§9.prop.19τριῶν ἀριθμῶν δοθέντων ἐπισκέψασθαι, πότε δυνατόν ἐστιν αὐτοῖς τέταρτον ἀνάλογον προσευρεῖν.
给定三个数，探究何时可能找到与它们比例的第四个正比例数。
ἔστωσαν οἱ δοθέντες τρεῖς ἀριθμοὶ οἱ Α, Β, Γ, καὶ δέον ἔστω ἐπισκέψασθαι, πότε δυνατόν ἐστιν αὐτοῖς τέταρτον ἀνάλογον προσευρεῖν.
设给定的三个数为 Α、Β、Γ，且要求探究何时可能找到与它们比例的第四个正比例数。
ἤτοι οὖν οὔκ εἰσιν ἑξῆς ἀνάλογον, καὶ οἱ ἄκροι αὐτῶν πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν, ἢ ἑξῆς εἰσιν ἀνάλογον, καὶ οἱ ἄκροι αὐτῶν οὔκ εἰσι πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους, ἢ οὔτε ἑξῆς εἰσιν ἀνάλογον, οὔτε οἱ ἄκροι αὐτῶν πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν, ἢ καὶ ἑξῆς εἰσιν ἀνάλογον, καὶ οἱ ἄκροι αὐτῶν πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν.
那么，它们或者不连续成比例，且它们的两端数互为素数，或者连续成比例，且它们的两端数不互为素数，或者既不连续成比例，它们的两端数也不互为素数，或者既连续成比例，它们的两端数也互为素数。
εἰ μὲν οὖν οἱ Α, Β, Γ ἑξῆς εἰσιν ἀνάλογον, καὶ οἱ ἄκροι αὐτῶν οἱ Α, Γ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν, δέδεικται, ὅτι ἀδύνατόν ἐστιν αὐτοῖς τέταρτον ἀνάλογον προσευρεῖν ἀριθμόν.
因此，如果 Α、Β、Γ 连续成比例，且它们的两端数 Α、Γ 互为素数，已经证明了不可能找到与它们比例的第四个正比例数。
μὴ ἔστωσαν δὴ οἱ Α, Β, Γ ἑξῆς ἀνάλογον τῶν ἄκρων πάλιν ὄντων πρώτων πρὸς ἀλλήλους. λέγω, ὅτι καὶ οὕτως ἀδύνατόν ἐστιν αὐτοῖς τέταρτον ἀνάλογον προσευρεῖν.
那么，设 Α、Β、Γ 不连续成比例，其两端数再次互为素数；我声称，即使这样也不可能找到与它们比例的第四个正比例数。
εἰ γὰρ δυνατόν, προσευρήσθω ὁ Δ, ὥστε εἶναι ὡς τὸν Α πρὸς τὸν Β, τὸν Γ πρὸς τὸν Δ, καὶ γεγονέτω ὡς ὁ Β πρὸς τὸν Γ, ὁ Δ πρὸς τὸν Ε. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς μὲν ὁ Α πρὸς τὸν Β, ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, ὡς δὲ ὁ Β πρὸς τὸν Γ, ὁ Δ πρὸς τὸν Ε, διʼ ἴσου ἄρα ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Γ, ὁ Γ πρὸς τὸν Ε. οἱ δὲ Α, Γ πρῶτοι, οἱ δὲ πρῶτοι καὶ ἐλάχιστοι, οἱ δὲ ἐλάχιστοι μετροῦσι τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντας ὅ τε ἡγούμενος τὸν ἡγούμενον καὶ ὁ ἑπόμενος τὸν ἑπόμενον.
因为，如果可能，设 Δ 已经被找到，使得 Α 与 Β 的比等于 Γ 与 Δ 的比，且设作出成比例，使得 Β 与 Γ 的比等于 Δ 与 Ε 的比。 又因为 Α 与 Β 的比等于 Γ 与 Δ 的比，且 Β 与 Γ 的比等于 Δ 与 Ε 的比，因此通过等比定理，Α 与 Γ 的比等于 Γ 与 Ε 的比。 然而 Α、Γ 是素数，而素数也是最小的，而最小的数等次数地度量与它们具有相同比的数，即前项度量前项，后项度量后项。
μετρεῖ ἄρα ὁ Α τὸν Γ ὡς ἡγούμενος ἡγούμενον.
因此 Α 作为前项度量了作为前项的 Γ。
μετρεῖ δὲ καὶ ἑαυτόν· ὁ Α ἄρα τοὺς Α, Γ μετρεῖ πρώτους ὄντας πρὸς ἀλλήλους· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
但它也度量它自身；因此 Α 度量了互为素数的 Α、Γ；这是不可能的。
οὐκ ἄρα τοῖς Α, Β, Γ δυνατόν ἐστι τέταρτον ἀνάλογον προσευρεῖν.
因此，不可能找到与 Α、Β、Γ 比例的第四个正比例数。
ἀλλὰ δὴ πάλιν ἔστωσαν οἱ Α, Β, Γ ἑξῆς ἀνάλογον, οἱ δὲ Α, Γ μὴ ἔστωσαν πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους. λέγω, ὅτι δυνατόν ἐστιν αὐτοῖς τέταρτον ἀνάλογον προσευρεῖν.
但是，设 Α、Β、Γ 再次连续成比例，且 Α、Γ 不互为素数；我声称，可能找到与它们比例的第四个正比例数。
ὁ γὰρ Β τὸν Γ πολλαπλασιάσας τὸν Δ ποιείτω· ὁ Α ἄρα τὸν Δ ἤτοι μετρεῖ ἢ οὐ μετρεῖ.
因为，设 Β 乘以 Γ 得到 Δ；那么 Α 或者度量 Δ，或者不度量 Δ。
μετρείτω αὐτὸν πρότερον κατὰ τὸν Ε· ὁ Α ἄρα τὸν Ε πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν.
首先，设它按 Ε 度量它；因此 Α 乘以 Ε 得到了 Δ。
ἀλλὰ μὴν καὶ ὁ Β τὸν Γ πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν· ὁ ἄρα ἐκ τῶν Α, Ε ἴσος ἐστὶ τῷ ἐκ τῶν Β, Γ. ἀνάλογον ἄρα ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, ὁ Γ πρὸς τὸν Ε· τοῖς Α, Β, Γ ἄρα τέταρτος ἀνάλογον προσηύρηται ὁ Ε.
ἀλλὰ δὴ μὴ μετρείτω ὁ Α τὸν Δ·
但是确实，Β 乘以 Γ 也得到了 Δ；因此 Α 与 Ε 的乘积等于 Β 与 Γ 的乘积。 因此成比例地，Α 与 Β 的比等于 Γ 与 Ε 的比；因此，找到了与 Α、Β、Γ 比例的第四个数 Ε。
λέγω, ὅτι ἀδύνατόν ἐστι τοῖς Α, Β, Γ τέταρτον ἀνάλογον προσευρεῖν ἀριθμόν.
但是，设 Α 不度量 Δ；我声称，不可能找到与 Α、Β、Γ 比例的第四个正比例数。
εἰ γὰρ δυνατόν, προσευρήσθω ὁ Ε· ὁ ἄρα ἐκ τῶν Α, Ε ἴσος ἐστὶ τῷ ἐκ τῶν Β, Γ. ἀλλὰ ὁ ἐκ τῶν Β, Γ ἐστιν ὁ Δ· καὶ ὁ ἐκ τῶν Α, Ε ἄρα ἴσος ἐστὶ τῷ Δ. ὁ Α ἄρα τὸν Ε πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν· ὁ Α ἄρα τὸν Δ μετρεῖ κατὰ τὸν Ε·
因为，如果可能，设 Ε 已经被找到；因此 Α 与 Ε 的乘积等于 Β 与 Γ 的乘积。 然而 Β 与 Γ 的乘积是 Δ；因此 Α 与 Ε 的乘积也等于 Δ。 从而 Α 乘以 Ε 得到了 Δ；因此 Α 按 Ε 度量 Δ；从而 Α 度量 Δ。
ὥστε μετρεῖ ὁ Α τὸν Δ. ἀλλὰ καὶ οὐ μετρεῖ· ὅπερ ἄτοπον.
但是确实，又假定它不度量它；这是荒谬的。
οὐκ ἄρα δυνατόν ἐστι τοῖς Α, Β, Γ τέταρτον ἀνάλογον προσευρεῖν ἀριθμόν, ὅταν ὁ Α τὸν Δ μὴ μετρῇ.
因此，当 Α 不度量 Δ 时，不可能找到与 Α、Β、Γ 比例的第四个正比例数。
ἀλλὰ δὴ οἱ Α, Β, Γ μήτε ἑξῆς ἔστωσαν ἀνάλογον μήτε οἱ ἄκροι πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους.
但是，设 Α、Β、Γ 既不连续成比例，它们的两端数也不互为素数。
καὶ ὁ Β τὸν Γ πολλαπλασιάσας τὸν Δ ποιείτω.
且设 Β 乘以 Γ 得到 Δ。
ὁμοίως δὴ δειχθήσεται, ὅτι εἰ μὲν μετρεῖ ὁ Α τὸν Δ, δυνατόν ἐστιν αὐτοῖς ἀνάλογον προσευρεῖν, εἰ δὲ οὐ μετρεῖ, ἀδύνατον· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
那么同样可以证明，如果 Α 度量 Δ，则可能找到与它们比例的数，如果它不度量它，则不可能；这即是所要求证的。