, ΕΖ が見つけ出されたことになる。 では、ΕΖ は素数ではないとせよ。
ὑπὸ πρώτου ἄρα τινὸς ἀριθμοῦ μετρεῖται.
したがって、それはある素数によって割り切られる。
μετρείσθω ὑπὸ πρώτου τοῦ Η·
それを素数 Η によって割り切られるとせよ。
λέγω, ὅτι ὁ Η οὐδενὶ τῶν Α, Β, Γ ἐστιν ὁ αὐτός.
私は、Η は Α, Β, Γ のいずれとも同じではないと主張する。
εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω.
なぜなら、可能であるならば、同じであるとせよ。
οἱ δὲ Α, Β, Γ τὸν ΔΕ μετροῦσιν·
ところで、Α, Β, Γ は ΔΕ を割り切る。
καὶ ὁ Η ἄρα τὸν ΔΕ μετρήσει.
したがって Η も ΔΕ を割り切るであろう。
μετρεῖ δὲ καὶ τὸν ΕΖ·
また Η は ΕΖ をも割り切る。
καὶ λοιπὴν τὴν ΔΖ μονάδα μετρήσει ὁ Η ἀριθμὸς ὤν· ὅπερ ἄτοπον.
したがって、残りの単位 ΔΖ も、数である Η が割り切ることになるが、これは不条理である。
οὐκ ἄρα ὁ Η ἑνὶ τῶν Α, Β, Γ ἐστιν ὁ αὐτός.
したがって、Η は Α, Β, Γ のうちのいずれとも同じではない。
καὶ ὑπόκειται πρῶτος.
また、それは素数であると仮定されている。
εὑρημένοι ἄρα εἰσὶ πρῶτοι ἀριθμοὶ πλείους τοῦ προτεθέντος πλήθους τῶν Α, Β, Γ οἱ Α, Β, Γ, Η·
したがって、提示された Α, Β, Γ の個数よりも多くの素数 Α, Β, Γ, Η が見つけ出された。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが証明されるべきであった。
§9.prop.21ἐὰν ἄρτιοι ἀριθμοὶ ὁποσοιοῦν συντεθῶσιν, ὁ ὅλος ἄρτιός ἐστιν.
偶数がいくらでも多く足し合わされるならば、その全体は偶数である。
Συγκείσθωσαν γὰρ ἄρτιοι ἀριθμοὶ ὁποσοιοῦν οἱ ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ·
なぜなら、いくらでも多くの偶数 ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ が足し合わされたとせよ。
λέγω, ὅτι ὅλος ὁ ΑΕ ἄρτιός ἐστιν.
私は、全体 ΑΕ は偶数であると主張する。
ἐπεὶ γὰρ ἕκαστος τῶν ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ ἄρτιός ἐστιν, ἔχει μέρος ἥμισυ·
なぜなら、ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ のおのおのは偶数であるから、2分の1の部分を持つ。
ὥστε καὶ ὅλος ὁ ΑΕ ἔχει μέρος ἥμισυ.
したがって、全体 ΑΕ もまた2分の1の部分を持つ。
ἄρτιος δὲ ἀριθμός ἐστιν ὁ δίχα διαιρούμενος·
ところで、偶数とは2等分される数のことである。
ἄρτιος ἄρα ἐστὶν ὁ ΑΕ·
したがって、ΑΕ は偶数である。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが証明されるべきであった。
§9.prop.22ἐὰν περισσοὶ ἀριθμοὶ ὁποσοιοῦν συντεθῶσιν, τὸ δὲ πλῆθος αὐτῶν ἄρτιον ᾖ, ὁ ὅλος ἄρτιος ἔσται.
奇数がいくらでも多く足し合わされ、しかもそれらの個数が偶数であるならば、全体は偶数になるであろう。
Συγκείσθωσαν γὰρ περισσοὶ ἀριθμοὶ ὁσοιδηποτοῦν ἄρτιοι τὸ πλῆθος οἱ ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ·
なぜなら、個数が偶数である、いくらでも多くの奇数 ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ が足し合わされたとせよ。
λέγω, ὅτι ὅλος ὁ ΑΕ ἄρτιός ἐστιν.
私は、全体 ΑΕ は偶数であると主張する。
ἐπεὶ γὰρ ἕκαστος τῶν ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ περιττός ἐστιν, ἀφαιρεθείσης μονάδος ἀφʼ ἑκάστου ἕκαστος τῶν λοιπῶν ἄρτιος ἔσται·
なぜなら、ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ のおのおのは奇数であるから、おのおのから単位が引かれるならば、残りの数のおのおのは偶数になるであろう。
ὥστε καὶ ὁ συγκείμενος ἐξ αὐτῶν ἄρτιος ἔσται.
したがって、それらから構成される数もまた偶数になるであろう。
ἔστι δὲ καὶ τὸ πλῆθος τῶν μονάδων ἄρτιον.
ところで、引かれた単位の個数もまた偶数である。
καὶ ὅλος ἄρα ὁ ΑΕ ἄρτιός ἐστιν·
したがって、全体 ΑΕ もまた偶数である。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが証明されるべきであった。
§9.prop.23ἐὰν περισσοὶ ἀριθμοὶ ὁποσοιοῦν συντεθῶσιν, τὸ δὲ πλῆθος αὐτῶν περισσὸν ᾖ, καὶ ὁ ὅλος περισσὸς ἔσται.
奇数がいくらでも多く足し合わされ、しかもそれらの個数が奇数であるならば、全体もまた奇数になるであろう。
Συγκείσθωσαν γὰρ ὁποσοιοῦν περισσοὶ ἀριθμοί, ὧν τὸ πλῆθος περισσὸν ἔστω, οἱ ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ·
なぜなら、いくらでも多くの奇数が足し合わされたとし、それらの個数は奇数であるとせよ。
λέγω, ὅτι καὶ ὅλος ὁ ΑΔ περισσός ἐστιν.
それらを ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ とし、私は、全体 ΑΔ もまた奇数であると主張する。
ἀφῃρήσθω ἀπὸ τοῦ ΓΔ μονὰς ἡ ΔΕ·
ΓΔ から単位 ΔΕ が引かれたとせよ。
λοιπὸς ἄρα ὁ ΓΕ ἄρτιός ἐστιν.
したがって、残りの ΓΕ は偶数である。
ἔστι δὲ καὶ ὁ ΓΑ ἄρτιος·
ところで、ΓΑ もまた偶数である。
καὶ ὅλος ἄρα ὁ ΑΕ ἄρτιός ἐστιν.
したがって、全体 ΑΕ もまた偶数である。
καί ἐστι μονὰς ἡ ΔΕ. περισσὸς ἄρα ἐστὶν ὁ ΑΔ·
そして ΔΕ は単位である。 したがって、ΑΔ は奇数である。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが証明されるべきであった。
§9.prop.24ἐὰν ἀπὸ ἀρτίου ἀριθμοῦ ἄρτιος ἀφαιρεθῇ, ὁ λοιπὸς ἄρτιος ἔσται.
偶数から偶数が引かれるならば、残りは偶数になるであろう。
ἀπὸ γὰρ ἀρτίου τοῦ ΑΒ ἄρτιος ἀφῃρήσθω ὁ ΒΓ·
なぜなら、偶数 ΑΒ から偶数 ΒΓ が引かれたとせよ。
λέγω, ὅτι ὁ λοιπὸς ὁ ΓΑ ἄρτιός ἐστιν.
私は、残りの ΓΑ は偶数であると主張する。
ἐπεὶ γὰρ ὁ ΑΒ ἄρτιός ἐστιν, ἔχει μέρος ἥμισυ.
なぜなら、ΑΒ は偶数であるから、2分の1の部分を持つ。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁ ΒΓ ἔχει μέρος ἥμισυ·
同じ理由により、ΒΓ もまた2分の1の部分を持つ。
ὥστε καὶ λοιπὸς ἄρτιος ἐστὶν ὁ ΑΓ·
したがって、残りの ΑΓ もまた偶数である。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが証明されるべきであった。
§9.prop.25ἐὰν ἀπὸ ἀρτίου ἀριθμοῦ περισσὸς ἀφαιρεθῇ, ὁ λοιπὸς περισσὸς ἔσται.
偶数から奇数が引かれるならば、残りは奇数になるであろう。
ἀπὸ γὰρ ἀρτίου τοῦ ΑΒ περισσὸς ἀφῃρήσθω ὁ ΒΓ·
なぜなら、偶数 ΑΒ から奇数 ΒΓ が引かれたとせよ。
λέγω, ὅτι ὁ λοιπὸς ὁ ΓΑ περισσός ἐστιν.
私は、残りの ΓΑ は奇数であると主張する。
ἀφῃρήσθω γὰρ ἀπὸ τοῦ ΒΓ μονὰς ἡ ΓΔ·
なぜなら、ΒΓ から単位 ΓΔ が引かれたとせよ。
ὁ ΔΒ ἄρα ἄρτιός ἐστιν.
したがって、ΔΒ は偶数である。
ἔστι δὲ καὶ ὁ ΑΒ ἄρτιος·
ところで、ΑΒ もまた偶数である。
καὶ λοιπὸς ἄρα ὁ ΑΔ ἄρτιός ἐστιν.
したがって、残りの ΑΔ もまた偶数である。
καί ἐστι μονὰς ἡ ΓΔ·
そして、ΓΔ は単位である。
ὁ ΓΑ ἄρα περισσός ἐστιν·
したがって、ΓΑ は奇数である。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが証明されるべきであった。
§9.prop.26ἐὰν ἀπὸ περισσοῦ ἀριθμοῦ περισσὸς ἀφαιρεθῇ, ὁ λοιπὸς ἄρτιος ἔσται.
奇数から奇数が引かれるならば、残りは偶数になるであろう。
ἀπὸ γὰρ περισσοῦ τοῦ ΑΒ περισσὸς ἀφῃρήσθω ὁ ΒΓ·
なぜなら、奇数 ΑΒ から奇数 ΒΓ が引かれたとせよ。
λέγω, ὅτι ὁ λοιπὸς ὁ ΓΑ ἄρτιός ἐστιν.
私は、残りの ΓΑ は偶数であると主張する。
ἐπεὶ γὰρ ὁ ΑΒ περισσός ἐστιν, ἀφῃρήσθω μονὰς ἡ ΒΔ·
なぜなら、ΑΒ は奇数であるから、単位 ΒΔ が引かれたとせよ。
λοιπὸς ἄρα ὁ ΑΔ ἄρτιός ἐστιν.
したがって、残りの ΑΔ は偶数である。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁ ΓΔ ἄρτιός ἐστιν·
同じ理由により、ΓΔ もまた偶数である。
ὥστε καὶ λοιπὸς ὁ ΓΑ ἄρτιός ἐστιν·
したがって、残りの ΓΑ もまた偶数である。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが証明されるべきであった。