§9.prop.19τριῶν ἀριθμῶν δοθέντων ἐπισκέψασθαι, πότε δυνατόν ἐστιν αὐτοῖς τέταρτον ἀνάλογον προσευρεῖν.
与えられた三つの数に対して、いつそれらに比例する第四の数を見つけ出すことが可能であるかを、調べること。
ἔστωσαν οἱ δοθέντες τρεῖς ἀριθμοὶ οἱ Α, Β, Γ, καὶ δέον ἔστω ἐπισκέψασθαι, πότε δυνατόν ἐστιν αὐτοῖς τέταρτον ἀνάλογον προσευρεῖν.
与えられた三つの数を Α, Β, Γ とし、それらに対していつ比例する第四の数を見つけ出すことが可能であるかを調べることが求められているとせよ。
ἤτοι οὖν οὔκ εἰσιν ἑξῆς ἀνάλογον, καὶ οἱ ἄκροι αὐτῶν πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν, ἢ ἑξῆς εἰσιν ἀνάλογον, καὶ οἱ ἄκροι αὐτῶν οὔκ εἰσι πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους, ἢ οὔτε ἑξῆς εἰσιν ἀνάλογον, οὔτε οἱ ἄκροι αὐτῶν πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν, ἢ καὶ ἑξῆς εἰσιν ἀνάλογον, καὶ οἱ ἄκροι αὐτῶν πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν.
さて、それらは、連続して比例せず、かつそれらの両端の数が互いに素であるか、あるいは連続して比例し、かつそれらの両端の数は互いに素ではないか、あるいは連続して比例せず、かつそれらの両端の数は互いに素ではないか、あるいは連続して比例し、かつそれらの両端の数も互いに素であるかのいずれかである。
εἰ μὲν οὖν οἱ Α, Β, Γ ἑξῆς εἰσιν ἀνάλογον, καὶ οἱ ἄκροι αὐτῶν οἱ Α, Γ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν, δέδεικται, ὅτι ἀδύνατόν ἐστιν αὐτοῖς τέταρτον ἀνάλογον προσευρεῖν ἀριθμόν.
そこで、もし Α, Β, Γ が連続して比例し、かつそれらの両端の数 Α, Γ が互いに素であるならば、それらに対して比例する第四の数を見つけ出すことは不可能であることが証明されている。
μὴ ἔστωσαν δὴ οἱ Α, Β, Γ ἑξῆς ἀνάλογον τῶν ἄκρων πάλιν ὄντων πρώτων πρὸς ἀλλήλους.
では、両端の数が再び互いに素であるとして、Α, Β, Γ は連続して比例していないとせよ。
λέγω, ὅτι καὶ οὕτως ἀδύνατόν ἐστιν αὐτοῖς τέταρτον ἀνάλογον προσευρεῖν.
私は、このようにしてもそれらに比例する第四の数を見つけ出すことは不可能であると主張する。
εἰ γὰρ δυνατόν, προσευρήσθω ὁ Δ, ὥστε εἶναι ὡς τὸν Α πρὸς τὸν Β, τὸν Γ πρὸς τὸν Δ, καὶ γεγονέτω ὡς ὁ Β πρὸς τὸν Γ, ὁ Δ πρὸς τὸν Ε. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς μὲν ὁ Α πρὸς τὸν Β, ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, ὡς δὲ ὁ Β πρὸς τὸν Γ, ὁ Δ πρὸς τὸν Ε, διʼ ἴσου ἄρα ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Γ, ὁ Γ πρὸς τὸν Ε. οἱ δὲ Α, Γ πρῶτοι, οἱ δὲ πρῶτοι καὶ ἐλάχιστοι, οἱ δὲ ἐλάχιστοι μετροῦσι τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντας ὅ τε ἡγούμενος τὸν ἡγούμενον καὶ ὁ ἑπόμενος τὸν ἑπόμενον.
なぜなら、可能であるならば、Α と Β の比が Γ と Δ の比と同じになるように、Δ が見つけ出されたとせよ。 そして、 Β と Γ の比が Δ と Ε の比と同じになるように作られたとせよ。 そして、Α と Β の比は Γ と Δ の比と同じであり、かつ Β と Γ の比は Δ と Ε の比と同じであるから、等比の理により、Α と Γ の比は Γ と Ε の比と同じである。 ところで Α, Γ は素であり、そして素である数は最小であり、そして最小の数はそれと同じ比を持つ数を、前項が前項を、後項が後項を同じ回数だけ割り切る。
μετρεῖ ἄρα ὁ Α τὸν Γ ὡς ἡγούμενος ἡγούμενον.
したがって、Α は Γ を、前項が前項を割り切るように割り切る。
μετρεῖ δὲ καὶ ἑαυτόν·
そして自身をも割り切る。
ὁ Α ἄρα τοὺς Α, Γ μετρεῖ πρώτους ὄντας πρὸς ἀλλήλους·
したがって Α は互いに素である Α, Γ を割り切るが、これは不可能である。
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα τοῖς Α, Β, Γ δυνατόν ἐστι τέταρτον ἀνάλογον προσευρεῖν.
したがって、Α, Β, Γ に対して比例する第四の数を見つけ出すことは不可能である。
ἀλλὰ δὴ πάλιν ἔστωσαν οἱ Α, Β, Γ ἑξῆς ἀνάλογον, οἱ δὲ Α, Γ μὴ ἔστωσαν πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους.
ではまた、Α, Β, Γ は連続して比例するとし、Α, Γ は互いに素ではないとせよ。
λέγω, ὅτι δυνατόν ἐστιν αὐτοῖς τέταρτον ἀνάλογον προσευρεῖν.
私は、それらに対して比例する第四の数を見つけ出すことが可能であると主張する。
ὁ γὰρ Β τὸν Γ πολλαπλασιάσας τὸν Δ ποιείτω·
なぜなら、Β は Γ を掛け合わせて Δ を作るとせよ。
ὁ Α ἄρα τὸν Δ ἤτοι μετρεῖ ἢ οὐ μετρεῖ.
すると Α は Δ を割り切るか、あるいは割り切らないかのいずれかである。
μετρείτω αὐτὸν πρότερον κατὰ τὸν Ε·
まず、これを Ε を商として割り切るとせよ。
ὁ Α ἄρα τὸν Ε πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν.
したがって Α は Ε を掛け合わせて Δ を作った。
ἀλλὰ μὴν καὶ ὁ Β τὸν Γ πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν·
ところでまた、Β も Γ を掛け合わせて Δ を作った。
ὁ ἄρα ἐκ τῶν Α, Ε ἴσος ἐστὶ τῷ ἐκ τῶν Β, Γ. ἀνάλογον ἄρα ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, ὁ Γ πρὸς τὸν Ε·
したがって、Α, Ε の積は Β, Γ の積に等しい。 したがって比例して、Α と Β の比は Γ と Ε の比と同じである。
τοῖς Α, Β, Γ ἄρα τέταρτος ἀνάλογον προσηύρηται ὁ Ε.
ἀλλὰ δὴ μὴ μετρείτω ὁ Α τὸν Δ·
したがって、Α, Β, Γ に対して比例する第四の数 Ε が見つけ出された。
λέγω, ὅτι ἀδύνατόν ἐστι τοῖς Α, Β, Γ τέταρτον ἀνάλογον προσευρεῖν ἀριθμόν.
では、Α は Δ を割り切らないとせよ。 私は、Α, Β, Γ に対して比例する第四の数を見つけ出すことは不可能であると主張する。
εἰ γὰρ δυνατόν, προσευρήσθω ὁ Ε·
なぜなら、可能であるならば、Ε が見つけ出されたとせよ。
ὁ ἄρα ἐκ τῶν Α, Ε ἴσος ἐστὶ τῷ ἐκ τῶν Β, Γ. ἀλλὰ ὁ ἐκ τῶν Β, Γ ἐστιν ὁ Δ·
したがって、Α, Ε の積は Β, Γ の積に等しい。 ところで Β, Γ の積は Δ である。
καὶ ὁ ἐκ τῶν Α, Ε ἄρα ἴσος ἐστὶ τῷ Δ. ὁ Α ἄρα τὸν Ε πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν·
したがって、Α, Ε の積も Δ に等しい。 ゆえに Α は Ε を掛け合わせて Δ を作った。
ὁ Α ἄρα τὸν Δ μετρεῖ κατὰ τὸν Ε·
したがって Α は Δ を、Ε を商として割り切る。
ὥστε μετρεῖ ὁ Α τὸν Δ. ἀλλὰ καὶ οὐ μετρεῖ·
ゆえに Α は Δ を割り切る。
ὅπερ ἄτοπον.
ところでまた、割り切らないとも仮定されているが、これは不条理である。
οὐκ ἄρα δυνατόν ἐστι τοῖς Α, Β, Γ τέταρτον ἀνάλογον προσευρεῖν ἀριθμόν, ὅταν ὁ Α τὸν Δ μὴ μετρῇ.
したがって、Α が Δ を割り切らないとき、Α, Β, Γ に対して比例する第四の数を見つけ出すことは不可能である。
ἀλλὰ δὴ οἱ Α, Β, Γ μήτε ἑξῆς ἔστωσαν ἀνάλογον μήτε οἱ ἄκροι πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους.
では、Α, Β, Γ は連続して比例せず、両端の数も互いに素ではないとせよ。
καὶ ὁ Β τὸν Γ πολλαπλασιάσας τὸν Δ ποιείτω.
そして Β は Γ を掛け合わせて Δ を作るとせよ。
ὁμοίως δὴ δειχθήσεται, ὅτι εἰ μὲν μετρεῖ ὁ Α τὸν Δ, δυνατόν ἐστιν αὐτοῖς ἀνάλογον προσευρεῖν, εἰ δὲ οὐ μετρεῖ, ἀδύνατον·
すると同様に、もし Α が Δ を割り切るならば、それらに対して比例する数を見つけ出すことが可能であり、もし割り切らないならば不可能であることが示されるであろう。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが証明されるべきであった。