§9.prop.19τριῶν ἀριθμῶν δοθέντων ἐπισκέψασθαι, πότε δυνατόν ἐστιν αὐτοῖς τέταρτον ἀνάλογον προσευρεῖν.
세 수가 주어졌을 때, 언제 그들에 대하여 비례하는 네 번째 수를 찾는 것이 가능한지 조사하는 것.
ἔστωσαν οἱ δοθέντες τρεῖς ἀριθμοὶ οἱ Α, Β, Γ, καὶ δέον ἔστω ἐπισκέψασθαι, πότε δυνατόν ἐστιν αὐτοῖς τέταρτον ἀνάλογον προσευρεῖν.
주어진 세 수를 Α, Β, Γ라 하고, 그들에 대하여 언제 비례하는 네 번째 수를 찾는 것이 가능한지 조사하는 것이 요구된다고 하자.
ἤτοι οὖν οὔκ εἰσιν ἑξῆς ἀνάλογον, καὶ οἱ ἄκροι αὐτῶν πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν, ἢ ἑξῆς εἰσιν ἀνάλογον, καὶ οἱ ἄκροι αὐτῶν οὔκ εἰσι πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους, ἢ οὔτε ἑξῆς εἰσιν ἀνάλογον, οὔτε οἱ ἄκροι αὐτῶν πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν, ἢ καὶ ἑξῆς εἰσιν ἀνάλογον, καὶ οἱ ἄκροι αὐτῶν πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν.
이제 그들은 계속하여 비례하지 않고 그들의 양 끝 수가 서로소이거나, 계속하여 비례하고 그들의 양 끝 수가 서로소가 아니거나, 계속하여 비례하지도 않고 그들의 양 끝 수가 서로소도 아니거나, 계속하여 비례하고 그들의 양 끝 수도 서로소인 것 중 하나이다.
εἰ μὲν οὖν οἱ Α, Β, Γ ἑξῆς εἰσιν ἀνάλογον, καὶ οἱ ἄκροι αὐτῶν οἱ Α, Γ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν, δέδεικται, ὅτι ἀδύνατόν ἐστιν αὐτοῖς τέταρτον ἀνάλογον προσευρεῖν ἀριθμόν.
그러므로 만일 Α, Β, Γ가 계속하여 비례하고 그들의 양 끝 수인 Α, Γ가 서로소라면, 그들에 대하여 비례하는 네 번째 수를 찾는 것은 불가능하다는 것이 증명되었다.
μὴ ἔστωσαν δὴ οἱ Α, Β, Γ ἑξῆς ἀνάλογον τῶν ἄκρων πάλιν ὄντων πρώτων πρὸς ἀλλήλους.
그러면 양 끝 수가 다시 서로소라 하고, Α, Β, Γ가 계속하여 비례하지 않는다고 하자.
λέγω, ὅτι καὶ οὕτως ἀδύνατόν ἐστιν αὐτοῖς τέταρτον ἀνάλογον προσευρεῖν.
나는 이 경우에도 그들에 대하여 비례하는 네 번째 수를 찾는 것은 불가능하다고 주장한다.
εἰ γὰρ δυνατόν, προσευρήσθω ὁ Δ, ὥστε εἶναι ὡς τὸν Α πρὸς τὸν Β, τὸν Γ πρὸς τὸν Δ, καὶ γεγονέτω ὡς ὁ Β πρὸς τὸν Γ, ὁ Δ πρὸς τὸν Ε. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς μὲν ὁ Α πρὸς τὸν Β, ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, ὡς δὲ ὁ Β πρὸς τὸν Γ, ὁ Δ πρὸς τὸν Ε, διʼ ἴσου ἄρα ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Γ, ὁ Γ πρὸς τὸν Ε. οἱ δὲ Α, Γ πρῶτοι, οἱ δὲ πρῶτοι καὶ ἐλάχιστοι, οἱ δὲ ἐλάχιστοι μετροῦσι τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντας ὅ τε ἡγούμενος τὸν ἡγούμενον καὶ ὁ ἑπόμενος τὸν ἑπόμενον.
왜냐하면, 가능하다면, Α와 Β의 비가 Γ와 Δ의 비와 같게 되도록 Δ가 찾아졌다고 하자. 그리고 Β와 Γ의 비가 Δ와 Ε의 비와 같게 되도록 만들어졌다고 하자. 그리고 Α와 Β의 비는 Γ와 Δ의 비와 같고, Β와 Γ의 비는 Δ와 Ε의 비와 같으므로, 등비의 이치에 따라, Α와 Γ의 비는 Γ와 Ε의 비와 같다. 그런데 Α, Γ는 서로소이고, 서로소인 수들은 또한 최소이며, 최소인 수들은 자신들과 같은 비를 가진 수들을, 전항이 전항을 후항이 후항을 같은 횟수만큼 측정한다.
μετρεῖ ἄρα ὁ Α τὸν Γ ὡς ἡγούμενος ἡγούμενον.
그러므로 Α는 전항이 전항을 측정하듯이 Γ를 측정한다.
μετρεῖ δὲ καὶ ἑαυτόν·
그런데 그것은 자신도 측정한다.
ὁ Α ἄρα τοὺς Α, Γ μετρεῖ πρώτους ὄντας πρὸς ἀλλήλους·
그러므로 Α는 서로소인 Α, Γ를 측정하는데, 이는 불가능하다.
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα τοῖς Α, Β, Γ δυνατόν ἐστι τέταρτον ἀνάλογον προσευρεῖν.
그러므로 Α, Β, Γ에 대하여 비례하는 네 번째 수를 찾는 것은 불가능하다.
ἀλλὰ δὴ πάλιν ἔστωσαν οἱ Α, Β, Γ ἑξῆς ἀνάλογον, οἱ δὲ Α, Γ μὴ ἔστωσαν πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους.
그러면 다시 Α, Β, Γ가 계속하여 비례하고, Α, Γ가 서로소가 아니라고 하자.
λέγω, ὅτι δυνατόν ἐστιν αὐτοῖς τέταρτον ἀνάλογον προσευρεῖν.
나는 그들에 대하여 비례하는 네 번째 수를 찾는 것이 가능하다고 주장한다.
ὁ γὰρ Β τὸν Γ πολλαπλασιάσας τὸν Δ ποιείτω·
왜냐하면 Β가 Γ를 곱하여 Δ를 만든다고 하자.
ὁ Α ἄρα τὸν Δ ἤτοι μετρεῖ ἢ οὐ μετρεῖ.
그러면 Α는 Δ를 측정하거나 측정하지 않거나 둘 중 하나이다.
μετρείτω αὐτὸν πρότερον κατὰ τὸν Ε·
먼저, 그것이 Ε를 몫으로 하여 측정한다고 하자.
ὁ Α ἄρα τὸν Ε πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν.
그러므로 Α는 Ε를 곱하여 Δ를 만들었다.
ἀλλὰ μὴν καὶ ὁ Β τὸν Γ πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν·
그런데 또한 Β도 Γ를 곱하여 Δ를 만들었다.
ὁ ἄρα ἐκ τῶν Α, Ε ἴσος ἐστὶ τῷ ἐκ τῶν Β, Γ. ἀνάλογον ἄρα ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, ὁ Γ πρὸς τὸν Ε·
그러므로 Α, Ε의 곱은 Β, Γ의 곱과 같다. 그러므로 비례적으로, Α와 Β의 비는 Γ와 Ε의 비와 같다.
τοῖς Α, Β, Γ ἄρα τέταρτος ἀνάλογον προσηύρηται ὁ Ε.
ἀλλὰ δὴ μὴ μετρείτω ὁ Α τὸν Δ·
그러므로 Α, Β, Γ에 대하여 비례하는 네 번째 수인 Ε가 찾아졌다. 그러면 Α가 Δ를 측정하지 않는다고 하자.
λέγω, ὅτι ἀδύνατόν ἐστι τοῖς Α, Β, Γ τέταρτον ἀνάλογον προσευρεῖν ἀριθμόν.
나는 Α, Β, Γ에 대하여 비례하는 네 번째 수를 찾는 것은 불가능하다고 주장한다.
εἰ γὰρ δυνατόν, προσευρήσθω ὁ Ε·
왜냐하면, 가능하다면, Ε가 찾아졌다고 하자.
ὁ ἄρα ἐκ τῶν Α, Ε ἴσος ἐστὶ τῷ ἐκ τῶν Β, Γ. ἀλλὰ ὁ ἐκ τῶν Β, Γ ἐστιν ὁ Δ·
그러므로 Α, Ε의 곱은 Β, Γ의 곱과 같다. 그런데 Β, Γ의 곱은 Δ이다.
καὶ ὁ ἐκ τῶν Α, Ε ἄρα ἴσος ἐστὶ τῷ Δ. ὁ Α ἄρα τὸν Ε πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν·
그러므로 Α, Ε의 곱도 Δ와 같다. 그리하여 Α는 Ε를 곱하여 Δ를 만들었다.
ὁ Α ἄρα τὸν Δ μετρεῖ κατὰ τὸν Ε·
그러므로 Α는 Δ를 Ε를 몫으로 하여 측정한다.
ὥστε μετρεῖ ὁ Α τὸν Δ. ἀλλὰ καὶ οὐ μετρεῖ·
그리하여 Α는 Δ를 측정한다.
ὅπερ ἄτοπον.
그런데 또한 측정하지 않는다고도 가정되어 있는데, 이는 모순이다.
οὐκ ἄρα δυνατόν ἐστι τοῖς Α, Β, Γ τέταρτον ἀνάλογον προσευρεῖν ἀριθμόν, ὅταν ὁ Α τὸν Δ μὴ μετρῇ.
그러므로 Α가 Δ를 측정하지 않을 때, Α, Β, Γ에 대하여 비례하는 네 번째 수를 찾는 것은 불가능하다.
ἀλλὰ δὴ οἱ Α, Β, Γ μήτε ἑξῆς ἔστωσαν ἀνάλογον μήτε οἱ ἄκροι πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους.
그러면 Α, Β, Γ가 계속하여 비례하지도 않고 양 끝 수도 서로소가 아니라고 하자.
καὶ ὁ Β τὸν Γ πολλαπλασιάσας τὸν Δ ποιείτω.
그리고 Β가 Γ를 곱하여 Δ를 만든다고 하자.
ὁμοίως δὴ δειχθήσεται, ὅτι εἰ μὲν μετρεῖ ὁ Α τὸν Δ, δυνατόν ἐστιν αὐτοῖς ἀνάλογον προσευρεῖν, εἰ δὲ οὐ μετρεῖ, ἀδύνατον·
그러면 마찬가지로, 만일 Α가 Δ를 측정한다면 그들에 대하여 비례하는 수를 찾는 것이 가능하고, 측정하지 않는다면 불가능하다는 것이 증명될 것이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하려던 바였다.